Отсутствие конечного оптимума.

Рассмотрим задачу:

При геометрическом решении мы убедились, что оптимум отсутствует. Рассмотрим симплекс-метод на очередном шаге:

Базис	Свободный член	Переменные					Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5
x1	5/3	1	0	-1/3	-1/3	0	
x2	7/3	0	1	-2/3	1/3	0	
x5	4	0	0	-1	1	1	
F	-1/3	0	0	-2/3	-2/5	0

Условие оптимальности целевой функции не выполнено, так как в строке целевой функции коэффициент при . При попытке ввестив базис получаем. Уравнения не ограничивают рост, следовательно,minне ограничен (не достигается).

Вывод:если на каком либо шаге получается, что во всех уравнениях системы (строках симплекс-таблице) бесконечные оценочные отношения той переменной, которая переводится в основные, то задача не имеет конечного оптимума.

Метод искусственных переменных (м-метод).

В рассматриваемой вычислительной схеме симплекс-метода для получения начального базисного решения используются дополнительные переменные. Допустимое базисное решение получается в случае, когда ограничения вида "". Однако для ограничений вида "" или "=" начальное базисное решение может быть недопустимым.

Для получения системы в каноническом виде, обладающей допустимым базисным решением, существует специальный метод. Сначала задача ЛП приводится к канонической форме, в которой все переменные неотрицательные. Затем для каждого ограничения проверяется существование соответствующей базисной переменной. Если ее нет, то вводится новая искусственная переменная y_j с тем же знаком, что и свободный член (искусственных переменных столько, сколько ограничений дающих отрицательную компоненту в первоначальном базисе), играющая роль базисной для данного ограничения. После проверки всех ограничений получается расширенная система в каноническом виде и появляется возможность заполнить начальную симплексную таблицу. Так как введенные переменные не имеют отношения к существу задачи ЛП в исходной постановке, то необходимо добиться обращения в нуль искусственных переменных. Для этого составляем новую целевую функцию T=z-M(y₁+…+y_k), где М – произвольное, большое по отношению к задаче число; k – количество искусственных переменных, и ищем максимальное значение Т-функции.

Теорема:

1. Если в оптимальном решение Т-задачи все искусственные переменные равны 0, то соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной задачи.

2. Если имеется оптимальное решение Т-задачи, в котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от 0, то система ограничений исходной задачи несовместна.

3. Если максимум Т-функции равен бесконечности, то исходная задача неразрешима (либо система несовместна, либо максимум неограничен).

На практике, как правило, Т-задачу разбивают на две задачи и решают с помощью двухэтапного симплекс-метода.

1. Этап 1. Рассматривается искусственная целевая функция -M(y₁+…+y_k) которая максимизируется при помощи симплекс-метода. Другими словами, производится исключение искусственных переменных. Если максимальное значение вспомогательной задачи равно нулю, то все искусственные переменные обращаются в нуль и получается допустимое базисное решение начальной задачи. Далее реализуется этап 2. Если минимальное значение вспомогательной задачи положительное, то по крайней мере одна из искусственных переменных также положительная, что свидетельствует о противоречивости начальной задачи, и вычисления прекращаются.

2. Этап 2. Допустимое базисное решение, найденное на первом этапе, улучшается в соответствии с целевой функцией исходной задачи ЛП на основе симплекс-метода, т.е. оптимальная таблица 1 этапа превращается в начальную таблицу этапа 2 и изменяется целевая функция.

Пример 7.

X₁= (0; 0; -1; 3; 3) не допустимое решение. В первое ограничение, дающее отрицательную компоненту, введем искусственную переменнуюy₁.

Преобразуем систему ограничений, умножив первое и второе уравнение на –1.

Т-функция будет иметь вид: Т=x₁+2x₂-My₁max. Заполняем первую симплекс-таблицу:

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5	y1
y1	1	-1	1	-1	0	0	1	1
x4	3	-1	1	0	1	0	0	3
x5	3	1	0	0	0	1	0	
z	0	-1	-2	0	0	0	0
Мф	-М	М	-М	М	0	0	0

Последняя строка таблицы – это (-М-функция), т.е. -My₁. Заполняется она путем выражения искусственных переменных через небазисные переменные (Строки, в которых присутствует искусственная переменная умножаются на –М и соответствующие их компоненты складываются; в данном случае умножается строка I). В качестве оценочной строки рассматривается строка М_ф. Критерий оптимальности не выполнен. Отрицательный коэффициент соответствует столбцу х₂. Считаем оценочные отношения и находим переменную, выводимую из базиса –y₁. Переходим к новой симплекс таблице.

Базис	Свободный член	Переменные						Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5	y1
х2	1	-1	1	-1	0	0	1
x4	2	0	0	1	1	0	1
x5	3	1	0	0	0	1	0
z	2	-3	0	-2	0	0	-2
Мф	0	0	0	0	0	0	М

Последняя строка показывает, что критерий оптимальности выполнен: max(-M_ф)=0. Искусственная переменная тоже равна нулю. Допустимое базисное решение получено (0; 1; 0; 2; 3). Далее, отбросив последнюю строку и столбец с искусственной переменной переходим ко второму этапу.

Базис	Свободный член	Переменные					Оценочные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5
х2	1	-1	1	-1	0	0
x4	2	0	0	1	1	0
x5	3	1	0	0	0	1
z	2	-3	0	-2	0	0