Корольов / Теория связи

которая и принимается как критерий качества обнаружения. При этом обнаружитель, для которого средние потери R минимальны, называется оптимальным байесовским обнаружителем.

Подставляя выражения (3.1) и (3.2) в формулу (3.4), получим следующую связь средних потерь с видом критической области:

Какие же точки пространства G возможных исходов эксперимента следует включить в область G1 для максимизации выражения (3.6)? Простой ана-

лиз показывает, что при наблюдении y следует проверить – положительным или отрицательным окажется подынтегральное выражение (3.6). Если

то такую точку y следует отнести к критической области G1 . Действи-

тельно, после добавления такой точки вместе с некоторой окрестностью к области G1 возрастает интеграл (3.6) по этой области и, следовательно, уменьша-

ются средние потери (3.5). Таким образом, неравенство (3.7) определяет все точки критической области G1 . Но это, в свою очередь, означает, что для на-

блюдений, удовлетворяющих неравенству (3.7), следует принимать верной гипотезу H1 , а для остальных точек – гипотезу H0 . Переписывая неравенство

заметить, что формула (3.8) определяет алгоритм обработки входных данных

111

y . Действительно, оптимальный обнаружитель должен формировать на основе наблюдений y отношение правдоподобия Λ и производить сравнение этого от-

ношения с пороговым уровнем Λ0 . Если Λ ≥ Λ0 , то выносится решение в пользу гипотезы H1 . При Λ < Λ0 принимается, что справедлива гипотеза H0 . Так же,

как и при оценивании параметров, можно вместо отношения правдоподобия сравнивать с пороговым уровнем любую монотонную функцию f (Λ), например, ln Λ . При этом достаточно изменить величину порога обнаружения и положить, что Λ/0 = f (Λ0 ).

Рассмотрим пример решения задачи поcледетекторного обнаружения радиосигнала по совокупности независимых наблюдений y1 , y2 ,..., yn . При отсут-

ствии сигнала эти наблюдения подчиняются закону распределения Релея:

Для нахождения оптимального алгоритма обнаружения составим отношение правдоподобия

112

Одним из существенных недостатков байесовского правила обнаружения сигналов является большое количество априорной информации о потерях и вероятностях состоянии объекта, которая должна быть в распоряжении наблюдателя. Этот недостаток наиболее отчетливо проявляется при анализе радиолокационных задач обнаружения цепи, когда указать априорные вероятности наличия цели в заданной области пространства и потери за счет ложной тревоги или пропуска цели оказывается весьма затруднительным. Поэтому в подобных задачах вместо байесовского критерия обычно используется критерий Неймана-Пирсона. Согласно этому критерию выбирается такое правило обнаружения, которое обеспечивает минимальную величину вероятности пропуска сигнала (максимальную вероятность правильного обнаружения) при условии, что вероятность ложной тревоги не превышает заданной величины F0 .

Таким образом, оптимальное, в смысле критерия Неймана-Пирсона, правило обнаружения минимизирует

Для поиска оптимальной процедуры обработки данных преобразуем задачу на условный экстремум (3.12) при условии (3.13) к задаче на безусловный экстремум. С этой целью воспользуемся методом множителей Лагранжа [39]. Введем множитель Лагранжа λ и запишем функцию Лагранжа

После преобразований, аналогичных выводу формулы (3.5), соотношение (3.14) можно переписать в виде:

113

Сравнение полученного выражения с формулой (3.5) показывает, что минимум функции Лагранжа достигается, если в качестве критической области выбрать совокупность точек y , удовлетворяющих неравенству

При этом множитель λ , являющийся пороговым значением, должен находиться из условия (3.13) равенства вероятности ложной тревоги заданной величине F0 .

Из сравнения (3.15) и (3.8) можно заключить, что оптимальное, в смысле критерия Неймана-Пирсона, правило обнаружения отличается от байесовского лишь величиной порогового уровня, с которым производится сравнение отношения правдоподобия.

В качестве примера построения обнаружителя (3.15) рассмотрим задачу проверки гипотезы H 0 :

w(yi H0 )= (1 2πσ )exp (− yi2 2σ 2 ), i =1, 2,..., n ,

при альтернативе

w(yi H1 )= (1 2πσ )exp (− (yi − a)2 2σ 2 ), i =1, 2,..., n .

Такая задача возникает в тех случаях, когда появление полезного сигнала вызывает изменение среднего значения нормального шума на величину a . При

После логарифмирования получаем следующий алгоритм обнаружения сигнала:

114

Поскольку сумма T нормальных случайных величин (СВ) подчиняется нормальному закону распределения, то при отсутствии сигнала можно записать

3.1.3. Вычисление вероятностей ошибок

Рассмотрим методы анализа помехоустойчивости систем обнаружения сигналов, т.е. методы расчета вероятности ложной тревоги (3.1) и вероятности пропуска сигнала (3.2) (или вероятности правильного обнаружения (3.3)). Подобные расчеты являются обязательным этапом проектирования систем обнаружения, осуществляемым после синтеза оптимального алгоритма.

Как было показано в п.3.1, оптимальный по нескольким критериям качества алгоритм обнаружения сигналов состоит в сравнении с порогом отношения правдоподобия. Для независимых отсчетов y1 , y2 ,..., yn входного процесса такой алгоритм может быть записан в форме произведения

После логарифмирования (3.18) процедура обработки приводится к виду:

i=1

где li (yi )= ln w((yi H1 )); z0 = ln Λ0 . Таким образом, для расчета вероятностей w yi H0

необходимо найти ПРВ w(zH0 ) и w(zH1 ) и вычислить интегралы (3.20).

Поскольку для расчета (3.20) при известных ПРВ w(zH0 ) и w(zH1 ) могут эф-

фективно использоваться численные методы интегрирования, то, как правило,

115

наиболее трудоемким является определение ПРВ суммы z СВ li , i =1, 2,..., n ,

полученных, вообще говоря, нелинейным преобразованием li (yi ).

Условные законы распределения каждого слагаемого li (yi ) находят с по-

мощью формулы (1.36). Для рассматриваемой задачи выражение (1.36) перепишется в виде:

После нахождения ПРВ (3.21) требуется определить законы распределе-

точный подход, основанный на вычислении характеристических функций (1.39), либо приближенный, базирующийся на центральной предельной теореме теории вероятностей.

Точный расчет характеристик обнаружения осуществляется следующим образом. Вначале находятся характеристические функции слагаемых:

Затем характеристические функции суммы z определяются как произведения характеристических функции слагаемых:

Наконец, с помощью обратного преобразования Фурье (1.39) вычисляются искомые ПРВ.

116

В качестве примера проведем расчет характеристик алгоритма обнаруже-

При наличии полезного сигнала ПРВ слагаемых li (yi )= yi2 могут быть найдены с помощью формулы (3.21)

w(li H1 )= λe−λli , li > 0, i =1, 2,..., n ,

где λ =12σ 2 (1 + q). Характеристические функции имеет один и тот же вид

характеристическая функция суммы z независимых СВ gz (vH1 )= glni (vH1 )= λn (λ −iv)n .

Интеграл в обратном преобразовании Фурье (3.24)

наиболее просто вычисляется с помощью вычетов. Интегрируя последнее выражение еще раз с помощью таблиц [36], получаем следующую расчетную формулу для вероятности правильного обнаружения

При отсутствии полезного сигнала изменяется лишь параметр λ , но все приведенные преобразования остаются справедливыми. Поэтому вероятность ложной тревоги также находится по формуле (3.25), если положить, что q = 0 :

В радиолокационных задачах обнаружения полученные формулы (3.25) и (3.26) обычно используются следующим образом. По заданной вероятности ложной тревоги PF из соотношения (3.26) определяют порог обнаружения

117

z0 2σ 2 . При этом удобно использовать широко распространенные таблицы рас-

пределения χ2 [42], поскольку

где P(a; b) – табулированная функция (распределение χ2 [42]). После оп-

ределения z0 2σ 2 формула (3.25) позволяет рассчитать характеристики обна-

ружения, т.е. зависимость вероятности правильного обнаружения PD от вели-

чины отношения сигнал/шум q . Такие характеристики приведены на рис.3.3

для двух значений вероятностей ложной тревоги PF =10−2 и PF =10−3 при n =10 .

Соответствующие значения порога обнаружения z0 2σ 2 =18,5 и z0 2σ 2 = 22,5 на-

ходятся по формуле (3.26).

PD

PF = 10−2

0,75

PF = 10−3

0,5

0,25

0

Рис. 3.3. Характеристики обнаружения сигналов С помощью характеристик обнаружения можно по заданным значениям

PD и PF определить необходимую величину порогового сигнала q , обеспечи-

вающую требуемое качество обнаружения.

Рассмотренный метод дает возможность рассчитывать точные характеристики обнаружения сигналов. Однако во многих задачах возникают значительные, а иногда и непреодолимые, математические трудности, связанные, чаще

118

всего, с нахождением обратного преобразования Фурье (3.24). В подобных ситуациях используют приближенный метод расчета характеристик, заключаю-

щийся в следующем. Если n велико и дисперсии M {(li − M {li })2 } ограничены, то

n

распределение суммы большого числа независимых СВ z = ∑li ( yi ) согласно

i =1

центральной предельной теореме приближается к нормальному [29, 40]:

где mZ 0 , σZ2 0 и mZ1 , σZ21 – условные математические ожидания и диспер-

сии z , когда справедливы гипотезы H0 и H1 соответственно. Параметры (3.27)

обычно могут быть вычислены достаточно просто, поскольку

119

чения с пороговыми уровнямиZ0 2σ2 =18,5 и Z0 2σ2 = 22,5 , рассчитанными с по-

мощью точного соотношения (3.26), видим, что погрешность выше при меньшей вероятности ложной тревоги.

Для оценки применимости метода аппроксимации нормальным распределением в рассматриваемом примере на рис.3.3 нанесены пунктирные кривые, найденные с помощью приближенной формулы (3.30). Анализ приведенных зависимостей показывает, что приближенный метод приводит к значительным погрешностям при вероятности ложной тревоги PF <10−3 . Вместе с тем погреш-

ность при PF <10−2 во многих задачах может считаться допустимой. Кроме того,

следует отметить, что приведенные погрешности соответствуют относительно малому значению n =10 , принятому в данной задаче. При обработке большего числа наблюдений погрешности за счет нормальной аппроксимации заметно уменьшаются, и при n > 30 ÷100 точность приближенного метода, как правило, становится удовлетворительной.

К сожалению, в общем случае нельзя дать достаточно надежную аналитическую оценку погрешности, возникающей при замене действительного рас-

ближенного метода расчета характеристик обнаружения необходимо применять те или иные приемы обеспечения достаточной степени уверенности в справедливости найденных результатов. Одним из таких приемов является метод статистического моделирования [6]. Суть метода заключается в формировании с помощью ЭВМ последовательности N псевдослучайных выборок y(1), y(2),..., y(N )

120