Графический метод решения злп.

Рассмотрим ЗЛП в стандартной форме:

(1)

Рассмотрим эту задачу (число на плоскости переменных n=2):

(2)

Пусть система неравенств (2) совместна (имеет хотя бы одно решение).

Любое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой (i=1,2,…,m). Условия не отрицательности определяют полуплоскости с соответственными граничными прямымиx₁=0 иx₂=0.

Так как система совместна, то полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность всех этих точек называется многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, прямая, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Решение ЗЛП графически представляет собой поиск такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют целевой функции наибольшее (наименьшее) значение. Причем допустимым решением являются все точки многоугольника.

Рассмотрим так называемую линию уровняцелевой функцииz, то есть линию, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение х₀:

z=z₀или

Алгоритм решения злп графическим методом.

(число переменных n=2)

1. Строится многоугольная область допустимых решений на плоскости х₁Ох₂, соответствующая ограничениям. Затем строится вектор-градиентцелевой функцииzв любой точке х₀, принадлежащей области допустимых решений.

2. Прямая (линия уровня функцииz), перпендикулярная вектору-градиенту, передвигается параллельно самой себе в направлении вектора-градиента в случае задачи на максимум (в противоположном направлении – в случае задачи на минимум) до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка (или точки) области являются оптимальными точками.

3. Чтобы найти координаты оптимальной точки, надо решить систему уравнений, которая соответствует прямым, пересечение которых образует эту точку. Значение целевой функции в этой точке будет оптимальным, а сами координаты точки будут являться решением задачи ЛП.

Пример 5.

Решить геометрически задачу:

Построим многоугольник всех допустимых решений OABCDи направляющий вектор целевой функции_z(см. рис.1). Направление вектора-градиента указывает направление возрастания целевой функции. Так как рассматриваемая задача на отыскание максимума, то прямую, перпендикулярную вектору_zперемещаем в направлении этого вектора параллельно самой себе до тех пор, пока эта прямая не покинет область допустимых решений. На границе области, в нашем случае в точке С, и будет решение задачи. Точка С находится на пересечении (1) и (2) прямых и, следовательно, ее координаты определяются решением системы уравнений:, откуда х₁=6, х₂=4, т.е. точка С имеет координаты (6,4).

М

Рисунок 3

аксимум (максимальное значение целевой функции) равен:

z=26+34=24

Итак, ответ: z=24 при оптимальном решении х₁=6, х₂=4, т.е. максимальна прибыль может быть достигнута при производстве 6 единиц первой и 4 единиц второй продукции.