Приведение любой транспортная модель к сбалансированной.

На практике спрос не всегда равен объему производства. Однако транспортную модель всегда можно сбалансировать. Сбалансированная таблица удобна для решения задач.

Рассмотрим предложенную задачу, предположив, что завод в Детройте производит не 1500, а 1300 автомобилей. в этом случаи имеется дисбаланс между объемом производства и объемом потребления в 200 автомобилей. Следовательно, спрос на автомобили не может быть удовлетворен полностью. Видоизменим транспортную модель, так чтобы недостаток автомобилей определенным образом распределялся между пунктами потребления. Так как спрос превышает предложение, то введем фиктивный завод с производительностью в 200 автомобилей. Количество автомобилей якобы отправленных в пункты назначения фиктивным заводом будет представлять собой объем недостающей продукции в этом пункте. Для завершения построения транспортной модели необходимо определить стоимость перевозок с фиктивного завода в пункты потребления. Так как реально завода не существует, то и перевозки не осуществляются, и следовательно стоимость единицы перевозимой продукции можно полагать равной нулю. Однако целесообразно предполагать, что каждая единица недостающей продукции облагается штрафом, тогда транспортные расходы на единицу продукции равны штрафу за единицу продукции недополученную в том или ином пункте распределения.

Представим в виде таблицы сбалансированную модель с фиктивным заводом:

Таблица 12

	Денвер (2300)	Майами (1400)
Лос-Анджелес (1000)	80	215
Детройт (1300)	100	108
Нью-Орлеан (1200)	102	68
Фиктивный завод (200)	0	0

Заметим, что в случаи, когда объем производства превышает спрос (перепроизводство), можно ввести дополнительные пункты назначения, которые поглотят избыток продукции.

Например, пусть в Денвере спрос понизится до 1900 автомобилей. Тогда можно построить транспортную модель, в которой имеются фиктивные пункты распределения. В этом случаи автомобили, поступающие с некоторого завода в фиктивный центр распределения, представляют избыток производства на этом заводе.

Соответствующая транспортная таблица может иметь вид:

Таблица 13

	Денвер (1900)	Майами (1400)	Фиктивный(400)
Лос-Анджелес (1000)	80	215	0
Детройт (1500)	100	108	0
Нью-Орлеан (1200)	102	68	0

Решение транспортной задачи

Принципиальный алгоритм.

1. Находим начальное допустимое базисное решение (ДБР);

2. Проверка условия оптимальности. Если условие оптимальности не выполнено, то находится переменная, вводимая в базис, если условие оптимальности выполнено, то задача решена;

3. Нахождение переменной выводимой из базиса и поиск нового базисного решения.

Нахождение первоначального допустимого базисного решения.

I. Метод северо-западного угла

Переменной расположенной в северо-западном углу присваивается. После этого вычеркивается соответствующая строка или столбец, при этом остальные переменные, расположенные в строке или столбце полагаются равными 0. Если, то вычеркивается и строка и столбец. Оставшаяся таблица сбалансированная. Для оставшейся таблицы процесс повторяется. Число базисных переменных должно бытьn+m-1 (число строк плюс число столбцов минус один). Если на каком-то шаге одновременно вычеркивается строка или столбец, то теряется одна базисная переменная. Поэтому любая переменная, вычеркнутая на данном шаге, объявляется базисной со значением 0.

Процесс нахождения допустимого решения прекращается, когда остается не вычеркнутой одна строка или столбец.

Пример 14.

	5		15		15		10
15	х11	10	х12	0	х13	20	х14	11
25	х21	12	х22	7	х23	9	х24	20
5	х31	0	х32	14	х33	10	х34	18

Переменной присваивается значение 5 (min(5;15)). Первый столбец вычеркивается, а в первом пункте производства остается 15-5=10 единиц продукции. В оставшейся таблице в верхнем левом углу переменная. Ей присваиваетсяmin(10;15)=10 и вычеркивается первая стока. Во втором пункте назначения остается 15-10=5 единиц продукции. Далее процесс продолжается.

	5		15; 5		15		10
15; 10	5	10	10	0		20		11
25; 20; 5		12	5	7	15	9	5	20
5		0		14		10	5	18

Начальное допустимое базисное решение:

Целевая функция при этом будет равна:

Начальное допустимое базисное решение должно содержать m+n-1 переменных. Если на каком то шаге вычеркивается одновременно строка и столбец, то число базисных переменных становиться меньше, чемm+n-1. В этом случае в базисное решение добавляется любая переменная из вычеркнутой строки или столбца и ей присваивается значение 0.

Пример 15.

	20		10		40
30	х11	10	х12	0	х13	20
30	х21	12	х22	7	х23	9
10	х31	0	х32	14	х33	10

Применим метод северо-западного угла. Получим:

	20		10		40; 10
30; 10	20	10	10	0		20
30		12		7	30	9
10		0	0	14	10	10

На втором шаге одновременно вычеркнули второй столбец и вторую строку. Введем в базис любую переменную из вычеркнутых на этом шаге ячеек таблице и присвоим ей значение 0. Пусть .

Таким образом, получили начальное допустимое базисное решение: