Корольов / Теория связи

тий полином Q(x) такой, что f (x)= Q(x)g(x). Деление полиномов в кольце R(x) не всегда возможно даже на ненулевой многочлен. Например, деление невозможно, если степень делимого меньше степени делителя.

Укажем основные свойства делимости полиномов в кольце.

4.Ненулевые элементы поля F являются делителями любого полинома из R(x).

5.Для любой пары полиномов a(x) и g(x) существует единствен-

номов a(x) и g(x), если d(x) – полином наивысшей степени, который делит как a(x), так и g(x). НОД обозначается: d(x)= НОД[a(x), f (x)] Два полинома назы-

ваются взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Полином, который делится только на себя и на элемент поля F , называется неприводимым над полем F .

Кольцо вычетов по модулю g(x)

При описании блочных кодов [25, 30, 33] широко используется понятие кольца вычетов по модулю некоторого полинома g(x) с коэффициентами из по-

ля F .

Для полиномов существуют понятия, аналогичные введенным в 5.8 для чисел, если заменить в этих понятиях слово «число» словом «полином». Так, ес-

191

ли при делении полиномов a(x) и f (x) из R[x] на g(x) получаются одинаковые остатки, то многочлены a(x) и f (x) сравнимы между собой по модулю много-

члена g(x) из R[x] или a(x)= f (x)(mod g(x)).

Все полиномы, сравнимые между собой по модулю g(x), образуют класс вычетов по модулю g(x), а каждый полином класса называется вычетом по мо-

дулю g(x). Каждый класс характеризуется своим представителем, в качестве

которого обычно выбирают полином, степень которого меньше степени Количество классов вычетов по модулю g(x) равно числу многочленов, степени которых меньше степени g(x).

Совокупность классов вычетов по модулю g(x) образует кольцо вычетов по модулю g(x). В качестве операций сложения и умножения в этом кольце ис-

пользуются сложение и умножение по модулю g(x).

Пример 5.13. Рассмотрим кольцо классов вычетов по модулю полинома g(x)= x2 + x +1 над двоичным полем. Полиномы вида a(x)= Q(x)g(x)+r(x), где r(x)

– произвольный полином, степень которого меньше 2, при фиксированном r(x)

образуют класс вычетов по модулю x2 + x +1. Так как всего имеется 4 разных полинома r(x) степени меньше 2, то возможны 4 следующие класса вычетов:

Здесь Q(x) – произвольный полином. В качестве представителей классов обычно выбирают вычеты наименьшей степени, которые совпадают с полиномами r(x) и образуют кольцо классов вычетов по модулю полинома x2 + x +1,

т.е. множество (0,1, x, x +1).

192

5.3.4. Векторное пространство

Определение вектора

Вектором называется упорядоченное множество из n элементов поля, обозначаемое как [a1,a2 ,...,an ]. Величины ai F называются компонентами (ко-

ординатами) вектора. Число компонентов вектора n называется длиной вектора. Векторы считаются равными, если равны их соответствующие компоненты. Число ненулевых компонентов вектора называют весом вектора [33].

Сложение двух векторов длины n определяется следующим образом:

[a1,a2 ,...,an ]+[b1,b2 ,...,bn ]= [a1 +b1,a2 +b2 ,...,an +bn ].

Умножение элемента поля на вектор производится покомпонентно:

α[b1,b2 ,...,bn ]= [αb1,αb2 ,...,αbn ],

причем сложение и умножение компонентов векторов происходит по правилам сложения и умножения в поле F .

Для векторов введено понятие нормы [25, 33], которая для вектора A оп-

n

ределяется как A = ∑ai2 , где символ ∑ означает суммирование в поле действи-

i=1

тельных чисел. Если компоненты вектора принадлежат двоичному полю, то норма вектора совпадает с числом его ненулевых компонентов, т.е. с его весом.

Вектор v =α1u1 +α2u2 +... +αkuk , где αi – элементы поля, называют линейной комбинацией векторов u1,u2 ,...,uk . Векторы u1,u2 ,...,uk называются линейно зави-

симыми, если в F существуют такие элементы α1,α2 ,...,αk , по крайней мере один из которых не равен нулю, такие что α1u1 +α2u2 +... +αkuk = 0 и линейно независи-

мыми в противном случае. Если векторы линейно зависимы, то любой из них может быть выражен через линейную комбинацию остальных.

Определение векторного пространства

Множество V называется векторным пространством, если для него выполняются следующие аксиомы:

V. 1. Множество V является аддитивной абелевой группой.

V.2. Для любого вектора v V и любого скаляра – элемента α поля F

193

определено произведение αv , являющееся вектором. Это произведение определено так, что lv = v , где l – единичный элемент поля F .

V.3. Выполняются законы дистрибутивности

α(v1 + v2 )=αv1 +αv2 и (α + β)v =αv + βv ,

где α, β – скаляры, а v1 и v2 – векторы. V.4. Выполняется закон ассоциативности

(αβ)v =α(βv),

где α, β – скаляры, а v – вектор.

Свойства векторного пространства

1.Максимальное число линейно независимых векторов в V называется размерностьюпространства V надполем F .

2.Совокупность n любых линейно независимых векторов называется базисом и-мерного пространства, если каждый из векторов пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Векторы совокупности называютсябазисными.

3.Подмножество W векторного пространства V такое, что любая линейная комбинация векторов этого подмножества снова принадлежит W , называется подпространством пространства V . Легко проверить, что все векторы подпространства удовлетворяют аксиомам V.1 – V.4. Очевидно, что размерность подпространства не превышает размерности пространства, т.к. во всем пространстве содержится не более n линейно независимых векторов. Каждое подпространство можно рассматривать

как самостоятельное пространство. Следовательно, каждое подпространство имеет свойбазис.

4. Скалярным произведением двух векторов одинаковой длины n : v = [a1,a2 ,...,ak ] и u = [b1,b2 ,...,bk ] называется скаляр, определяемый как

(vu)= (a1b1 + a2b2 +... + anbn ).

Можнопоказать, что (vu)= (uv) и (w(u + v))= (wu)+ (wv).

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то говорят,

194

что эти векторы ортогональны. Два пространства называются взаимно ортогональными, если каждый вектор одного пространства ортогонален любому вектору другого пространства.

Множество всех векторов пространства V , ортогональных подпространству V1 , образуют подпространство V2 пространства V . Подпространство V2

часто называют нулевым пространством для V1 .

Можно показать, что если V1 – подпространство размерности k n -

мерного векторного пространства V , то размерность нулевого пространства равна n − k .

5. Для векторного пространства определено понятие расстояния между двумя векторами, которое совпадает с нормой разности этих векторов

n

d(A, B)= A − B = ∑(ai −bi )2 ,

i =1

где суммирование производится в поле действительных чисел.

5.3.5. Конечные поля

Определение конечного поля

Ранее в 1.3.2 дано определение поля F как коммутативного кольца с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент. В теории помехоустойчивых кодов весьма важное значение имеют поля, образованные конечным множеством элементов – так называемые конечные поля Галуа (Galois Field), обозначаемые GF . В связи с этим дадим их развернутое определение.

Конечным полем GF называется конечное множество элементов, замкнутое по отношению к двум заданным в нем операциям комбинирования элементов. Под замкнутостью понимается тот факт, что результаты операций не выходят за пределы конечного множества введенных элементов. Для конечных полей выполняются следующие аксиомы.

GF.1. Из введенных операций над элементами поля одна называется сложением и обозначается как a +b , а другая - умножением и обозначается как

195

левой элемент имеет обратный элемент тогда и только тогда, когда p – простое число [25, 26, 33]. Следовательно, кольцо вычетов по модулю простого числа p

является простым полем GF(p). Элементами этого поля являются целые числа

0,1, 2,..., p −1. Операции сложения и умножения в таком поле производятся по модулю p . Пример простейшего двоичного поля GF(2) приведен в 5.3.3.

Элементами β расширенного поля GF(pm ) могут быть, например, все многочлены степени m −1 или меньше, коэффициенты которых лежат в простом поле GF(p). Число pm называется порядком расширенного поля и опреде-

ляет количество различных многочленов.

Правила сложения и умножения полиномов – элементов расширенного конечного поля получаются из обычных правил сложения и умножения полиномов с последующим приведением результата по модулю некоторого специального многочлена p(x) степени m . Такое приведение эквивалентно делению многочлена результата на p(x) и использованию только остатка.

Очевидно, любые результаты вычислений в поле после приведения по модулю p(x) должны оставаться обратимыми – только в этом случае наша сис-

тема образует поле. Для этого используемый полином p(x) должен быть непри-

водимым в поле GF(p), т.е. его нельзя разложить на множители, используя только многочлены с коэффициентами из GF(p). Это означает также, что

не имеет корней в поле GF(p). Аналогом неприводимого полинома является простое число в поле вещественных чисел.

К сожалению, регулярных методов поиска неприводимых полиномов не существует, они обычно определяются перебором. К настоящему времени имеются подробные таблицы неприводимых полиномов [30, 33].

Особым свойством конечных полей является связь между собой всех ненулевых элементов β и возможность выражения каждого из них через один эле-

мент α , называемый примитивным, как некоторую целую степень этого элемента. Множество pm −1 ненулевых элементов расширения GF(p) образует циклическую мультипликативную группу (см. 5.3.2), т.е. элементы находятся

197

между собой в соотношении 1, α, α2 ,..., α pm −1, α pm =1. Примитивных элементов в

GF(pm ) может быть несколько.

Построение конечного поля

Построим конечное поле GF(2) и его расширение GF(24 ). Пусть элемен-

тами GF(2) являются 0 и 1, а элементами GF(24 ) – 16 всевозможных полиномов степени 3 и менее с коэффициентами из GF(2):

0,1, x, x +1, x2 , x2 +1, x2 + x, x2 + x +1,..., x3 + x2 + x +1.

Теперь необходимо определить операции над элементами таким образом, чтобы их результаты не давали новых элементов, кроме уже введенных.

В поле GF(2) обычные операции умножения (на 0 и 1) и деления (на 1)

не выводят результат за пределы множества 0; 1. Однако при сложении и вычитании элементов это требование может уже не выполняться: 1 +1 = 2 ;

−1 + (−1)= −2 и т. д. Свойства конечного поля будут, очевидно, соблюдаться, если

вкачестве операции сложения использовать суммирование по модулю 2 (mod 2):

xn −1 в тех случаях, когда полиномы заданы над полем характеристики 2. Если, однако, характеристика поля p ≠ 2 , такая замена неправомерна, и полино-

мы каждого вида нужно рассматривать самостоятельно.

В поле GF(24 ) операцией, которая может вывести результат за пределы поля, является умножение многочленов. Обычное перемножение может дать полином степени больше 3, не принадлежащий множеству элементов GF(24 ). Дей-

ствительно, используя представление полиномов через векторы их коэффициентов [26], а также учитывая (5.9), получим

(1101)(1001)↔ (x3 + x2 +1)(x3 +1)= x6 + x5 + x3 + x3 + x2 +1 = x6 + x5 + (1 +1)x3 + x2 +1 = x6 + x5 + x2 +1 ↔1100101.

Поэтому введем дополнительное условие, чтобы x удовлетворял некоторому уравнению степени m = 4 , например, p(x)= x4 + x +1 = 0 или x4 = x +1. Тогда

198

x5 = x2 + x ; x6 = x3 + x2 ; x7 = x4 + x3 = x3 + x +1 и т.д., а

x6 + x5 + x2 +1 = x3 + x2 + x2 + x + x2 +1 = x3 + x2 + x +1 ↔1111 , т.е. не выходит за пределы поля GF(24 ).

Нетрудно видеть, что результат проделанного преобразования полинома

Или x6 + x5 + x2 +1 = (x2 + x)p(x)+ x3 + x2 + x +1 = (x3 + x2 + x +1)(mod p(x)). Делением на полиномы первой степени x и x +1 , и второй степени x2 , x2 +1 и x2 + x +1 можно убедиться, что рассматриваемый многочлен p(x)= x4 + x +1 неприводим над GF(2), а следовательно, не имеет в нем корней. В противном случае p(x)

раскладывался бы на сомножители x + 0 = x и x +1 , ибо корнями в поле GF(2)

могут быть только 0 или 1.

Для нахождения примитивных элементов поля, как и неприводимых полиномов, приходится прибегать к таблицам. В нашем примере поля GF(24 ), за-

даваемого многочленом p(x)= x4 + x +1, примитивным элементом является α = x .

Последовательно применяя равенства αi+1 = xαi и p(x)= 0 (или, что эквива-

лентно, x4 = x +1), получим упорядоченное по степеням примитивного элемента

αмножество элементов β , составляющее конечное поле GF(24 ).

Втабл. 5.2 даны различные представления элементов β поля GF(24 ), за-

данного полиномом p1(x)= x4 + x +1, а также полиномом p2 (x)= x4 + x3 +1. Представление элементов поля по степеням примитивного элемента α

удобно, в частности, при умножении элементов друг на друга. Для этого доста-

199

точно сложить их степени по модулю pm −1 (применительно к табл. 5.2 – по

модулю 15). Например,

β10β13 = (x2 + x +1)(x3 + x2 +1)=α10α13 ↔ (10 +13)mod15 = 8 ↔α8 = x2 +1.

Прямые вычисления дают то же, но более трудоемко:

β10β13 = (x2 + x +1)(x3 + x2 +1)= x5 + x4 + x3 + x4 + x3 + x2 + x2 + x +1 = = x5 + x +1 = x2 + x + x +1 = x2 +1.

200