- •0Министерство образования Российской Федерации
- •Московская финасово-юридическая академия
- •Учебное пособие по дисциплине «Математические методы в экономике»
- •Оглавление.
- •Введение в математические методы. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории.
- •Математическая модель и ее основные элементы (экзогенные и эндогенные переменные, параметры; виды зависимостей экономических переменных и их описание; уравнения, тождества, неравенства и их системы).
- •Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •Задание.
- •Предмет и задачи исследования операций. Что такое исследование операций и чем оно занимается.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Математические модели операций.
- •Прямые и обратные задачи исследования операций. Основные задачи ио.
- •Линейное программирование. Введение.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •1.Задача об использовании ресурсов.
- •Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
- •Задания:
- •.Общая задача линейного программирования.
- •Геометрический смысл решений неравенств и их систем.
- •Графический метод решения злп.
- •Алгоритм решения злп графическим методом.
- •Задания:
- •Особые случаи задач линейного программирования. (графический метод) Неограниченность области допустимых решений.
- •Не единственность оптимального решения.
- •Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными.
- •Основы симплекс - метода линейного программирования
- •Задачи.
- •Особые случаи симплексного метода Не единственность оптимального решения (альтернативный оптимум).
- •Появление вырожденного базисного решения
- •Отсутствие конечного оптимума.
- •Метод искусственных переменных (м-метод).
- •Задания.
- •Двойственные задачи
- •Свойства взаимно двойственных задач.
- •Алгоритм составления двойственных задач.
- •Объективно обусловленные оценки и их смысл.
- •Задания.
- •Модели целочисленного линейного программирования.
- •Методы отсечения.
- •Метод Гомори.
- •Алгоритм метода Гомори.
- •Понятие о методе ветвей и границ.
- •Задания
- •Транспортная модель.
- •Определение транспортной модели
- •Пример транспортной модели
- •Приведение любой транспортная модель к сбалансированной.
- •Решение транспортной задачи
- •Нахождение первоначального допустимого базисного решения.
- •I. Метод северо-западного угла
- •II.Метод минимальной стоимости.
- •Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис. Метод потенциалов.
- •Нахождение переменной, выводимой из базиса.
- •Распределительный метод (построение замкнутого цикла).
- •Примеры задач транспортной модели. Модель производства за запасами
- •Задания.
- •Элементы теории игр.
- •Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.
- •Задания.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Задания:
- •Нелинейное программирование. Классическое определение экстремума.
- •Глобальный экстремум.
- •Условный экстремум.
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •Задача выпуклого программирования.
- •Производная по направлению и градиент.
- •Методы спуска.
- •Градиентные методы.
- •Задания.
- •Динамическое программирование.
- •Общая постановка задач динамического программирования.
- •Принцип оптимальности.
- •Уравнения Беллмана.
- •Общая схема решения задач динамического программирования.
- •Задача о распределении средств между предприятиями.
- •Задания.
- •Модели сетевого планирования и управления.
- •Порядок построения сетевых графиков.
- •Задания.
- •Ключ к тесту.
- •Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
- •Список литературы.
Элементы теории игр.
На практике часто возникают ситуации, в которых надо принимать решения в условиях неопределенности, то есть две или более сторон преследуют различные цели, а результаты действий каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Так, например, игры в шашки, шахматы, карты относятся к конфликтным, результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров.
В экономике конфликтные ситуации встречаются часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между продавцами и покупателями, поставщиками и потребителями, банком и клиентом.
Любой партнер стремиться принимать оптимальное решение и при этом сталкивается не только со своими целями., но и с целями партнера, и зависит от решений, которые будет принимать партнер.
Методы для решения задач с конфликтной ситуацией разработаны в математической теории, которая называется теорией игр.
Основные понятия теории игр:
Игра- математическая модель конфликтной ситуации.
Игроки- стороны, участвующие в конфликте.
Выигрыш- исход конфликта.
Для любой формализованной игры вводятся правила, которые определяют:
варианты действия игроков;
объем информации каждого игрока о поведении партнера;
выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.
Как правило выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.
Например выигрыш - 1;
проигрыш - 0;
ничья - 1/2.
Игра называется парной, если в ней участвуют 2 игрока. если игроков больше 2, то игра называетсямножественной.
Мы будем рассматривать парные игры.
Пусть имеются 2 игрока: А и В. Их интересы противоположны. Игра - это ряд действий игроков А и В.
Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если интересы партнеров противоположны, то есть выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
а - выигрыш игрока А;
в - выигрыш игрока В, тогда
а=-в.
В этом случае достаточно рассматривать только а.
Ходом игроканазывается выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий.
Личный ход- это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматах).
Случайный ход- случайно выбранное действие (например, выбор карты из колоды).
Стратегия игрока- это совокупность правил, определяющих выбор игрока при любом личном ходе, в зависимости от ситуации.
Иногда возможно, что все решения игрока в ответ на сложившеюся ситуацию, приняты заранее. Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью компьютера).
Игра называется конечной, если игрок имеет конечное число стратегий. В противном случае игра называетсябесконечной.
Решение игры- это выбор каждым игроком стратегии, которая удовлетворяет условию оптимальности, те есть один игрок должен получить максимальный выигрыш, когда другой игрок придерживается своей стратегии. В то же время другой игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называютсяоптимальными.
Условие устойчивости: каждому из игроков должно быть не выгодно отказаться от своей стратегии. Оптимальная стратегия должна удовлетворять условию устойчивости.
Если игра повторяется много раз, то игроков интересует выигрыш или проигрыш в среднем.
Целью теории игр является определение оптимальнойй стратегии каждого игрока.
При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно сточки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша, как показателя эффективности, в то время, как большинство экономических задач имеют более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило возникают ситуации, где интересы партнеров не антагонистические