II.Метод минимальной стоимости.

Метод минимальной стоимости отличается от метода северо-западного угла тем, что на каждом шаге выбирается переменная не в верхней левой ячейке, а в ячейке стоимость которой минимальна. Все дальнейшие действия осуществляются аналогично методу северо-западного угла.

Пример 16.

	5		15		15		10
15	х11	10	х12	0	х13	20	х14	11
25	х21	12	х22	7	х23	9	х24	20
5	х31	0	х32	14	х33	10	х34	18

Ячейка с наименьшей стоимостью соответствует переменной , ей присваивается значение равноеmin(15;15)=15. вычеркивается первая строка и второй столбец. Поскольку вычеркнуты одновременно строка и столбец, то в вычеркнутых ячейках выбирается ячейка с минимальной стоимостью и соответствующей переменной присваивается значение 0. Далее в оставшейся таблице выбираем ячейку с минимальной стоимостью. Вычеркиваем первый столбец и третью строку,. Осталось не вычеркнутыми две ячейки. Соответственно присваиваем. Во втором пункте потребления остается 10 единиц. Переменной.

	5		15			15				10
15		10	15	0				20				11
25		12	0		7		15		9		10		20
5	5	0			14		0		10				18

Начальное допустимое базисное решение:

Целевая функция при этом будет равна:

Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис. Метод потенциалов.

Метод потенциалов эквивалентен выражению целевой функции через небазисные переменные.

Суть метода: столбцу iстрокеjставится в соответствие переменныепотенциалы. Для всех базисных переменныхвыполнено. Совокупность таких уравнений образует системуm+n-1 уравнений сm+nнеизвестными. Значение потенциалов определяется из этой системы, если одному из потенциалов придается произвольное значение.

Рассмотрим задачу примера 14:

Пусть , тогда

Далее, с помощью полученных потенциалов строятся оценки для небазисных переменных .

Получим оценки небазисных переменных для рассматриваемой задачи:

Критерий оптимальности: если все оценки небазисных переменных, то полученное решение оптимально.

Если критерий оптимальности не выполнен, то переменная, имеющая самую большую оценку, будет вводиться в базис. В нашем случае в базис должна быть введена переменная .

Нахождение переменной, выводимой из базиса.

Этот шаг эквивалентен применению условия допустимости в симплекс-методе. Увеличивать поставку в клетку вводимой переменной (3;1) можно до тех пор, пока одна из базисных переменных не станет равной 0.

Распределительный метод (построение замкнутого цикла).

Для вводимой переменной строится замкнутый цикл (цикл начинается и заканчивается в ячейке вводимой переменной). Он состоит из вертикальных и горизонтальных перемещений по транспортной таблице, причем смена направлений происходит только в ячейках с базисными переменными.

	5		15		15		10
15	5(-)	10	10(+)	0		20		11
25		12	5(-)	7	15	9	5(+)	20
5	х31(+)	0		14		10	5(-)	18

Так как количество перевозимого груза не измениться, то увеличение переменнойна 1 единицу эквивалентно уменьшению переменнойна 1 единицу, увеличениюна 1 единицу, уменьшениюна 1 единицу, увеличениюна 1 единицу, уменьшениюна 1 единицу. Ячейки, в которых перевозимая продукция увеличится, пометим знаком "+", а в которых уменьшиться - "-" (помечаются ячейки, в которых меняется направление построенного цикла).

Соответствующий процесс всегда начинается на "+" и заканчивается на "-". При этом, переменная, выводимая из базиса, расположена в ячейке, помеченной знаком "-". Чтобы выполнилось условие допустимости выбирается минимальное значение в клетках помеченных "-". Эта переменная будет выводится из базиса.

Переход к новой транспортной таблице осуществляется по правилу: значение переменной, выводимой из базиса прибавляется ко всем значениям переменных в ячейкам, помеченным знаком "+" и отнимается от значений переменных в ячейках, помеченных "-".

В нашем случаи min(5;5;5)=5. Следовательно, любую соответствующую переменную можно вывести из базиса. Возьмем переменную

	5		15		15		10
15	0	10	15	0		20		11
25		12	0	7	15	9	10	20
5	5	0		14		10		18

Значение целевой функции при этом уменьшилось на величину

Далее проверяем условие оптимальности с помощью метода потенциалов. Можно считать потенциалы по транспортной таблице, не выписывая отдельно систему. Оценки для небазисных переменных так же можно записать сразу в таблицу.

	V1=10		V2=0		V3=2		V4=13
U1=0	0(-)	10	15(+)	0	-18	20	2	11
U2=7	х21(+)	12	0(-)	7	15	9	10	20
U3=-10	5	0	-24	14	-24	10	-15	18

Условие оптимальности не выполнено.

- переменная, вводимая в базис;

- переменная, выводимая из базиса;

Значение целевой функции не изменилось. Продолжим решать задачу и перейдем к новой транспортной таблице:

	V1=5		V2=0		V3=2		V4=13
U1=0	-5	10	15(-)	0	-18	20	х14(+)	11
U2=7	0	12	0(+)	7	15	9	10(-)	20
U3=-5	5	0	-19	14	-13	10	-10	18

Критерий оптимальности вновь не выполнен.

- переменная, вводимая в базис;

- переменная, выводимая из базиса;

Значение целевой функции не изменилось. Продолжим решать задачу и перейдем к новой транспортной таблице:

	V1=5		V2=0		V3=2		V4=11
U1=0	-5	10	15	0	-18	20	10	11
U2=7	0	12	0	7	15	9	-2	20
U3=-5	5	0	-19	14	-13	10	-12	18

Критерий оптимальности выполнен. Транспортная задача решена. Ответ можно записать в форме таблицы.

	5	15	15	10
15	х11=0	х12=15	х13=0	х14=10
25	х21=0	х22=0	х23=15	х24=0
5	х31=5	х32=0	х33=0	х34=0

Суммарная стоимость всех перевозок равна 315.