Задача выпуклого программирования.

Пусть дана функция и система ограничений:

, где

- выпуклые на некотором множестве М;

- либо выпукла, либо вогнута.

Задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого решения системы ограничений, при котором целевая выпуклая функция достигает минимального значения или вогнутая максимального. (Условие не отрицательности переменных можно считать включенными в систему ограничений).

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования.

Выделение задач выпуклого программирования в специальный класс объясняется экстремальными свойствами выпуклой функции:

• локальный минимум выпуклой функции (максимум - вогнутой) является одновременно глобальным;

• выпуклая (вогнутая) функция достигает на замкнутом множестве глобального минимума (максимума).

Если целевая функция является строго выпуклой (вогнутой) и если область решений системы ограничений не пуста и ограничена, то задача выпуклого программирования имеет единственное решение.

Минимум выпуклой функции (максимум вогнутой) достигается внутри области решений, если там имеется стационарная точка, или на границе этой области, если внутри нет стационарной точки.

В общем случае множество оптимальных решений задач выпуклого программирования является выпуклым.

Производная по направлению и градиент.

производной функции по направлениюlв точке Х называется предел:.

Направление задается вектором .

Если дифференцируема в точке Х, то она имеет в этой точке производную по любому направлениюl, которая выражается через частные производные:

.

Абсолютная величина производной по направлению показывает скорость изменения функции в этом направлении, а знак производной показывает характер изменения функции ("+" - возрастание; "-" - убывание).

Градиентом функцииназывается вектор, проекциями которого на оси координат являются частные производные функции:

.

Своего максимального значения достигает тогда, когда направлениеlсовпадает с направлением вектора градиента:

- максимальная скорость возрастания функции.

Таким образом, в точке Х направление градиента является направлением наибольшего возрастания функции, а длина вектора градиента равна наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.¹

Пример 23.

Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке А(0;1;2) и определить характер изменения этой функции в точке А в направленииl=(1;-2;2).

Решение.

Найдем вектор градиент в точке А. Для этого найдем частные производные функции F:

В точке А вектор градиент равен , а его длина.

Получили направление максимально госта функции в точке А и наибольшая скорость возрастания.

Определим характер изменения функции в направлении l:

,

следовательно функция возрастает в точке А в направлении l.

Методы спуска.

Общая схема решения задач математического программирования методом спуска состоит в построении последовательности точек решений системы ограничений данной задачи по принципу:- любая точка области допустимых решений, а, где- некоторое направление (вектор), а- число (длина шага).

ивыбираются так, чтобы обеспечить сходимость последовательности к точке(оптимальному решению).

В общем случае процесс построения последовательных приближений бесконечен. В этом случаеприближенное значение. Иногда процесс может быть конечен и в задачах выпуклого программирования приводит к глобальному оптимуму.

Находя можно определить "выгодность" или "невыгодность" направления в смысле приближения к оптимуму.

Пример 24.

Точка принадлежит области допустимых решений.

Проверить, приближается ли функция к оптимуму по направлениям:

Решение.

Найдем частные производные целевой функции в точке :

Найдем длину вектора lи вектораt:

Найдем производную функции по направлению l:

.

Следовательно функция приближается к оптимуму в направлении l.