Корольов / Теория связи

Ненулевые элементы GF(24 ) расположены в порядке нарастания степени примитивного элемента и образуют циклическую группу порядка 15. При этом

α15 =1, α16 =α , α17 =α2 , … , α30 =1 и т.д.

Нетрудно убедиться, что примитивным в поле GF(24 ) является не только

один элемент α , но и α2 , α4 , α8 и ряд других (предлагается их отыскать самостоятельно), а α3 и α5 таковыми не являются.

Основные свойства конечных полей и полиномов

Связь между элементами конечного поля

Все ненулевые элементы β конечного поля GF(2m ) являются степенями одного примитивного элемента:

β =αs , s = 0,1,2,..., pm −2 ; α pm −1 =1.

Порядок элемента поля

Порядком β элемента β p m = β конечного поля называется наименьшее значение β , для которого βq =1. Пусть β =αi . Поскольку ненулевые элементы

β образуют циклическую группу, порядок элемента αi может быть определен из равенства

где НОД – наибольший общий делитель. Порядки элементов xq −1 лежат в пределах от 1 (элемент ϕ(x)) до n (примитивные элементы), но pm −1 всегда кратно порядку элемента.

Возведение многочлена над полем GF(p) в степень p

Если ϕ(x) – произвольный многочлен, коэффициенты которого лежат в

GF(p), то ϕp (x)=ϕ(x p ). Справедливость этого утверждения вытекает из того, что все по парные или многократные произведения в ϕp (x) появляются с коэффи-

циентами, которые делятся на p , и значит, равны 0 в GF(p).

Так для многочлена над полем характеристики p = 2 справедливо

ϕ2 (x)=ϕ(x2 ), в чем можно убедиться на примере:

201

ϕ2 (x)= (x2 + x +1)= x4 + x2 +1 +(1 +1)(x3 + x2 + x)= x4 + x2 +1 =ϕ(x2 ),

Корни полиномов

Ключевым при построении кодов и их декодировании является вопрос о корнях полиномов, соответствующих кодовым комбинациям. Напомним, что из теории полиномов над полем вещественных чисел (не конечных!) известно, что полином степени m всегда имеет m корней, только не все они обязательно лежат в поле вещественных чисел (на вещественной оси). Часть корней может находиться в поле комплексных чисел как некотором расширении поля вещественных чисел.

Известная аналогия этому имеется и в конечных полях. Любой многочлен степени m , в том числе и неприводимый над полем GF(p) (не имеющий корней

среди элементов этого поля), всегда имеет m корней в расширении GF(pm ), и этими корнями является часть элементов поля GF(pm ). Как эле-

менты конечного поля, корни находятся между собой в определенном соотношении. Если ϕ(x) – неприводимый полином с коэффициентами из

β1, β2 = β12 , β3 = β14 ,..., βm = β12m−1 .

Полиномы xn −1

Для дальнейшего обсуждения процедур кодирования и декодирования полезно иметь в виду следующие свойства многочлена вида xn −1. Для любого элемента β как циклической группы справедливо равенство β pm = β . Это оз-

начает, что любой из элементов β является корнем уравнения x p m = x или,

что то же самое, корнем полинома x p m − x или x(x p m −1 −1). Нулевой элемент

β = 0 – корень полинома x , а каждый из ненулевых элементов поля GF(pm ) –

один из корней полинома x pm −1 −1. Таким образом,

Пусть q – порядок элемента поля β , т.е. βq =1. Следовательно, β – ко-

202

рень полинома xq −1. Если β является также и корнем неприводимого много-

члена ϕ(x), то xq −1 делится без остатка на ϕ(x).

В более общем случае минимальное значение n , для которого произвольный многочлен ϕ(x) без кратных корней делит xn −1, совпадает с наименьшим общим кратным (НОК) порядков корней ϕ(x).

Многочлен xn −1 делится на xm −1 только в том случае, если n делится на m . Действительно, если корни xm −1 являются также корнями xn −1, то n должно делиться на m .

Циклотомические классы

Каждый из корней βi полинома ϕ(x) в поле GF(pm ) есть степень прими-

тивного элемента α . Показатели степеней, соответствующие корням

β1 =αs , β2 =αsp , β3 =αsp2 , β4 =αsp3 ,…,

образуют циклотомический класс чисел {s, sp, sp2 , sp3 ,...} по модулю pm −1, а весь набор показателей степеней примитивного элемента в поле GF(pm ) распадается на не перекрывающиеся циклотомические классы Ks . Индекс s равен наимень-

шему из чисел в классе и называется представителем класса по модулю pm −1.

С другой стороны, как отмечалось в 5.3.5, каждый из pm −1 ненулевых элементов β поля GF(pm ) является одним из корней полинома x pm −1 −1, кото-

рый, в свою очередь, раскладывается на произведение неприводимых полиномов ϕi (x) меньшей степени. Каждый из циклотомических классов содержит на-

бор показателей степеней примитивного элемента, соответствующих корням одного из полиномов ϕi (x).

Убедимся в этом на примере полинома x15 −1 над полем GF(2). По-

скольку сложение и вычитание по модулю 2 здесь неразличимы, то записи x15 −1 и x15 +1 эквивалентны. Разложение x15 +1 на неприводимые полиномы ϕi (x) выглядит следующим образом [30]:

x15 +1 = (x +1)(x4 + x +1)(x4 + x3 + x2 + x +1)(x2 + x +1)(x4 + x2 +1).

В табл. 5.3 приведено распределение элементов поля β , представленных

203

степенями примитивного элемента α , по циклотомическим классам Ks с

указанием соответствующих им неприводимых полиномов ϕi (x).

Класс K0 содержит один элемент, K5 – два элемента, а классы K1 , K3 и

K7 – по четыре элемента. Это значит, что неприводимый над полем GF(2) поли-

ном, имеющий в качестве корня элемент α0 поля GF(24 ), должен быть поли-

номом первой степени, т.е. ϕ0 (x)= x +1. Корни α5 и α10 принадлежат неприво-

димому полиному 2-й степени, который определяется по известному правилу:

ϕ5 (x)= (x − корень1)(x − корень2)= (x +α5 )(x +α10 )=

= x2 + xα5 + xα10 +α15 = x2 + x(x2 + x)+ x(x2 + x +1)+1 = x2 + x +1.

Остальные ненулевые элементы поля являются корнями неприво-

димых полиномов ϕ1(x), ϕ3 (x), ϕ7 (x) четвертой степени, вычисляемых аналогич-

ным образом.

Имея в виду связь между корнями одного полинома, часто об его корнях говорят в единственном числе: «неприводимый полином имеет корень...», понимая под корнем один элемент поля, соответствующий, как правило, младшему из чисел циклотомического ряда, называемому его представителем.

204

Минимальные многочлены

Рассмотренное распределение элементов конечного поля по циклотомическим классам позволяет лучше понять следующее важное в теории кодирования понятие. Минимальным многочленом или минимальной функцией элемента β поля GF(pm ) называется многочлен M (x) с коэффициентами из GF(pm ) наи-

меньшей степени, для которого β является корнем, т.е.

его основные свойства.

Прежде всего, очевидно, что минимальный многочлен должен быть неприводимым, иначе он раскладывался бы на полиномы меньшей степени.

Любой другой полином, имеющий тот же корень β , что и минимальный,

делится на M (x). На M (x) делится и полином x p m −1, т.к. корнями последнего в соответствии с (5.10) будут все ненулевые элементы поля GF(pm ). Степень минимального многочлена определяется количеством компонентов циклотомического класса, которому соответствует его корень (табл. 5.3). Действительно, минимальный многочлен, показатели корней которого принадлежат циклотомическому классу Ks , может быть записан в виде

Для s = 5 (см. 5.3.5):

M (5)(x)= (x +α3 )(x +α6 )(x +α12 )(x +α9 )= x4 + x3 + x2 + x +1.

Аналогично для s = 3:

M (3)(x)= (x +α3 )(x +α6 )(x +α12 )(x +α9 )= x4 + x3 + x2 + x +1.

Сучетом (5.10) справедливо равенство

xpm −1 −1 = ∏M (s )(x),

s

где s пробегает все множество классов по модулю pm −1, т.е. многочлен x pm −1 −1 раскладывается на произведение минимальных многочленов элементов, показатели которых принадлежат каждому из циклотомических классов по модулю pm −1.

Минимальные многочлены элементов β и β p равны. В частности, в поле

205

GF(2m ) равны минимальные многочлены элементов β и β2 . В этом можно убе-

диться, обратив внимание на тот факт, что элементы β и β2 всегда соответству-

ют одному циклотомическому классу (табл. 5.3), а следовательно, принадлежат набору корней одного неприводимого полинома. Более того, между собой равны минимальные многочлены всех элементов, соответствующих одному циклотомическому классу, т.к. любые два соседние из таких элементов находятся в соотношении β и β2 .

И еще об одном свойстве минимального многочлена, имеющем отношение к нахождению примитивных элементов поля. Минимальный многочлен, корнем которого является примитивный элемент поля, называется примитивным многочленом. Его степень всегда равна m . Для практических приложений важно иметь в виду следующее. В тех случаях, когда неприводимый многочлен p(x), задающий операции в поле, является также и примитивным многочленом,

примитивным элементом поля будет элемент α = x .

Таблицы неприводимых многочленов [33] обычно содержат сведения о том, какие из многочленов являются примитивными, что позволяет избежать возможных затруднений в определении примитивных элементов поля. В табл. 5.4 приведены примитивные многочлены над GF(2) для m от 1 до 20 [3, 30].

Помимо представленных в таблице примитивными являются также полиномы, векторы коэффициентов которых написаны в обратном порядке. Такие полиномы называются двойственными, или взаимными исходным.

206

Это пары x3 + x2 +1 и x3 + x +1; x4 + x3 + x +1 и x4 + x +1 и т.д. Использовавшийся ранее при построении GF(24 ) полином p(x)= x4 + x +1 примитивен, на ос-

новании чего в качестве примитивного элемента поля был взят α = x .

Изоморфизм конечных полей

Расширение конечного поля GF(pm ) может быть задано разными полино-

мами одинаковых степеней m . В каком соотношении находятся эти поля? Прежде всего, очевидно, ненулевыми элементами любого поля порядка pm является тот же полный набор всевозможных многочленов степени m −1 и ниже, отличающийся для разных полиномов p(x) лишь порядком следования элементов p

по степеням примитивного элемента.

В теории конечных полей доказывается, что все поля GF(pm ) одного по-

рядка pm изоморфны («подобны по форме»), т.е. между GF1 (pm ) и GF2 (pm )

существует взаимнооднозначное отображение f друг на друга, сохраняющее

операции сложения и умножения. Это означает, что для любых двух элементов βi и βj из GF1 (pm ) справедливы соотношения

водимых полиномов p1(x)= x4 + x +1 и p2 (x)= x4 + x3 +1 (табл. 5.2), существует вза-

имнооднозначное отображение: α = f (γ )= γ 7 = x4 + x3 +1. Простой подстановкой можно убедиться, что при таком отображении сохраняются операции сложения и умножения (5.12) и (5.13). Например, для сложения

f (β4 + β7 )= f (α4 +α7 )= f (α3 )=γ 21 =γ 6 =α3 = β3 ,

f (β4 )+ f (β7 )= f (α4 )+ f (α7 )=γ 28 +γ 49 =γ13 +γ 4 =γ 6 = β3 .

Аналогично для умножения

f (β4 β7 )= f (α4α7 )= f (α11 )=γ 2 =α11 = β11 ,

f (β4 )(β7 )= f (α4 )f (α7 )=γ 28γ 49 =γ13γ 4 =γ17 =γ 2 = β11 .

207

5.4. Линейные блочные коды 5.4.1. Системапередачидискретныхсообщений

При передаче информации по каналам связи возможны ошибки вследствие помех и искажений сигналов. Для обнаружения и исправления возникающих ошибок используются помехоустойчивые коды. Упрощенная схема системы передачи информации при помехоустойчивом кодировании показана на рис. 5.3.

Кодер служит для преобразования поступающей от источника сообщений последовательности из k информационных символов в последовательность из n символов кодовых комбинаций (или кодовых слов). Совокупность кодовых слов образует код.

Множество символов, из которых составляется кодовое слово, называется алфавитом кода, а число различных символов в алфавите – основанием кода. В дальнейшем вследствие их простоты и наибольшего распространения рассматриваются главным образом двоичные коды, алфавит которых содержит два символа: 0 и 1.

E = (e1 ,e2 ,...,en )

Правило, по которому информационной последовательности сопоставляется кодовое слово, называется правилом кодирования. Если при кодировании каждый раз формируется блок A из k информационных символов, превращаемый затем в n -символьную кодовую комбинацию S , то код называется блочным. При другом способе кодирования информационная последовательность на блоки не разбивается, и код называется непрерывным.

С математической точки зрения кодер осуществляет отображение множества из 2k элементов (двоичных информационных последовательностей) в

208

множество, состоящее из 2n элементов (двоичных последовательностей длины n ). Для практики интересны такие отображения, в результате которых получаются коды, обладающие способностью исправлять часть ошибок и допускающие простую техническую реализацию кодирующих и декодирующих устройств.

Дискретный канал связи – это совокупность технических средств вместе со средой распространения радиосигналов, включенных между кодером и декодером для передачи сигналов, принимающих конечное число разных видов. Для описания реальных каналов предложено много математических моделей, с разной степенью детализации отражающих реальные процессы. Ограничимся рассмотрением простейшей модели двоичного канала, входные и выходные сигналы которого могут принимать значения 0 и 1.

Наиболее распространено предположение о действии в канале аддитивной помехи. Пусть S = (s1, s2 ,..., sn ) и Y = (y1, y2 ,..., yn ) соответственно входная и вы-

ходная последовательности двоичных символов. Помехой или вектором ошибки называется последовательность из n символов E = (e1,e2 ,...,en ), кото-

рую надо поразрядно сложить с переданной последовательностью, чтобы полу-

Таким образом, компонента вектора ошибки ei = 0 указывает на то, что 2-

й символ принят правильно ( yi = si ), а компонента ei =1 указывает на ошибку при приеме ( yi ≠ si ).Поэтому важной характеристикой вектора ошибки явля-

ется число q ненулевых компонентов, которое называется весом или кратно-

стью ошибки. Кратность ошибки – дискретная случайная величина, принимающая целочисленные значения от 0 до n .

Классификация двоичных каналов ведется по виду распределения случайного вектора E . Основные результаты теории кодирования получены в предположении, что вероятность ошибки в одном символе не зависит ни от его номера в последовательности, ни от его значения. Такой канал называется

209

стационарным и симметричным. В этом канале передаваемые символы искажаются с одинаковой вероятностью p , т.е. p(ei =1)= p , i =1,2,...,n .

Для симметричного стационарного канала распределение вероятностей векторов ошибки кратности q является биноминальным:

pn(q)=Cnq pq(1− p)n −q ,

где Cnq – число сочетаний из n элементов по q .

Вероятность искажения конкретных q символов (или вероятность появ-

функцией q , т.е. в симметричном стационарном канале более вероятны ошиб-

ки меньшей кратности. Этот важный факт используется при построении помехоустойчивых кодов, т.к. позволяет обосновать тактику обнаружения и исправления в первую очередь ошибок малой кратности. Конечно, для других моделей канала такая тактика может и не быть оптимальной.

Декодирующее устройство (декодер) предназначено оценить по принятой последовательности Y = (y1, y2 ,..., yn ) значения информационных символов

дура декодирования включает решение двух задач: оценивание переданного кодового слова и формирование оценок информационных символов.

Вторая задача решается относительно просто. При наиболее часто используемых систематических кодах, кодовые слова которых содержат информационные символы на известных позициях, все сводится к простому их стробированию. Очевидно также, что расположение информационных символов внутри кодового слова не имеет существенного значения. Удобно считать, что они занимают первые k позиций кодового слова.

Наибольшую трудность представляет первая задача декодирования. При

210