Прямые и обратные задачи исследования операций. Основные задачи ио.

Задачи ИО бывают прямые и обратные.

Прямые задачи отвечают на вопрос – что будет, если в заданных условиях мы приме какое-то решение хХ, чему будет равен показатель эффективности. Для решения такой задачи строится математическая модель, позволяющая выразитьz.

Обратная задача отвечает на вопрос как выбрать решение х, чтобы показатель эффективности был оптимальным. Если множествоХне велико, то обратную задачу можно решать методом простого перебора, просто посчитав значенияzдля всех элементов множестваХи сравнить их. Если множествоХвелико, то применяется метод направленного перебора.

Рассмотрим обратную задачу в общем виде.

Пусть имеется некоторая операция Q, на успех которой мы можем влиять, выбирая разными способами решениех. Эффективность операции характеризуется ЦФzmax.

Пусть все условия операции полностью известны. Тогда все факторы, от которых зависит успех операции делятся на 2 группы:

1. факторы, заданные заранее ()

2. факторы, зависящие от нашего выбора, решение (х).

Первая группа факторов содержит и ограничения налагаемые на решение, т.е. определяет область возможных решений Х.

z=z(,х), (1) где

и х – не числа, а совокупность чисел (вектора), функции и т.д. В числе заданных условий обычно присутствуют ограничения, налагаемые на элементы решения в виде равенств или неравенств:

_i(x)b_i(2)

Будем считать, что прямая задача решена и соотношение (1) нам известно. Тогда обратная задача формулируется следующим образом:

При заданном комплексе условий  найти такое решение х=х^*, которое обращает показатель эффективности z в максимум.

z=max{z(,x)} (3)

xХ

Эта задача принадлежит к классу вариационных задач и сводится к задаче поиска оптимума при наложенных ограничениях (математическое программирование).

Метод поиска оптимального решения выбирается исходя из вида функции z и наложенных ограничений. Например, если z линейно зависит от решения х и все ограничения представляют собой линейные неравенства или уравнения, то возникает классическая задача линейногопрограммирования.

Если, исходя из содержательного смысла задачи, ее решения должны быть целыми числами, то это задача целочисленногопрограммирования.

Если критерий оптимальности и (или) ограничения задаются нелинейными функциями, то задача нелинейногопрограммирования, в частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то задачавыпуклогопрограммирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности выражается косвенно, через уравнения, описывающие протекание операции во времени, то это динамическоепрограммирование.

Если zили_iзависят от параметра, топараметрическое программирование, если эти функции носят случайный характер, тостохастическое программирование.

По своей содержательной постановке множество других типовых задач ИО может быть разбито на ряд классов.

Задачи сетевого планирования и управлениярассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций и моментом начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальной продолжительности комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок и состоят в определение показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определение числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачауправлениязапасамисостоит в отыскании оптимальных значений уровня запасов и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на хранение, но с другой, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задачараспределенияресурсоввозникает при определенном наборе работ (операций), которые необходимо выполнить при ограничении наличных ресурсов, и требуется найти оптимальной распределение ресурсов между операциями или состав операций.

Задачаремонтаизаменыоборудованиясводится к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также замены оборудования модернизированным.

Задачасоставлениярасписаниясостоит в определении оптимальной очереди выполнения операций на различных видах оборудования

Задачапланировкииразмещениясостоит в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выборамаршрутаилисетевыезадачисостоят в определение наиболее экономичных маршрутов.