Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.

Рассмотрим парную конечную игру:

Игрок А имеет mстратегийA₁,A₂,…,A_m.

Игрок В имеет nстратегийB₁,B₂,…,B_n.

Размерность игры mn.

В результате выбора игроками любой пары стратегий A_iиB_j(i=1,2,…m;j=1,2,…n) однозначно определяется исход игры, то есть выигрыш игрока Аa_ijи проигрыш игрока В -a_ij.

Матрица P=(a_ij) (i=1,2,…m; j=1,2,…n), элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_iи B_j, называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид матрицы:

Таблица 15

	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В.

Пример 17. Игра "Поиск"

Игрок А может спрятаться в одном из убежишь I или II. Игрок В ищет игрока А. Если найдет, то получает от А штраф $1, если не найдет, то платит игроку А $1.

Стратегии игрока А:

А₁- игрок А прячется в убежищеI;

А₂- игрок А прячется в убежищеII.

Стратегии игрока В:

В₁- игрок В ищет в убежищеI;

В₂- игрок В ищет в убежищеII.

Если игрок А в убежище Iи В его обнаружил (стратегияA₁B₁), то игрок А платит штраф $1 (а₁₁=-1). Аналогично для стратегииA₂B₂а₂₂=-1.

Если А в убежище I, а В его не обнаружил (стратегияA₁B₂), то игрок А получает $1 (а₁₂=1). Аналогично для стратегииA₂B₁а₂₁=1.

Размерность игры 22.

Платежная матрица игра, матрица размером 22:

-1	1
1	-1

Рассмотрим игру mn с матрицей Р=(а_ij) размеромmn.

Определим наилучшую стратегию игрока А среди стратегий A₁,A₂,…,A_m.

Выбирая стратегию А_i, игрок А рассчитывает, что В выберет стратегию В_j, для которой выигрыш А минимален (игрок В вредит А).

Обозначим - минимальный выигрыш игрока А, при выборе им стратегии A_i, для всех возможных стратегиях В.

- минимальное число в i-ой строке платежной матрицы.

Среди всех возможных выберем максимальное:

-нижняя цена игры (максимин)- максимальный гарантированный выигрыш игрока А.

Стратегия, соответствующая максимину называется максиминной стратегией.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию В_j, игрок В максимально возможный при этом выигрыш игрока А. Обозначим- самый большой элемент в столбцеj. Тогда

- верхняя цена игры (минимакс)- минимальный гарантированный проигрыш игрока В.

Стратегия, соответствующая минимаксу называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор "осторожных" минимаксных или максиминных стратегий называется принципом минимакса.

Найдем верхнюю и нижнюю цену игры "Поиск".

Следовательно, игрок А может выбирать любую стратегию А₁или А₂, они обе масиминны. Нижняя цена игры равна -1.

Любая стратегия игрока В минимаксна и верхняя цена игры равна 1.

Если верхняя цена игры равна нижней цене игры, то - чистая цена игры. Минимаксные стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются оптимальными, а их совокупность - оптимальным решением или решением игры. Игрок А получает гарантированный, не зависящей от стратегии игрока В выигрыш, а игрок В добивается минимального гарантированного, не зависящего от выбора А, проигрыша.

Решение игры устойчиво,если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_iB_jдает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когдаa_ij- максимум в своем столбце и минимум в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называетсяседловой точкой.

Пусть А^*В^*- пара чистых стратегий при которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введем функцию выигрыша игрока.P(A_i,B_j)=a_ij. Тогда, из условия оптимальности в седловой точке выполняется неравенствоP(A_i,B^*)P(A^*,B^*)P(A^*,B_j), которое справедливо для всех i=1,2,…m; j=1,2,…n.

Пример.

Найти верхнюю и нижнюю цену игры.

0,5	0,6	0,8
0,9	0,7	0,8
0,7	0,6	0,6

Имеет ли игра седловую точку?

Решение:

Найдем минимумы по строкам и максимумы по столбцам. Среди минимумов найдем максимум max(0,5;0,7;0,6)=0,7 Минимксная стратегия А₂. Среди максимумов найдем минимумmin(0,9;0,7;0,8)=0,7 Максиминная стратегия В₂.

	В1	В2	В3
А1	0,5	0,6	0,8	0,5
А2	0,9	0,7	0,8	0,7
А3	0,7	0,6	0,6	0,6
	0,9	0,7	0,8

Таким образом , следовательно игра имеет седловую точку а₂₂, соответствующую стратегии А₂В₂(решение игры) и чистая цена игры.