Линейное программирование. Введение.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и (или) неравенств. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К их числу относятся задачи:

1. рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

2. оптимизации производственной программы предприятий;

3. оптимального размещения и концентрации производства;

4. на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

5. управления производственными запасами;

6. и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так по оценкам американских экспертов около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на ЛП. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач ЛП и их многочисленных модификаций.

Примеры задач линейного программирования.

1.Задача об использовании ресурсов.

Для изготовления двух видов продукции Р₁и Р₂используется четыре вида ресурсовS₁,S₂,S₃,S₄. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице 1.

Таблица 3

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
		Р1	Р2
S1	18	1	3
S2	16	2	1
S3	5	-	1
S4	21	3	-

Прибыль, получаемая от единиц продукции Р₁и Р₂, - соответственно 2 и 3 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть х₁и х₂– число единиц продукции Р₁и Р₂, соответственно, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (1х₁+3х₂) единиц ресурсаS₁, (2х₁+1х₂) единиц ресурсаS₂, (1х₂) единиц ресурсаS₃и (3х₂) единиц ресурсаS₄. Так как потребление ресурсов S₁, S₂, S₃, S₄не должно превышать запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

(1)

По смыслу задачи переменные :

(2)

Суммарная прибыль zсоставит 2х₁руб. от реализации продукции Р₁и 3х₂руб. от реализации продукции Р₂, т.е.:

(3)

Итак, получили экономико-математическую модель задачи: найти такой план выпуска продукции Х=(х₁,х₂), удовлетворяющий системе (1) и условию (2), при котором функция (3) принимает максимальное значение.

Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).

Имеются два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) A,B,C. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице 2.

Таблица 4

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
A	9	3	1
B	8	1	2
C	12	1	6

Стоимость 1 кг корма IиIIсоответственно равна 4 и 6 руб.

Необходимо составить такой дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не меньше установленного предела.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть х₁и х₂– количество кормовIиII, соответственно, входящих в дневной рацион. Этот рацион будет включать (3х₁+1х₂) единиц питательного веществаA, (1х₁+2х₂) единиц питательного веществаB, (1х₂+6х₂) единиц питательного веществаC. Так как содержание питательных веществ S₁, S₂, S₃, в рационе должно быть не менее, соответственно 9, 8, 12 единицы, получим систему неравенств:

(4)

По смыслу задачи переменные :

(5)

Общая стоимость рациона zсоставит в руб.:

(6)

Итак, получили экономико-математическую модель задачи: составить дневной рацион Х=(х₁,х₂), удовлетворяющий системе (4) и условию (5), при котором функция (6) принимает минимальное значение.