Корольов / Теория связи

Проверочная матрица такого кода имеет вид

H= [α0α1α2...αn−1 ],

асам код носит название кода Хэмминга.

Вкачестве примера выберем код (7, 4, 3), порождающий полином которого g(x)= x3 + x +1 примитивен, а проверочная матрица

0010111 H = [1αα2...α6 ]= 0101110 ,

1001011

с точностью до порядка следования столбцов совпадает с ранее полученной проверочной матрицей (5.17) этого же кода. Смена порядка на обратный объясняется изменением в (5.18) порядка записи степеней переменной x .

2. Порождающий полином g(x) неприводим, но не является примитив-

ным, длина кода n = 2m −1. В этом случае элемент α поля GF(2m ) не обязательно является его корнем, и при отыскании корня возникают дополнительные трудности. Таков, например, полином g(x)= x6 + x3 +1 для кода с n = 9 (табл. 5.5).

Следует прибегнуть к таблицам неприводимых полиномов.

В табл. 5.6 представлены полиномы степеней до 8, заимствованные из [33], где можно найти сведения о полиномах до 34-й степени.

Неприводимые многочлены даны в восьмеричном представлении. Каждую цифру соответствующего многочлену числа следует перевести в трехразрядное двоичное число и рассматривать его разряды как коэффициенты при степенях x многочлена. Например, среди полиномов степени 5 есть восьмеричное число 67. Это означает: 67 =110111 ↔ x5 + x4 + x2 + x +1.

Примитивные многочлены подчеркнуты. Первым среди многочленов данной степени помещен примитивный, и с его помощью строится поле GF(2m ). Перед восьмеричным представлением стоит десятичное число, отде-

ленное точкой и означающее показатель степени примитивного элемента, являющегося корнем следующего за ним полинома, причем большие степени записываются слева. Например, для нахождения корня полинома 6-й степени 127 нужно задать с помощью примитивного полинома 103 поле GF(26 ) и в

221

Таблица 5.6

Неприводимые полиномы над полем GF(2)

Степень m

Восьмеричное представление полиномов

полинома

качестве корня β полинома 127 взять элемент α3 этого поля. Каждый из мно-

гочленов табл. 5.6 является минимальным многочленом указанного перед ним корня.

Многочлен, двойственный неприводимому, также неприводим, а двойственный примитивному – примитивен. Двойственные многочлены не помещены в табл. 5.6, однако могут быть получены из представленных в ней переменой порядка следования коэффициентов при степенях x на обратный. Так, полином, двойственный 67, имеет вид: 111011 ↔ x5 + x4 + x3 + x +1.

Показатель i степени примитивного элемента поля, соответствующий корню двойственного многочлена, определяется как i = 2m −1− j , где j -

степень примитивного элемента – корня приведенного в табл. 5.6 полинома. Поскольку 2m −1 и j нечетны, то i всегда четно. Например, корнем полинома,

222

скому классу, содержащему меньшее m число компонентов, например, классу K5 (табл. 5.3)). Таким минимальным многочленом корня α5 в поле GF(24 ) явля-

ется 007 второй степени. В табл. 5.6 подобные многочлены начинаются с нуля. 3. Порождающий полином g(x) представляет собой произведение не-

скольких неприводимых многочленов, каждый из которых имеет корни в GF(2m ), и по-прежнему n = 2m −1. Например, g(x)= (x2 + x +1)(x4 + x +1)=

= x6 + x5 + x4 + x3 +1 (табл. 5.5) порождает код (15, 9, 3).

Очевидно, в этом случае среди n − k корней полинома g(x) будут корни каждого из сомножителей, отыскиваемые изложенным выше способом.

4. Общий случай: порождающий полином g(x) либо неприводим, либо

является произведением неприводимых многочленов; длина кода n ≠ 2m −1. Корни многочлена для таких значений n являются элементами не-

которого поля GF(2l ), причем показатели этих элементов принадлежат одно-

му циклотомическому классу K5 по модулю (2l −1). Полином имеет кор-

нями все элементы поля GF(2l ), в том числе и корни полинома xn +1. Следова-

тельно, x2l −1 +1 делится на xn +1, а 2l −1 делится на n (см. 5.3.5), т.е. 2l −1 = nr , где r – целое число, причем одному значению n может соответствовать множество пар чисел (l, r). Например, при n = 9 справедливы равенства 26 −1 = 9 7 ;

и т.д.

Поскольку корни xn +1 лежат в поле GF(2l ), то корни неприводимых полиномов – делителей двучлена xn +1 также принадлежат этому полю, и их следовало бы обозначать показателями j степени примитивного элемента по-

ля GF(2l ), как это делалось в табл. 5.6. По так как одному значению и может отвечать несколько полей GF(2l ), в перечнях кодов [33] корни помечаются

223

корней. Здесь же приведены значения конструктивных расстояний δ , необходимые для изложения материала следующих разделов.

224

В заключение этого раздела обсудим задачу, обратную рассмотренной: по заданным корням требуется построить порождающий полином и код. Такая постановка характерна при формировании БЧХ-кодов.

Пусть β1, β2 ,..., βr – элементы поля GF(2m ), являющиеся заданными корнями,

а M1(x), M2 (x),..., Mr (x) – соответствующие им минимальные многочлены. Каждый из корней является некоторой степенью примитивного элемента поля. Если все показатели степени принадлежат разным циклотомическим классам по модулю (2m −1), то в соответствии с (5.9), (5.10) и (5.11) порождающий полином

i=1

В общем случае, когда некоторые из заданных корней могут принадлежать одному циклотомическому классу, т.е. находиться между собой в соотношении β, β2 , β4 ,... , порождающий полином (5.20)

5.4.5. Спектральное описание циклических кодов

Рассмотрим еще один подход к описанию полиномиальных кодов, который основан на использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) кодовых последовательностей, заданных над конечным полем GF(p). Данный под-

ход, подробно изложенный в [30], позволяет в ряде случаев упростить процедуры кодирования и декодирования.

Пусть V = (v0 ,v1,...,vn−1 ) – последовательность из n элементов конечного по-

ля GF(p), причем n делит pm −1 для некоторого m , и пусть α – примитивный элемент порядка n в расширении поля GF(pm ). Дискретным преобразованием Фурье вектора V над конечным полем GF(p) называется последовательность F (v) = (f0(v), f1(v),..., fn(−v1)) элементов поля GF(pm ) задаваемая равенством

i=0

225

В матричной форме ДПФ может быть записано следующим образом

i «дискретным временем», а последовательность v0 , v1,..., vn−1 – временной после-

довательностью (функцией). Тогда индекс j можно назвать «частотой», а по-

следовательность f0(v), f1(v),..., fn(−v1) – частотным спектром или просто спектром.

n−1

f j(v) = ∑ fk(u ) fn(−vk) . k=0

Справедливо и обратное утверждение. Если

n−1

f j(w) = f j(u ) f j(v ) , i = 0,1,...,n −1, то wi = ∑ulvi −l . l =0

Эти утверждения носят название теорем о свертке в частотной и временной областях.

2. Если вектор V во временной области и его преобразование Фурье F (v) заданыввидеполиномов

226

то элемент α j поля GF(pm ) является корнем полинома тогда и только тогда,

когда частотный компонент f j(v ) равен нулю; элемент α− j является корнем

F (v)(z) тогда и только тогда, когда i -я компонента vi равна нулю.

На основе спектрального подхода можно дать еще одно равнозначное определение циклическому коду как множеству таких слов над конечным полем GF(p), у которых все спектральные компоненты, принадлежащие заданному множеству частот, называемых проверочными, равны нулю.

5.4.6. Простейшие блочные линейные коды

Коды длины n и размерности k могут иметь разные значения кодового расстояния d0 и обладать поэтому разной помехоустойчивостью. Оптимальны-

ми называются коды, обеспечивающие при заданных n и k максимальную вероятность правильного приема кодового слова. Они, как правило, имеют наибольшее кодовое расстояние. Числа n и k определяют скорость кода, равную k n двоичных единиц на 1 символ.

При заданной величине кодового расстояния d0 существует нижняя гра-

ница необходимого количества избыточных символов в кодовых комбинациях.

те приравнивания числа 2(n−k ) −1 различных ненулевых синдромов количеству

Коды, для которых достигается нижняя граница, называются совершенными или плотноупакованными. Такие коды исправляют все ошибки кратности до qИС включительно и ни одной ошибки более высоких кратностей.

Рассмотрим некоторые простейшие оптимальные коды.

Код с простой проверкой на четность обозначается (n,n −1,2) и содержит слова с одним проверочным символом S = (a1, a2 ,..., an−1,b). Проверочный символ

227

есть сумма по модулю 2 информационных:

b = a1 + a2 +... + an−1 .

Видно, что b =1, если число единиц в информационной последовательности нечетное, и b = 0 , если число единиц – четное. Таким образом, наличие проверочного символа позволяет всем кодовым словам придать общий признак: четность числа единиц в слове.

Порождающая матрица кода имеет n −1 строки n столбцов:

Любые строки матрицы содержат 2 единицы и отличаются значениями символов на двух позициях, поэтому кодовое расстояние равно 2. Следовательно, код может лишь обнаруживать однократные ошибки (qоб = 2).

Проверочная матрица кода содержит одну строку

H = 1 1 ... 1 .

и указывает, что для проверки основного признака кодовых слов надо сложить по модулю 2 все принятые символы.

Декодирование кода основано на проверке четности числа единиц в принятой последовательности Y . Для этого вычисляется синдром, содержащий один компонент

228

большей кратности, чем qоб =1. Несомненным достоинством этого кода является высокая скорость, характеризуемая величиной (n −1)n .

Код нечетной длины с повторением обозначается (n,1, n), имеет кодовые слова [ab1b2...bn−1 ] с одним информационным символом и n −1 проверочными, кото-

рые повторяют информационный:

b1 = b2 =... = bn−1 = a .

Порождающая матрица состоит из одной строки G = [11...1], так что код с повторением имеет всего два слова: одно содержит только нули, второе – только единицы. Понятно, что кодовое расстояние равно n , отсюда

имеет n −1 строк и n столбцов и указывает, что сумма первого и любого другого символов кодового слова должна равняться 0. Число избыточных символов в коде достигает нижней границы, следовательно, коды нечетной длины с повторением относятся к совершенным.

Проверочная матрица кода (n,n −1,2) с простой проверкой на четность совпадает с порождающей матрицей кода с повторением (n,1, n), а порождаю-

щая матрица первого кода подобна проверочной матрице второго. Такие коды называются дуальными.

Коды Хэмминга имеют кодовое расстояние d0 = 3, исправляют все одно-

кратные ошибки или обнаруживают двукратные, т.е. qоб = 2 , qИС =1. Зависимо-

сти проверочных символов от информационных выбраны так, что каждой однократной ошибке соответствует свое ненулевое значение синдрома. Поэтому для кодов Хэмминга число ненулевых синдромов равно числу символов в кодовых комбинациях (числу однократных ошибок):

229

Следовательно, для кодов Хэмминга достигается нижняя граница числа (n −k )= log2 (n +1) избыточных символов, а сами коды являются совершенными.

Примеры кодов: (3, 1,3), (7,4, 3), (15, И, 3), (31,26, 3), (63, 57, 3),....

Единственный код Голея (23, 12, 7) завершает ряд совершенных кодов. Расширенный код Хэмминга образуется из совершенного путем добавле-

ния общей проверки на четность, т. е. проверочного символа, равного сумме всех символов кода Хэмминга. Код имеет кодовое расстояние d0 = 4 , что позво-

ляет исправить все однократные и одновременно обнаружить все двукратные ошибки. Такой режим целесообразен, в частности, в системах передачи информации с обратной связью.

При добавлении проверочного символа длина кода становится четной, а соотношение (5.24) преобразуется к виду n = 2n−k −1 . Расширенные коды Хэм-

минга образуют ряд: (4, 1,4), (8,4,4), (16, 11,4), (32, 26,4), (64,57,4),....

Коды этого вида относятся к квазисовершенным, т.е. исправляющим все ошибки кратности по qИС включительно и часть ошибок кратности qИС +1 .

5.5. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема 5.5.1. МетодызаданиякодовБЧХ

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) составляют один из больших классов линейных кодов, исправляющих ошибки. Причем метод построения этих кодов задан явно.

Код БЧХ длины n , исправляющий qИС -кратные ошибки, это циклический блочный код над полем GF(p), корнями порождающего многочлена которого

являются βv , βv+1,..., βv+2qИС−1 , где β – элемент конечного поля v – целое

число.

В соответствии с этим определением и выражением (5.21) порождающий многочлен кода БЧХ может быть представлен наименьшим общим кратным

g(x)= НОК[Mv (x), Mv+1 (x),..., Mv+2qИС−1 (x)],

230