Задания.

Определить верхнюю и нижнюю цену игры, минимаксные стратегии и оптимальное решение игры и, если существует седловая точка, определить ее.

1.

0,3	0,6	0,8
0,9	0,4	0,2
0,7	0,5	0,4

2.

4	5	3
6	7	4
5	2	3

3.

8	9	9	4
6	5	8	7
3	4	5	6

4.

2	5	3
6	4	5
3	7	8
2	3	4

5.

4	9	5	3
7	8	6	9
7	4	2	6
8	3	4	7

6.

4	5	6	7	9
3	4	6	5	6
7	6	10	8	11
8	5	4	7	3

Решение игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_Aигрока А называется применение чистых стратегий А₁, А₂,…,А_i,…А_mс вероятностямиp₁, p₂,…,p_i,…p_m, причем сумма вероятностей равна 1:. Смешанные стратегии игрока записываются в виде матрицы:

,

или в виде строки . Аналогично свешанные стратегии игрока В обозначаются:

или, где сумма вероятностей появления стратегий игрока В равна 1:.

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой из нулей и единицы, причем единица должна стоять в позиции, соответствующей чистой стратегии.

На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение игры: это пара оптимальных стратегий , в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии. Выигрыш, соответствующей оптимальному решению, называетсяценой игры .Цена игры удовлетворяет неравенству:

,

где - нижняя цена игры;- верхняя.

Теорема Неймана: каждая конечная игра имеет. по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равен цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Теорема об активных стратегиях дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Пусть задана платежная матрица игры:

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

, а игрок В чистую стратегию(соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры:

.

Тот же средний выигрыш получит игрок А, если игрок В выберет стратегию , то есть:. Учитывая, что, получим систему уравнений для определения оптимальной стратегиии цены игра:

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию и цену игры:

Применяя теорему об активных стратегиях - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (или) средней проигрыш игрока В равен цене игры:

Решая эту систему получим оптимальную стратегию и цену игры:

Пример 18:

Игра "Поиск" задана платежной матрицей без седловой точки:

Ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средней выигрыш равен цене игры , для игрока В средний проигрыш равен цене игры. Системы уравнений имеет вид:

Решая эти системы получаем

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средней выигрыш равен 0.