- •0Министерство образования Российской Федерации
- •Московская финасово-юридическая академия
- •Учебное пособие по дисциплине «Математические методы в экономике»
- •Оглавление.
- •Введение в математические методы. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории.
- •Математическая модель и ее основные элементы (экзогенные и эндогенные переменные, параметры; виды зависимостей экономических переменных и их описание; уравнения, тождества, неравенства и их системы).
- •Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •Задание.
- •Предмет и задачи исследования операций. Что такое исследование операций и чем оно занимается.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Математические модели операций.
- •Прямые и обратные задачи исследования операций. Основные задачи ио.
- •Линейное программирование. Введение.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •1.Задача об использовании ресурсов.
- •Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
- •Задания:
- •.Общая задача линейного программирования.
- •Геометрический смысл решений неравенств и их систем.
- •Графический метод решения злп.
- •Алгоритм решения злп графическим методом.
- •Задания:
- •Особые случаи задач линейного программирования. (графический метод) Неограниченность области допустимых решений.
- •Не единственность оптимального решения.
- •Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными.
- •Основы симплекс - метода линейного программирования
- •Задачи.
- •Особые случаи симплексного метода Не единственность оптимального решения (альтернативный оптимум).
- •Появление вырожденного базисного решения
- •Отсутствие конечного оптимума.
- •Метод искусственных переменных (м-метод).
- •Задания.
- •Двойственные задачи
- •Свойства взаимно двойственных задач.
- •Алгоритм составления двойственных задач.
- •Объективно обусловленные оценки и их смысл.
- •Задания.
- •Модели целочисленного линейного программирования.
- •Методы отсечения.
- •Метод Гомори.
- •Алгоритм метода Гомори.
- •Понятие о методе ветвей и границ.
- •Задания
- •Транспортная модель.
- •Определение транспортной модели
- •Пример транспортной модели
- •Приведение любой транспортная модель к сбалансированной.
- •Решение транспортной задачи
- •Нахождение первоначального допустимого базисного решения.
- •I. Метод северо-западного угла
- •II.Метод минимальной стоимости.
- •Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис. Метод потенциалов.
- •Нахождение переменной, выводимой из базиса.
- •Распределительный метод (построение замкнутого цикла).
- •Примеры задач транспортной модели. Модель производства за запасами
- •Задания.
- •Элементы теории игр.
- •Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.
- •Задания.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Задания:
- •Нелинейное программирование. Классическое определение экстремума.
- •Глобальный экстремум.
- •Условный экстремум.
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •Задача выпуклого программирования.
- •Производная по направлению и градиент.
- •Методы спуска.
- •Градиентные методы.
- •Задания.
- •Динамическое программирование.
- •Общая постановка задач динамического программирования.
- •Принцип оптимальности.
- •Уравнения Беллмана.
- •Общая схема решения задач динамического программирования.
- •Задача о распределении средств между предприятиями.
- •Задания.
- •Модели сетевого планирования и управления.
- •Порядок построения сетевых графиков.
- •Задания.
- •Ключ к тесту.
- •Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
- •Список литературы.
Задания.
Задачи 1-6 из раздела особые случаи симплекс-метода (графический метод) решить с помощью М-метода.
Двойственные задачи
Экономическая интерпретация двойственной задачи.
Рассмотрим две задачи ЛП
Таблица 6
Задача 1 (исходная) |
Задача 2 (двойственная) |
Целевая функция: F=c1x1+c2x2+…+cnxnmax При ограничениях:
И условиях неотрицательности x10,x20,…xn0 Составить такой план выпуска продукции Х=(х1, х2,…хn), при котором прибыль от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов |
Целевая функция: Z=b1y1+b2y2+…+bmymmin При ограничениях:
И условиях неотрицательности y10,y20,…ym0 Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y=(y1, y2,…yn), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальны при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли от реализации этой продукции |
Цены ресурсов y1,y2…ym- это цены на ресурсы, которые мы называемучетными, неявными, теневыми. Смысл этих названий состоит в том, что это условные "ненастоящие" цены, которые появились бы в том случае, если фирма, осуществляющая данный производственный процесс, вместо производства, решила бы продать имеющиеся ресурсы, причем таким образом, чтобы прибыль от их продажи была бы не меньше, чем прибыль от данного производственного процесса. А фирма, покупающая ресурсы, желала бы минимизировать затраты на покупку. В отличие от "внешних" цен с1, с2…сnна продукцию, известных до начала производства, цены ресурсов y1, y2…ymсчитаются "внутренними", не известными до начала производственного процесса, так как они определяются в процессе решения задачи. Их называют оценками ресурсов.
Свойства взаимно двойственных задач.
В одной задачи ищется максимум, в другой минимум линейной функции.
Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи.
Каждая задача записана в стандартной форме, причем в задаче на минимум все неравенства вида "", а в задаче на максимум - вида "".
Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обоих задач являются транспонированными друг к другу: А и Ат.
Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных другой задачи.
Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.
Две задачи ЛП, обладающие этими свойствами называются симметричными взаимно двойственными (двойственными).
Алгоритм составления двойственных задач.
Приводим все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному символу (причем в задаче на максимум к виду "", а в задаче на минимум к виду "").
Составляем расширенную матрицу А1, в которую включаем матрицу А, столбец свободных членов и строку коэффициентов при переменныхцелевой функции.
Находим А1т.
Формулируем двойственную задачу на основе полученной матрицы А1ти условии неотрицательности переменных.
Пример 8.
Приведем ограничения к виду ""
Составим расширенную матрицу А1
Транспонируем матрицу:
И сформулируем двойственную задачу:
Первая (основная) теорема двойственности: если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая задача, причем оптимальные значения их целевых функций равны.Fmax=Zmin. Если область допустимых решений одной из задач неограниченна, то условия другой задачи противоречивы.
Замечание. Обратное утверждение не верно. Если условия одной задачи противоречивы, это не означает, что другая задача неограниченна.
Экономический смысл первой теоремы двойственности.План производства Х*=(х*1, х2*,…х*n) и набор оценок ресурсов Y*=(y*1, y2*,…y*m) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от продукции, найденная по "внешним", заранее известным ценам с1, с2,…сn, равна затратам на ресурсы по "внутренним", определенным в процессе решения, ценам y1, y2,…ym. Для всех других планов Х иYприбыль всегда меньше (или равна) затратам на ресурсы. Т.е. предприятию безразлично производить ли продукцию по оптимальному плануX*или продавать ресурсы по оптимальным ценамY*. Прибыль и в том и в другом случае одинакова.
Тесная связь между двумя двойственными задачами проявляется не только в равенстве оптимальных значений их целевых функций. Если каждую из двойственных задач решать симплекс-методом, то необходимо привести их к каноническому виду. Для этого в задаче Iвводятсяmнеотрицательных переменных хn+i, гдеi=1,2,…m, а воIIзадачеnнеотрицательных переменныхym+j, гдеj=1,2,…n. Системы ограничений принимают вид:
Таблица 7
Переменные исходной задачи | |||||||
Первоначальные переменные |
Дополнительные переменные | ||||||
x1 |
x2 |
… |
xn |
xn+1 |
xn+2 |
… |
xn+m |
ym+1 |
ym+2 |
… |
ym+n |
y1 |
y2 |
… |
ym |
Дополнительные переменные |
Первоначальные переменные | ||||||
Переменные двойственной задачи |
Теорема: положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любыхiвыполнено: если х*j0, тоy*m+i=0 и если х*j=0, тоy*m+i0 и аналогично для любыхjвыполнено: если y*j0, тоx*n+j=0 и если y*j=0, тоx*n+j0.
Вторая теорема двойственности: компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции, выраженной через не основные переменные, ее оптимального решения.
Пример 9:
Если в исходной задаче на последнем шаге выполнения симплекс-метода получили: F=24-4/5x3-3/5x4иF(x*)=24 - максимум функции, оптимальное решениеX*=(6;4;0;0;1;3), то в двойственной задаче будем иметь:z=24+y3+3y4+6y5+4y4z(x*)=24 - минимум функции, а оптимальным решением будет:Y*=(4/5;3/5;0;0;0;0).
Соответствие между переменными:
Таблица 8
Переменные исходной задачи | |||||
Первоначальные переменные |
Дополнительные переменные | ||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
х5 |
x6 |
y5 |
y6 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
Дополнительные переменные |
Первоначальные переменные | ||||
Переменные двойственной задачи |
Замечание: Если в одной из двойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырожденно.
Метод, при котором сначала симплекс-методом решается двойственная задача, а затем оптимум и оптимальное решение исходной задачи находится с помощью теорем двойственности, называется двойственным симплекс-методом. Он применяется в случаях, когда первое базисное решение недопустимо или m>n.