- •0Министерство образования Российской Федерации
- •Московская финасово-юридическая академия
- •Учебное пособие по дисциплине «Математические методы в экономике»
- •Оглавление.
- •Введение в математические методы. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории.
- •Математическая модель и ее основные элементы (экзогенные и эндогенные переменные, параметры; виды зависимостей экономических переменных и их описание; уравнения, тождества, неравенства и их системы).
- •Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •Задание.
- •Предмет и задачи исследования операций. Что такое исследование операций и чем оно занимается.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Математические модели операций.
- •Прямые и обратные задачи исследования операций. Основные задачи ио.
- •Линейное программирование. Введение.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •1.Задача об использовании ресурсов.
- •Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
- •Задания:
- •.Общая задача линейного программирования.
- •Геометрический смысл решений неравенств и их систем.
- •Графический метод решения злп.
- •Алгоритм решения злп графическим методом.
- •Задания:
- •Особые случаи задач линейного программирования. (графический метод) Неограниченность области допустимых решений.
- •Не единственность оптимального решения.
- •Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными.
- •Основы симплекс - метода линейного программирования
- •Задачи.
- •Особые случаи симплексного метода Не единственность оптимального решения (альтернативный оптимум).
- •Появление вырожденного базисного решения
- •Отсутствие конечного оптимума.
- •Метод искусственных переменных (м-метод).
- •Задания.
- •Двойственные задачи
- •Свойства взаимно двойственных задач.
- •Алгоритм составления двойственных задач.
- •Объективно обусловленные оценки и их смысл.
- •Задания.
- •Модели целочисленного линейного программирования.
- •Методы отсечения.
- •Метод Гомори.
- •Алгоритм метода Гомори.
- •Понятие о методе ветвей и границ.
- •Задания
- •Транспортная модель.
- •Определение транспортной модели
- •Пример транспортной модели
- •Приведение любой транспортная модель к сбалансированной.
- •Решение транспортной задачи
- •Нахождение первоначального допустимого базисного решения.
- •I. Метод северо-западного угла
- •II.Метод минимальной стоимости.
- •Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис. Метод потенциалов.
- •Нахождение переменной, выводимой из базиса.
- •Распределительный метод (построение замкнутого цикла).
- •Примеры задач транспортной модели. Модель производства за запасами
- •Задания.
- •Элементы теории игр.
- •Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.
- •Задания.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Задания:
- •Нелинейное программирование. Классическое определение экстремума.
- •Глобальный экстремум.
- •Условный экстремум.
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •Задача выпуклого программирования.
- •Производная по направлению и градиент.
- •Методы спуска.
- •Градиентные методы.
- •Задания.
- •Динамическое программирование.
- •Общая постановка задач динамического программирования.
- •Принцип оптимальности.
- •Уравнения Беллмана.
- •Общая схема решения задач динамического программирования.
- •Задача о распределении средств между предприятиями.
- •Задания.
- •Модели сетевого планирования и управления.
- •Порядок построения сетевых графиков.
- •Задания.
- •Ключ к тесту.
- •Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
- •Список литературы.
Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
Модель многоотраслевой экономики была разработана в 1936 году американским экономистом Василием Леонтьевым.
Модель Леонтьева применяется в макроэкономике и связана с ведением многоотраслевого хозяйства. Целью построения данной модели является выяснение объема производства каждой из nотраслей производства, который бы удовлетворял все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает как производитель продукции и как потребитель продукции, произведенной в этой же отрасли и в других отраслях производства.
Предположим что рассматривается nотраслей экономики. Вся произведенная этими отраслями продукция частично идет на внутреннее потребление, а другая (конечная) предназначена для внутреннего и общественного производства.
Рассмотрим период в 1 год.
Введем следующие обозначения: - общий (валовой объем)i-ой отрасли производства.i=1,2,…n;
- объем продукции, произведеннойi-ой отраслью и потребляемойj-ой отраслью;
- объем конечного продуктаi-ой отрасли.
Так как валовой объем продукции i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемойnотраслями, и конечного продукта, то
Данное уравнение называется соотношением баланса.
Будем рассматривать модель в стоимостном выражении. Введем коэффициенты прямых затрат (КПЗ):
, гдеjменяется от 1 доn.
КПЗ показывает затраты i-ой отрасли на производство единицы продукцииj-ой отрасли. В некотором промежутке времени КПЗ - постоянная величина. Следовательно, материальные затраты и валовой выпуск имеют линейную зависимость:
.
Тогда соотношение баланса примет вид:
Введем обозначения:
- вектор валового выпуска;
- вектор конечного продукта;
- матрица прямых затрат.
Тогда систему соотношений баланса можно записать в матричном виде:
Основная задаче межотраслевогобаланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который, при известной матрице прямых затрат А, обеспечивает заданный вектор конечного продукта.
Перепишем уравнение в виде:
.
Если матрица (Е-А) не вырожденная, то есть , то
.
Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент матрицыпоказывает величину валового выпуска продукцииi-ой отрасли, необходимую для обеспечения выпуска единицы конечного продуктаj-ой отрасли.
В соответствии с экономическим смыслом задачи , прии.
Матрица называетсяпродуктивной, если для любогосуществует решениематричного уравнения. В этом случае и модель Леонтьева называетсяпродуктивной.
Критерий продуктивности матрицы А:
Все элементы матрицы и(сумма по столбцам) и существуетjдля которого выполнено.
Пример 4.
В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):
Таблица 1
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовой выпуск | ||
Энергетика |
Машиностроение | ||||
Производство |
Энергетика |
7 |
21 |
72 |
100 |
Машиностроение |
12 |
15 |
123 |
150 |
Вычислить необходимы объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.
Решение.
Имеем:
Найдем коэффициенты прямых затрат:
Матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:
Следовательно, для любого вектора Yможно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле:
Найдем матрицу полных затрат
Так как , то.
По условию вектор конечного продукта , тогда получаем вектор валового выпуска