Корольов / Теория связи

тот ∆F = 0,3...3,4 [кГц]. Увеличение ∆F приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.

Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.

2πF t − 2kF

пульса, который может существовать на вы-

ходе линейной системы с полосой пропускания F , равна F1 ; функции отсчетов

ортогональны на бесконечном интервале времени.

На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:

Для передачи непрерывного сигнала s(t) по каналу связи с полосой пропускания F определим мгновенные значения сигнала s(t) в дискретные момен-

ты времени tk = 21F , ( k = 0,1,2,... ). После этого передадим эти значения по каналу

связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой F .

Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:

Для сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:

41

Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.

1.6. Пространство сигналов

Для решения ряда задач теории связи целесообразно сигналы представить векторами или точками в некотором функциональном пространстве – пространстве сигналов.

1.6.1. Линейное пространство

Пространством сигналов называется множество сигналов, обладающих общим свойством и отличающихся друг от друга, каким либо параметром (расстоянием).

При анализе ансамблей сигналов, их преобразований в системах связи и методов приема в условиях воздействия помех широко используют понятия линейного пространства. Приведем необходимые и достаточные условия того, чтобы пространство линейным [6, 32]:

сумма любых двух элементов пространства, является элементом пространства, и выполняются равенства: x + y = y + x и x + (y + z)= (x + y)+ z ;

существует нулевой элемент пространства, такой, что x + 0 = x для всех x ; для любого элемента пространства существует противоположный эле-

мент, такой, что x + (− x)= 0 ;

новый элемент пространства можно получить, умножив элемент пространства на скаляр, при этом должны выполняться следующие равенства:

1 x = x , α(βx)= (αβ)x , α(x + y)=αx +αy , (α + β)x =αx + βx .

К линейным пространствам можно отнести совокупность векторов в трехмерном пространстве, совокупность сигналов, имеющих конечную энергию, и т.п.

1.6.2. Представление сигнала в многомерном пространстве

По аналогии с трехмерным геометрическим пространством можно определить расстояние между элементами n - мерного пространства:

42

Рассмотрим два сигнала s1 (t) и s2 (t), имеющих ограниченную полосу частот F. В соответствии с теоремой Ко-

тельникова эти сигналы могут быть представлены разложениям по ортого-

тически бесконечно. На основании этого сигналы можно представить точками в бесконечномерном пространстве.

При этом расстояние между двумя сигналами

где E0 = E1 + E2 − 2E1,2 – эквивалентная энергия сигналов.

Заметим, что расстояние между сигналами в бесконечномерном пространстве определяется шириной полосы частот F , занимаемых сигналами и эквивалентной энергией E0 . Величина d(s1, s2 ) показывает удаленность двух сигналов друг от друга, а следовательно, - их различимость для системы связи. В общем случае расстояние определяет помехоустойчивость двоичных каналов связи.

43

1.7. Сигналы как случайные процессы

Случайные сигналы и помехи относятся к случайным явлениям природы, изучением основных закономерностей которых занимается теория вероятностей. Все случайные явления, изучаемые в теории вероятностей, можно разбить на три типа: случайные события, случайные величины и случайные процессы. Каждый из этих типов случайных явлений имеет свои особенности и характеристики.

Для математического описания сигналов и помех необходимо решить две задачи. К какому типу случайных явлений отнести случайный сигнал (помеху) в конкретной ситуации и как определить необходимые вероятностные характеристики?

Напомним важнейшие понятия теории вероятностей, необходимые для описания случайных сигналов и помех.

Случайные события. Случайное событие – это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Это и передача текста без ошибок, и работа канала связи без повреждений не менее T часов, и превышение помехой заданного уровня и т. д. Обозначаются случайные события начальными прописными буквами латинского алфавита: A, B,C .

формулу для вероятности суммы двух совместных событий в виде

(1.31)

Однако уже для суммы трех совместных событий A, B и C подобная формула будет содержать семь слагаемых. Поэтому для вычисления вероятно-

44

Эта формула упрощается, если события A1 , A2 ,..., An совместны, но незави-

симы. Тогда

Приведенное выражение (1.33) часто встречается в расчетах надежности системы параллельно соединенных устройств. Действительно, система с параллельным соединением элементов работает безотказно, когда работает хотя бы один из ее элементов (устройств). При независимом функционировании каждого из элементов A1 , A2 ,...An с вероятностями безотказной работы

P(A1 ), P(A2 ),..., P(An ) соответственно по формуле (1.33) находим вероятность без-

отказной работы всей системы.

Предположим теперь, что событие A может произойти одновременно с одним из несовместных событий (гипотез) H1, H2 ,..., Hn , образующих полную группу. Событиями H1, H2 ,..., Hn часто являются взаимоисключающие предпо-

ложения об условиях проведения эксперимента, результатом которого может быть случайное событие A. Например, две гипотезы H1 и H2 можно связать с передачей сообщений «0» или «1» по каналу связи с помехами, а случайное событие A с превышением выходным напряжением приемника порогового уровня.

В подобных схемах заданы вероятности гипотез P(Hi ) и условные веро-

ятности появления события P(AHi ), когда справедливы предположения

Hi , i =1, 2,..., n . Безусловную вероятность события P(A) можно найти с помощью формулы полной вероятности:

45

Если стало известно, что в результате испытания событие A произошло, то условная вероятность гипотезы Hi (апостериорная вероятность гипотезы Hi )

определяется по формуле Бaйeca:

Возможность переоценки вероятностей гипотез после проведения эксперимента может быть показана на примере приема двоичных сигналов. Допус-

P(H1 ) = P(H2 ) = 0.5 . В результате наблюдения установлено превышение порого-

вого уровня (т.е. произошло событие A ). Очевидно, предпочтение после получения такой информации следует отдать гипотезе H 2 (передача сигнала «1»).

Количественно охарактеризовать это "предпочтение" позволяет формула Байеса. Действительно, расчет по формуле (1.35) с учетом (1.34) дает следующий результат: P(H2 A)= 0.89, P(H1 A)= 0.11.

Большую роль при анализе цифровых систем обработки сигналов играет следующая схема. Пусть n раз при постоянных условиях повторяется один и тот же опыт, с которым связано случайное событие A , имеющее вероятность p . При этом предполагается, что исход каждого опыта не зависит от результа-

где q =1− p, Cnk = n!k!(n −k)!. Правая часть формулы имеет вид общего чле-

на разложения бинома Ньютона: (p + q)n = ∑Cnk pk qn−k . Поэтому совокупность чи-

сел Pn (k), k = 0,1...n , называют биноминальным распределением вероятностей.

46

Так как числа Pn (k), k = 0,1...n , являются вероятностями попарно несовме-

стных событий, то вероятность Pn (m1 ≤ k ≤ m2 ) того, что число появления собы-

тия A в n опытах будет заключено в пределах от m1 до m2 , определяется с по-

мощью суммирования:

На практике часто встречаются задачи, когда число испытаний n велико и вычисления по формуле Бернулли затруднены. Для этих случаев применяются приближенные методы расчета. При малых p → 0 и ограниченных значени-

ях λ = np используется формула Пуассона:

По этой формуле для любых n >>1 легко выполняются расчеты с помощью таблиц распределения Пуассона [42] или на ЭВМ.

Если p фиксировано, а n и k стремятся к бесконечности при ограничен-

ном отношении (k −np) npq , то может быть использована асимптотическая

формула Лапласа:

Когда p не слишком близко к нулю или единице, формула (1.39) может быть достаточно точна уже при n порядка нескольких десятков. Сумма вероятностей (1.37) при этом хорошо аппроксимируется следующим выражением:

Следует подчеркнуть, что применение приближенных асимптотических соотношений всегда должно сопровождаться контролем величины погрешности. Для этого могут использоваться точные формулы, специальные аналитические методы [40] или результаты экспериментов.

47

Случайные величины. Величина, которая принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно, называется случайной. Число ошибок в тексте, число занятых каналов многоканальной системы связи, уровень помехи в канале, мощность сигнала на выходе линии связи – это все примеры случайных величин (СВ).

Будем обозначать СВ прописными буквами латинского алфавита X ,Y, Z , а

значения, которые они принимают, – строчными буквами x, y, z .

СВ делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина X может принимать только конечное множество значений x1, x2 ,..., xn , не-

прерывная – любые значения x из некоторого интервала, даже бесконечного. Для математического описания СВ вводятся следующие неслучайные ос-

новные статистические характеристики [5, 13, 32, 39]:

Будем рассматривать множество всех случайных исходов, возможных при данном испытании. Предположим, что каждому исходу ω этого испытания соответствует число X . Тогда множество исходов отображается в некоторое числовое множество. Такое отображение, т.е. числовая функция X (ω), постро-

енная на множестве исходов эксперимента, называется случайной величиной (СВ). Примерами СВ могут быть число единиц в последовательности n двоичных символов, значение напряжения на выходе приемника в фиксированный момент времени и т.д.

Если число n возможных исходов x1, x2 ,..., xn конечно или cчетно, то CB X

называется дискретной. Дискретная СВ может быть описана с помощью зада-

Вместо набора {pi }in=1 вероятностей свойства СВ могут быть заданы с помощью функции распределения

48

функция имеет ступенчатый вид, причем каждая «ступенька» величиной pi расположена в точке с абсциссой xi .

Другим важным классом является СВ, для которых функция распределения F(x) непрерывна. Если F(x) дифференцируема, то ее производная

называется плотностью распределения вероятностей (ПРВ) непрерывной слу-

то ПРВ можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной величины на отрезок (x; x + ∆x) к длине ∆x этого отрезка при

b

Очевидно, P(a ≤ X ≤ b)= ∫w(x)d x , т.е. вероятность попадания СВ на отрезок [a, b]

a

численно равно площади под графиком ПРВ. В отличие от дискретных непрерывные СB принимают несчетное множество значений. Вероятность того, что непрерывная СВ примет любое конкретное значение, например a , равна нулю.

Важнейшими числовыми характеристиками СВ являются математическое ожидание

и среднее квадратическое отклонение σx = Dx . Обобщением числовых ха-

рактеристик являются начальные моменты распределения СВ

49

Напомним, что m1 = mx , µ1 = 0, µ2 = Dx , а числа µ3 σx3 и µ4 σx4 −3 называются коэффициентами асимметрии и эксцесса. Ряд часто встречающихся в статистической радиотехнике распределений и соответствующих числовых характеристик СВ приведены в табл. 1.2.

Системы случайных величин. В тех случаях, когда с каждым исходом ω эксперимента связана пара чисел X1 (ω) и X 2 (ω), соответствующее отображение

50