- •0Министерство образования Российской Федерации
- •Московская финасово-юридическая академия
- •Учебное пособие по дисциплине «Математические методы в экономике»
- •Оглавление.
- •Введение в математические методы. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории.
- •Математическая модель и ее основные элементы (экзогенные и эндогенные переменные, параметры; виды зависимостей экономических переменных и их описание; уравнения, тождества, неравенства и их системы).
- •Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •Задание.
- •Предмет и задачи исследования операций. Что такое исследование операций и чем оно занимается.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Математические модели операций.
- •Прямые и обратные задачи исследования операций. Основные задачи ио.
- •Линейное программирование. Введение.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •1.Задача об использовании ресурсов.
- •Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
- •Задания:
- •.Общая задача линейного программирования.
- •Геометрический смысл решений неравенств и их систем.
- •Графический метод решения злп.
- •Алгоритм решения злп графическим методом.
- •Задания:
- •Особые случаи задач линейного программирования. (графический метод) Неограниченность области допустимых решений.
- •Не единственность оптимального решения.
- •Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными.
- •Основы симплекс - метода линейного программирования
- •Задачи.
- •Особые случаи симплексного метода Не единственность оптимального решения (альтернативный оптимум).
- •Появление вырожденного базисного решения
- •Отсутствие конечного оптимума.
- •Метод искусственных переменных (м-метод).
- •Задания.
- •Двойственные задачи
- •Свойства взаимно двойственных задач.
- •Алгоритм составления двойственных задач.
- •Объективно обусловленные оценки и их смысл.
- •Задания.
- •Модели целочисленного линейного программирования.
- •Методы отсечения.
- •Метод Гомори.
- •Алгоритм метода Гомори.
- •Понятие о методе ветвей и границ.
- •Задания
- •Транспортная модель.
- •Определение транспортной модели
- •Пример транспортной модели
- •Приведение любой транспортная модель к сбалансированной.
- •Решение транспортной задачи
- •Нахождение первоначального допустимого базисного решения.
- •I. Метод северо-западного угла
- •II.Метод минимальной стоимости.
- •Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис. Метод потенциалов.
- •Нахождение переменной, выводимой из базиса.
- •Распределительный метод (построение замкнутого цикла).
- •Примеры задач транспортной модели. Модель производства за запасами
- •Задания.
- •Элементы теории игр.
- •Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.
- •Задания.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Задания:
- •Нелинейное программирование. Классическое определение экстремума.
- •Глобальный экстремум.
- •Условный экстремум.
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •Задача выпуклого программирования.
- •Производная по направлению и градиент.
- •Методы спуска.
- •Градиентные методы.
- •Задания.
- •Динамическое программирование.
- •Общая постановка задач динамического программирования.
- •Принцип оптимальности.
- •Уравнения Беллмана.
- •Общая схема решения задач динамического программирования.
- •Задача о распределении средств между предприятиями.
- •Задания.
- •Модели сетевого планирования и управления.
- •Порядок построения сетевых графиков.
- •Задания.
- •Ключ к тесту.
- •Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
- •Список литературы.
Методы отсечения.
Суть метода состоит в том, что сначала решается задача линейного программирования без условия целочисленности. Если полученный ответ удовлетворяет условию целочисленности, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:
оно должно быть линейным;
оно должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;
оно не должно отсекать ни одного целочисленного плана.
Такие ограничения называются правильными отсечениями.
После введения нового ограничения вновь решается задача линейного программирования. Если вновь полученный план целочисленный то задача решена. Если это не так, то к задаче добавляется новое ограничение. Процесс повторяется до тех пор, пока полученный оптимальный план не будет полностью целочисленным.
Геометрический смысл добавления каждого нового линейного ограничения состоит в проведении дополнительной прямой (гиперплоскости), которая отсекает от многоугольника (многогранника) допустимых решений его часть вместе с оптимальной точкой с нецелыми координатами. В отсекаемую часть не должна попасть ни одна точка с целыми координатами. В результате новый многогранник решений содержит все точки с целыми координатами, содержавшиеся в первоначальном многограннике решений. Следовательно, полученное при этом многограннике оптимальное решение будет целочисленным.
Пример 11.
х1, х2- целые.
Построим область допустимых решений задачи (рис.). Это многоугольник АВСДЕ. Построим вектор градиент целевой функции (1;-3). Ясно, что точкой оптимума будет точка В(3.5;6.5). Полученное решение не удовлетворяет условию целочисленности. Проведем прямую А'B', отсекающую точку В и не отсекающую ни одну целую точку. Получаем новый многоугольник АА'B'СДЕ, где А' и B' имеют целые координаты. Точка А'(3;6) - новое решение задачи целочисленного программирования.
Метод Гомори.
Пусть задача линейного программирования имеет оптимальное решение. Не нарушая общности задачи предположим х1, х2,…хm-это базисные переменные, полученные на последнем шаге симплекс-метода. Они выражены через небазисные переменные хm+1, хm+2,…хn.
Оптимальное решение задачи Х*(1,2, …,m, 0, 0,…,0).
Пусть в этом оптимальном решении iне целая компонента.
Алгоритм метода Гомори.
Решаем задачу симплекс методом. Если найденное решение целочисленно, то задача решена. Если задача не разрешима, то она не имеет решений и в целых числах.
Если среди компонент оптимального решения есть не целые, то надо выбрать компоненту с оптимальной целой частью и сформулировать правильное отсечение из условия
Вводим дополнительную неотрицательную целую переменную хn+1и получаем новое уравнение
Полученную расширенную задачу решаем симплекс-методом. Если новый найденный план целочисленный, то задача решена, если нет то повторяем процедуру.
Замечание.- дробная часть числа.
Если задача разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден. Если в процессе решения появится уравнение, выражающее основную переменную через неосновные, в котором свободный член не целый, а все остальные коэффициенты целые, то задача в целых числах решений не имеет. В симплекс таблице это условие соответствует тому, что в строке с нецелым свободным членом все остальные коэффициенты целые.
Пример 12.
Решить задачу в целых числах.
Приведем задачу к каноническому виду:
Построим симплекс таблицу
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения | ||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 | |||
x3 |
60 |
3 |
5 |
1 |
0 |
0 |
12 |
x4 |
34 |
3 |
4 |
0 |
1 |
0 |
17/2 |
x5 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
z |
0 |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
|
Данный план не оптимален, так как в оценочной строке есть отрицательные элементы. Наибольший по модулю в столбце х2. Следовательно х2переменная вводимая в базис. Построим оценочные отношения. Наименьшее соответствует строке х5. Значит х5вводимая в базис переменная. Переходим к новой симплекс-таблице.
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения | ||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 | |||
x3 |
20 |
3 |
0 |
1 |
0 |
-5 |
20/3 |
x4 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
-4 |
2/3 |
x2 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
z |
24 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
Полученное решение не является оптимальным. х1вводимая, х4выводимая переменная. Переходим к новой симплекс-таблице.
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения | ||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 | |||
x3 |
18 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
-1 |
|
x1 |
2/3 |
1 |
0 |
0 |
1/3 |
-4/3 |
|
x2 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
z |
76/3 |
0 |
0 |
0 |
2/3 |
1/3 |
|
Полученное решение Х(2/3;8;18;0;0) оптимально, но не является целочисленным (х1=2/3).
Построим правильное отсечение из условия:
Найдем дробные части от чисел стоящих в фигурных скобках:
;;
Получим неравенство:
Введем дополнительную целую переменную
Полученное уравнение надо добавить в систему ограничений и решить симплекс-методом новую задачу.
Для сокращения числа шагов можно вводить новое уравнение в симплекс-таблицу, полученную на последнем шаге.
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения | |||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 | |||
x3 |
18 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
-1 |
0 |
|
x1 |
2/3 |
1 |
0 |
0 |
1/3 |
-4/3 |
0 |
|
x2 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
8 |
x6 |
2/3 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
1/3 |
-1 |
1 |
z |
76/3 |
0 |
0 |
0 |
2/3 |
1/3 |
0 |
|
Полученное базисное решение не допустимо (х6=-1).
Замечание.Включение в систему ограничений дополнительного ограничения, соответствующего правильному отсечению всегда дает недопустимое базисное решение.
Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменные переменную, входящую со знаком "+" в уравнение, в котором свободный член отрицательный. В нашем случае это переменная х4или.x5. Введем х5.
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения | |||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 | |||
x3 |
19 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
0 |
-2/3 |
|
x1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-2 |
|
x2 |
7 |
0 |
1 |
0 |
-1/2 |
0 |
3/2 |
|
x5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
3/2 |
|
z |
25 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
1/2 |
|
Полученное решение является оптимальным. Найденный план целочисленен Х(2;7;19;0;1;0).