Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

Модель многоотраслевой экономики была разработана в 1936 году американским экономистом Василием Леонтьевым.

Модель Леонтьева применяется в макроэкономике и связана с ведением многоотраслевого хозяйства. Целью построения данной модели является выяснение объема производства каждой из n отраслей производства, который бы удовлетворял все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает как производитель продукции и как потребитель продукции, произведенной в этой же отрасли и в других отраслях производства.

Предположим что рассматривается n отраслей экономики. Вся произведенная этими отраслями продукция частично идет на внутреннее потребление, а другая (конечная) предназначена для внутреннего и общественного производства.

Рассмотрим период в 1 год.

Введем следующие обозначения: - общий (валовой объем) i-ой отрасли производства. i=1,2,…n;

- объем продукции, произведенной i-ой отраслью и потребляемой j-ой отраслью;

- объем конечного продукта i-ой отрасли.

Так как валовой объем продукции i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

Данное уравнение называется соотношением баланса.

Будем рассматривать модель в стоимостном выражении. Введем коэффициенты прямых затрат (КПЗ):

, где j меняется от 1 до n.

КПЗ показывает затраты i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. В некотором промежутке времени КПЗ - постоянная величина. Следовательно, материальные затраты и валовой выпуск имеют линейную зависимость:

.

Тогда соотношение баланса примет вид:

Введем обозначения:

- вектор валового выпуска;

- вектор конечного продукта;

- матрица прямых затрат.

Тогда систему соотношений баланса можно записать в матричном виде:

Основная задаче межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который, при известной матрице прямых затрат А, обеспечивает заданный вектор конечного продукта.

Перепишем уравнение в виде:

.

Если матрица (Е-А) не вырожденная, то есть , то

.

Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент матрицы показывает величину валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимую для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи , при и .

Матрица называется продуктивной, если для любого существует решение матричного уравнения. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Критерий продуктивности матрицы А:

Все элементы матрицы и (сумма по столбцам) и существует j для которого выполнено .

Пример 4.

В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):

Таблица 1

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72	100
	Машиностроение	12	15	123	150

Вычислить необходимы объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение.

Имеем:

Найдем коэффициенты прямых затрат:

Матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

Следовательно, для любого вектора Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле:

Найдем матрицу полных затрат

Так как , то .

По условию вектор конечного продукта , тогда получаем вектор валового выпуска