- •0Министерство образования Российской Федерации
- •Московская финасово-юридическая академия
- •Учебное пособие по дисциплине «Математические методы в экономике»
- •Оглавление.
- •Введение в математические методы. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории.
- •Математическая модель и ее основные элементы (экзогенные и эндогенные переменные, параметры; виды зависимостей экономических переменных и их описание; уравнения, тождества, неравенства и их системы).
- •Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •Задание.
- •Предмет и задачи исследования операций. Что такое исследование операций и чем оно занимается.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Математические модели операций.
- •Прямые и обратные задачи исследования операций. Основные задачи ио.
- •Линейное программирование. Введение.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •1.Задача об использовании ресурсов.
- •Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
- •Задания:
- •.Общая задача линейного программирования.
- •Геометрический смысл решений неравенств и их систем.
- •Графический метод решения злп.
- •Алгоритм решения злп графическим методом.
- •Задания:
- •Особые случаи задач линейного программирования. (графический метод) Неограниченность области допустимых решений.
- •Не единственность оптимального решения.
- •Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными.
- •Основы симплекс - метода линейного программирования
- •Задачи.
- •Особые случаи симплексного метода Не единственность оптимального решения (альтернативный оптимум).
- •Появление вырожденного базисного решения
- •Отсутствие конечного оптимума.
- •Метод искусственных переменных (м-метод).
- •Задания.
- •Двойственные задачи
- •Свойства взаимно двойственных задач.
- •Алгоритм составления двойственных задач.
- •Объективно обусловленные оценки и их смысл.
- •Задания.
- •Модели целочисленного линейного программирования.
- •Методы отсечения.
- •Метод Гомори.
- •Алгоритм метода Гомори.
- •Понятие о методе ветвей и границ.
- •Задания
- •Транспортная модель.
- •Определение транспортной модели
- •Пример транспортной модели
- •Приведение любой транспортная модель к сбалансированной.
- •Решение транспортной задачи
- •Нахождение первоначального допустимого базисного решения.
- •I. Метод северо-западного угла
- •II.Метод минимальной стоимости.
- •Критерий оптимальности и нахождение переменной вводимой в базис. Метод потенциалов.
- •Нахождение переменной, выводимой из базиса.
- •Распределительный метод (построение замкнутого цикла).
- •Примеры задач транспортной модели. Модель производства за запасами
- •Задания.
- •Элементы теории игр.
- •Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.
- •Задания.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Задания:
- •Нелинейное программирование. Классическое определение экстремума.
- •Глобальный экстремум.
- •Условный экстремум.
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •Задача выпуклого программирования.
- •Производная по направлению и градиент.
- •Методы спуска.
- •Градиентные методы.
- •Задания.
- •Динамическое программирование.
- •Общая постановка задач динамического программирования.
- •Принцип оптимальности.
- •Уравнения Беллмана.
- •Общая схема решения задач динамического программирования.
- •Задача о распределении средств между предприятиями.
- •Задания.
- •Модели сетевого планирования и управления.
- •Порядок построения сетевых графиков.
- •Задания.
- •Ключ к тесту.
- •Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
- •Список литературы.
Задание.
В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):
Таблица 2
|
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовой выпуск | ||
|
1 |
2 | ||||
|
Производство |
1 |
100 |
160 |
240 |
500 |
|
2 |
275 |
40 |
85 |
400 | |
Вычислить необходимы объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличится вдвое, а второй отрасли на 20%.
Предмет и задачи исследования операций. Что такое исследование операций и чем оно занимается.
Исследование операций– применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Под решением понимается выбор из рада возможностей, имеющихся у организатора. Решения бывают плохими и хорошими, продуманными и скороспелыми, обоснованными и произвольными.
Исследование операций начинается тогда, когда для принятия решения используется тот или иной математический аппарат.
Чем дороже, сложней и масштабней планируемое мероприятие, тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наилучшие; установить достаточно ли мы имеем информации, а если нет, то информацию какого рода необходимо получить.
Впервые название «исследование операций появилось в годы второй мировой войны. В вооруженных силах США и Англии появились специальные группы инженеров, математиков, физиков в задачу которых входила подготовка проектов решений для командующих боевыми действиями. В дальнейшем ИО расширило область своих применений на самые разные области практики: промышленность, сельское хозяйство, строительство, торговля, транспорт, связь, управление и т.д.
Наиболее типичные задачи ИО:
Планснабженияпредприятия. Имеется ряд предприятий потребляющих известные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз которые могут поставлять это сырье. Базы связаны с предприятиями различными путями сообщения, имеющие свои тарифы. Требуется разработать такой план снабжения, чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных затратах.
Постройкаучасткамагистрали. Сооружается участок железнодорожной магистрали. Имеется определенное количество средств, людей, строительных машин, ремонтных мастерских и др. ресурсов. Требуется спланировать строительство так, чтобы оно было завершено в максимально короткий срок.
Продажасезонныхтоваров. Для реализации определенной масс сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется определить: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них, чтобы обеспечить максимальную эффективность работы.
Снегозащитадорог. Занесенные снегом дороги приводят к экономическому ущербу. Существует ряд возможных способов снегозащиты, каждый из которых требует определенных затрат на сооружение и эксплуатацию. Известны господствующие направления ветров и интенсивность снегопадов. Требуется определить наиболее эффективный способ снегозащиты с учетом потерь, связанных с заносами.
Противолодочныйрейд. Требуется обнаружить подводную лодку противника с самолетов, т.е. рационально организовать рейд: выбрать маршруты и высоту полетов, способ атаки, чтобы обеспечить выполнение боевого задания.
Выборочныйконтрольпродукции. Завод выпускает изделия определенного вида. Для обеспечения высокого качества организуется система выборочного контроля. Требуется разумно организовать контроль (размер партии, набор тестов, способы браковки), чтобы обеспечить заданный уровень качества.
Медицинскоеобследование. В каком- то районе обнаружены несколько случаев опасного заболевания. Надо организовать медицинское обследование жителей района. Требуется разработать такой план: число мед. пунктов, порядок обследования, режим работы, исходя из имеющихся средств (оборудование, помещения, мед. персонал), чтобы выявить максимальный процент заболевших.
Библиотечное обслуживание.Крупная библиотека обслуживает запросы, поступающие от абонентов. Различные книги пользуются различным спросом. Имеется ряд возможностей расположения книг по стеллажам и хранилищам, а так же по диспетчеризации запросов в другие библиотеки. Нужно разработать такую систему библиотечного обслуживания, при которой забросы абонентов удовлетворяются максимально быстро.