Корольов / Теория связи

где M j (x) – минимальные многочлены элементов β j .

Доказано [30, 33], что наличие 2qИС корней полинома g(x), указанных в определении кода, гарантирует исправление всех ошибок кратности, меньшей или равной qИС .

Основное внимание обратим на коды БЧХ, имеющие длину

кие коды называются примитивными кодами БЧХ.

Часто выбирают v =1 (случай кодов БЧХ в узком смысле), что, как правило, приводит к порождающему полиному наименьшей степени, а значит, и к наименьшему числу избыточных символов в кодовом слове. Кроме того, целесообразно выбрать β =α (α – примитивный элемент поля GF(pm ), поскольку при этом получается наибольшая длина кодового слова. Список порождающих многочленов кодов БЧХ различных длин (вплоть до n = 256 ) имеется, например,

в [26].

Построенные таким образом коды БЧХ, исправляющие как минимум qИС -кратные ошибки, характеризуются конструктивным расстоянием кода

δ = 2qИС +1. Истинное минимальное расстояние d0 кода БЧХ может оказаться больше, чем δ . Это означает, что ряд кодов БЧХ может исправлять ошибки кратности большей, чем та, которую задают при построении этого кода.

многочлен примет вид

При этом проверочная матрица

231

Сравнивая эту матрицу с матрицей (5.19) кода Хэмминга, видим, что код Хэмминга представляет собой частный случай примитивного кода БЧХ, исправляющего однократные ошибки (qИС +1).

Представляет интерес воспользоваться возможностью описания кодов БЧХ в спектральной области (см. 5.4.5). Как следует из свойств дискретного преобразования Фурье, спектры слов циклического кода БЧХ должны содержать нулевые компоненты с номерами j = v, v +1,..., v +2qИС −1 .

Таким образом, циклический код БЧХ, исправляющий qИС -кратные ошиб-

ки, можно определить как множество всех слов над полем GF(p), для которых

2qИС последовательных компонентов спектра равна нулю. Указанное свойство кодов БЧХ используется при их декодировании.

К особенностям кодов БЧХ можно отнести тот факт, что с ростом длины n кода при фиксированном значении скорости кода k n отношение δ n стремит-

ся к нулю. В результате, несмотря на наличие у кодов БЧХ отмеченных положительных свойств, при больших длинах (n >1000) приходится отдавать предпоч-

тение другим кодам [3, 30].

5.5.2. Принципы декодирования кодов БЧХ

Коды БЧХ относятся к классу циклических, что позволяет применять для их декодирования любые методы, разработанные для циклических кодов. Однако для кодов БЧХ получены специальные эффективные методы декодирования,

называемые алгебраическими.

Для уяснения принципа декодирования этими методами обратимся к двоичным кодам БЧХ (p −2), исправляющим двукратные ошибки (qИС = 2).

В соответствии с (5.25) и (5.26) эти коды можно задать при помощи проверочной матрицы

и порождающего полинома g(x)= НОК[M1 (x), M3 (x)] имеющего своими корнями

232

элементы конечного поля GF(pm ).

Последовательность принятых символов Y = (y0 y1...yn−1 ) описывается мно-

гочленом Y (x) степени n −1, который можно представить через порождающий многочлен g(x) следующим образом:

Y (x)= Z (x)g(x)+ E(x).

где E(x) – полином степени n −1, соответствующий вектору ошибки (см. 5.4.1)

В двоичном случае ненулевые компоненты вектора ошибки ei и ej равны

1, поэтому задача декодирования кода БЧХ, исправляющего двукратные ошиб-

не значениями i и j , а однозначно связанными с этими номерами некоторыми элементами β1 и β2 конечного поля GF(pm ), причем β1 =αi , β2 =α j . Поскольку порядок примитивного элемента α равен длине кодового слова n = 2m −1, то элементы β1 и β2 действительно однозначно сопоставляются номерам i и j .

Значения β1 и β2 принято называть локаторами, т.е. указателями искаженных позиций последовательности символов Y .

Процедура декодирования двоичного кода БЧХ начинается с вычисления

являющегося (n −k )-символьной комбинацией: C = (c0c1...cn−k −1 ). В соответствии с

233

(5.14) и (5.19)

C = SH T + EH T = EH T ,

т.е. синдром не зависит от принятой комбинации S , а определяется только вектором ошибки E .

Подставив в (5.28) матрицу (5.27) кода БЧХ, получим

Поскольку при максимальной заданной кратности ошибок qИС = 2 вектор

E имеет лишь два ненулевых компонента на позициях с номерами i и j , то

αi +α j = c ,α3i +α3 j =1c3. .

Теперь можно указать один из путей решения задачи декодирования кода БЧХ, исправляющего двукратные ошибки. Действительно, по принятой комбинации символов Y в соответствии с (5.28) можно вычислить значение синдрома. Тогда система (5.29) будет содержать два линейно-независимых уравнения с двумя неизвестными β1 и β2 , а значит, может быть решена (в конечном поле GF(pm ) относительно этих неизвестных.

Для отыскания локаторов β1 и β2 оказывается удобным преобразовать систему (5.29) с тем, чтобы свести задачу к поиску корней некоторого много-

234

Решая его, можно найти значения локаторов β1 и β2 , однако по причинам, кото-

рые будут изложены в 5.5.3, отыскиваются корни уравнения

Многочлен в левой части уравнения называется многочленом локаторов ошибок. Корни этого многочлена z1 и z2 являются обратными к локаторам, т.е.

z1 = β1−1 и z2 = β2−1 .

Обычно многочлен локаторов ошибок обозначается σ(z) и имеет вид

В рассматриваемом случае коэффициенты этого многочлена равны соответственно σ0 =1; σ1 = c1 ; σ2 = c12 +c3 c1 .

Наконец, для решения задачи декодирования двоичного кода БЧХ необходимо отыскать корни z1 и z2 многочлена локаторов ошибок с известными ко-

эффициентами σ0 , σ1 и σ2 . Очевидно, это можно сделать, вычисляя его значе-

ния при z , равном всем ненулевым элементам GF(2m ).

Следует отметить, что стратегия декодирования, изложенная на примере двоичного кода БЧХ, исправляющего только ошибки до кратности 2, с успехом может быть обобщена и использована для случая кодов БЧХ, исправляющих произвольную кратность ошибок.

Декодирование недвоичных кодов БЧХ (p > 2) представляет собой более сложную задачу. Это обусловлено тем, что при декодировании таких кодов необходимо не только определить номера символов, в которых произошла ошибка, но и вычислить p -ичные значения компонентов вектора ошибки E . Особен-

ности выполнения этих операций применительно к p -ичным кодам Рида-

Соломона приведены в следующем разделе.

235

5.5.3. Методы реализации этапов декодирования кодов БЧХ

Изложенные в 5.5.2 основные идеи декодирования кодов БЧХ позволяют представить процесс декодирования в виде совокупности следующих трех основных этапов.

Этап 1. Вычисление синдрома C по принятой комбинации символов Y . Этап 2. Нахождение коэффициентов многочлена локаторов ошибок σ(z).

Этап 3. Вычисление корней многочлена σ(z), определение взаимных с ним величин – локаторов ошибок и исправление ошибочных символов в принятой комбинации Y (для недвоичных кодов БЧХ требуется найти, помимо локаторов, оценки компонентов ei вектора ошибки).

Каждый из перечисленных этапов процесса декодирования кодов БЧХ может быть реализован разными способами, существенно отличающимися друг от друга по сложности реализации. Рассмотрим основные из этих способов и проиллюстрируем их примером.

Этап 1. Отыскание синдрома C кода БЧХ по принятой последовательности символов Y = (y0 y1...yn−1 ) может осуществляться путем деления многочлена

Y (x) на минимальные многочлены M j (x), задающие порождающий многочлен g(x) двоичного кода БЧХ (5.25). Действительно:

Y (x)= Q1(x)M1(x)+ R1(x), Y (x)= Q2 (x)M2 (x)+ R2 (x),

…………………………..

Y (x)= Q2qИС −1(x)M2qИС −1(x)+ R2qИС −1(x),

где Rj (x) – остаток от деления многочлена Y (x) на минимальный многочлен

M j (x).

Подставив в j -е уравнение корень α j минимального многочлена M j (x), имеем

236

ма cj =Y (α j )= Rj (α j ).

Таким образом, первый этап декодирования кодов БЧХ может быть сведен к вычислению остатков Rj (x) от деления многочлена Y (x) на минимальные многочлены M j (x) элементов α j (j =1,3,...,2qИС −1) и подстановке этих элементов в многочлены остатка

Сопоставляя выражение (5.30) с (5.23), описывающим прямое преобразование Фурье, можно сделать вывод о том, что компонент c j синдрома есть j -й

коэффициент ДПФ принятой последовательности символов Y . Учтем также, что j -й коэффициент ДПФ этой последовательности есть сумма j -х коэффици-

ентов ДПФ кодового слова S и вектора ошибки E , поэтому

cj =Y (α j )= S j (α j ).

Поскольку по определению кода БЧХ S(α j )= 0 для j =1,2,...,2qИС , то компонент синдрома cj = E(α j ), j =1,2,...,2qИС .

Таким образом, блок компонентов синдрома как бы образует в частотной области окно, через которое можно наблюдать 2qИС из n частотных составляю-

щих спектра вектора ошибки. Заметим, что для двоичных кодов БЧХ из этих 2qИС компонентов c j компоненты с нечетными номерами (j =1,3,...,2qИС −1) вы-

числяются в соответствии с (5.30), а с четными – по формуле с c2 j = c2j . Справед-

ливость этой формулы следует из правила возведения многочлена над GF(p) в

степень p (см. 5.3.5).

Этап 2. Вычисления коэффициентов полинома локаторов ошибок кодов БЧХ, ориентированных на исправление qИС > 2 ошибок, оказываются наиболее трудоемкими. Разработаны различные алгоритмы решения этой задачи, отличающиеся скоростью реализации.

При больших значениях кратности ошибок, особенно интересных на практике, более эффективным оказывается метод, предложенный Берлекэмпом [3, 26]. Суть метода состоит в сведении задачи отыскания коэффициентов о,- многочлена локаторов ошибок к задаче нахождения коэффициентов авторегрес-

237

сионного фильтра (регистра сдвига минимальной длины с линейной обратной связью), генерирующего известную последовательность компонентов синдрома. Следует указать также на возможность решения ключевого уравнения при помощи алгоритма Евклида [3], являющегося рекуррентным и по сложности реализации близким к алгоритму Берлекэмпа.

Этап 3. На данном этапе необходимо отыскать корни zi многочлена лока-

торов ошибок σ(z), коэффициенты которого найдены на предыдущем этапе.

Эти корни являются обратными локаторам βj , т.е. βj = z−j 1 (см. 5.4). По вычис-

ленным таким образом локаторам βj для двоичных кодов БЧХ остается лишь

исправить (проинвертировать) ошибочные символы, номер i которых соответствует локатору βj . При декодировании недвоичных кодов БЧХ необходимо найти оценку компонентов e€i вектора ошибки и лишь затем произвести исправ-

ление, формируя оценки символов переданного кодового слова s€i = yi +e€i .

Поиск элементов z j поля GF(pm ), удовлетворяющих условию σ(zi )= 0 ,

состоит в переборе всех элементов поля. Именно этот способ реализован в процедуре Ченя [30], широко используемой для решения задач третьего этапа декодирования кодов БЧХ. Сущность процедуры состоит в том, что при известных

коэффициентах σ1,σ2 ,...,σr декодер вычисляет значения σ(α)= ∑σkαk ,

k

σ(α2 )= ∑σkα2k и т.д. (здесь α – примитивный элемент поля GF(pm )).

k

Если для некоторого k = i значение σ(αi )= 0 , то это означает, что αi явля-

ется корнем многочлена локаторов ошибки, а элемент βj =α−i является локато-

ром, указывающим на ошибочную позицию в кодовой последовательности, которую следует исправить.

5.6. Коды Рида-Соломона 5.6.1. Основные определения

Коды Рида-Соломона (РС) определены над полем GF(pm ). В дальнейшем

238

рассматриваются коды над конечными полями характеристики p = 2 , как наи-

более распространенные. Поэтому символы кодовых слов являются элементами поля GF(2m ). Коды РС, таким образом, это не двоичные, а 2m - ичные коды БЧХ длины N = 2m −1 . Они являются циклическими кодами с порождающим многочленом

стояние кода.

Выбор длины кода N = 2m −1 гарантирует, что многочлен (5.31) является делителем xN −1, и следовательно, всегда будет выполнено требование к порождающему многочлену циклического кода. Действительно, все ненулевые эле-

Поэтому многочлен xN −1 представим в виде произведения линейных множителей (x −αi ) и делится на любой многочлен (5.31).

Слово кода РС имеет вид: A1 A2...AK B1B2...BN −K , где Ai и Bj – соответственно

информационные и избыточные символы, которые могут быть представлены

D0 = N −K +1 , равным конструктивному δ .

Обозначение символов слов, длины кода, размерности, кодового расстояния прописными буквами Ai , Bj , N , K и D0 введено для того, чтобы отличить их от аналогичных параметров двоичных кодов.

Коды РС являются линейными кодами, поэтому, кроме задания с помощью порождающего многочлена (5.31), они могут быть заданы также прове-

рочным многочленом h(x)= (xN −1)g(x), порождающей G и проверочной H

матрицами.

239

Коды РС существуют для всех K =1,2,..., N . При K =1 код содержит нуле-

вое слово и 2m −1 ненулевых слов, полученных умножением одного базисного вектора порождающей матрицы на все 2m −1 ненулевых элементов конечного поля. Если в (5.31) положить v =1, то для K =1 базисный вектор равен единичному. Тогда все ненулевые кодовые слова составлены из повторяющихся N раз ненулевых элементов поля. Очевидно, кодовое расстояние равно N . Это пример кода с повторением над произвольным конечным полем (см. 5.4.4).

При K = N код РС становится безызбыточным, его словами являются все

(2m )N последовательностей, символами в которых служат элементы поля

GF(2m ). Минимальное расстояние этого кода равно 1.

При K = N −1 в кодовом слове имеется один проверочный символ, который равен взвешенной сумме информационных символов. Весами служат элементы поля GF(2m ). Так как последовательности из K информационных симво-

лов имеют минимальное расстояние, равное 1, то добавление проверочного символа, выбранного специальным образом, может увеличить кодовое расстояние до 2. Напомним, что для двоичных кодов один проверочный символ может быть связан с информационными единственным способом: он равен сумме всех информационных, что при K = N −1 приводит к кодам с простой проверкой на четность. Таким образом, переход к недвоичным кодам (расширению двоичного поля, над которым задается код) предоставляет большие возможности для конструирования новых кодов.

Отметим и другие особенности кодов РС по сравнению с двоичными кодами. Так, расстояние между векторами над полем GF(2m ) по-прежнему опреде-

ляется как расстояние Хэмминга, т. е. равно числу пар несовпадающих компонентов, хотя символы кодовых слов как m -разрядные векторы могут отличаться друг от друга в 1,2,3,..., m разрядах. Такое определение расстояния не учиты-

вает, насколько сильно различаются символы слов, но зато позволяет упростить анализ кодов.

Коэффициентами порождающего g(x) и проверочного h(x) полиномов

240