Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Пример 2.31

ЭТАП 1

r13

6

7

r33

Мы исходим из того, что уже находимся в конечной точке маршрута. Теперь необходимо уточнить все дуги, входящие в этот маршрут. Формируем начальный вектор состояний:

ЭТАП 2

351

ЭТАП 3

Поскольку мы оказались в начальной вершине, получено оптимальное решение задачи: получен кратчайший маршрут

r11 r22 r23 r14 , длина которого равна 16.

Оптимальное решение, получаемое с помощью динамического программирования, разумеется, не зависит от того, прямым или обратным ходом решалась задача.

2.7.4. Задача о замене

Задача о замене является практическим примером использования методов динамического программирования. Хотя её можно свести к задаче нахождения кратчайшего маршрута в графе, рекуррентная зависимость у этой задачи несколько более интересна, и мы рассмотрим её отдельно.

Рассмотрим предприятие, которое использует некоторое оборудование в процессе своей производственной деятельности. В начале каждого года решается вопрос о замене этого оборудования на новое. В первое время такая замена нецелесообразна, поскольку требует больших инвестиций, а оборудование является относительно свежим. Однако со временем издержки на обслуживание оборудования растут (поскольку оно стареет и чаще ломается), а доходы от использования оборудования снижаются (поскольку увеличиваются простои, связанные с ремонтом, а также, возможно, снижается производительность оборудования из-за старения). В какой-то момент оказывается выгоднее заменить оборудование вместо того, чтобы эксплуатировать старое.

Пусть максимальный срок службы оборудования (после которого оно заменяется в обязательном порядке) составляет n лет. Пусть также период планирования составляет m лет. Также пусть

352

планирование начинается в начале года, когда возраст оборудования составляет a0 лет. Пусть rt – годовой доход, получаемый от эксплуатации оборудования возраста t, ct – затраты на обслуживание оборудования возраста t, st – остаточная стоимость оборудования возрастом t лет, I – затраты на замену оборудования. Необходимо определить план замен оборудования, приносящий максимальный доход. Доход должен учитывать остаточную стоимость оборудования по окончании последнего года планирования (будем считать, что мы его продаем).

В процессе решения задачи на каждом этапе достраивается фрагмент дерева альтернатив, приведенный на рис. 2.34. Дерево представляет собой все возможные варианты возрастов оборудования на всех годах планирования. Ветвление дерева производится исходя из альтернатив замены (З) или использования (И) оборудования, с учетом того, что если его возраст составляет n лет, то оно может быть только заменено.

Исходя из условий задачи и рис. 2.34 очевидно, что на каждом этапе необходимо хранить в состоянии системы все возможные альтернативные сроки службы оборудования, а не только срок, получающийся из оптимального плана замен оборудования в предыдущих периодах.

Возраст оборудования

n

Год планирования

Рис.2.34. Дерево альтернатив

353

Формализуем основные принципы динамического программирования.

1.Этапом решения задачи k будем считать процедуру анализа k-го планового года.

2.Альтернативами на первом году планирования являются два возраста оборудования на начало года, исходя из двух вариантов: замены оборудования на новое, либо эксплуатации старого обору-

дования – 0 и a0 соответственно. Альтернативами на этапе k являются все возможные действия с оборудованием (замена или использование), находящемся во всех возможных возрастах на начало года (дуги на рис. 2.34). Таким образом, альтернативы на разных этапах также рекуррентно связаны между собой.

3.Состояние системы определяется способом, аналогичным уже описанному в задаче нахождения кратчайшего маршрута. Отличие заключается в том, что в предыдущей задаче мы имели уже построенный граф в условии, а в данной задаче граф строится в процессе работы самого оптимизационного алгоритма, поэтому информации

оплане замен (маршруте на рис. 2.34), наиболее прибыльно приводящего оборудование к данному возрасту на данном году планирования, недостаточно – необходимо знать также сам возраст оборудования, соответствующий этому плану (иначе придется делать лишние вычисления). Поэтому в элементе вектора состояния будем хранить пару: самый доходный план замен для достижения данного возраста оборудования, и сам возраст. Также совместим этот пункт с принципом вычисления числовой меры альтернатив. Будем счи-

тать что xk {xki }, xki – возраст оборудования.

Состояние системы на первом этапе – массив x1={<{З},0>,<{И},a0>} – два возможных плана – замена оборудования (тогда его возраст на начало года равен 0), либо эксплуатация (возраст – a0). Целевая функция этих альтернатив вычисляется по формулам:

Для замены оборудования fЗ r0 c0 I sa0 .Для эксплуатации оборудования fИ ra0 ca0 .

Также учтем, что если a0=n, то возможна только замена оборудования.

354

Состояние системы на этапе k (k<m) вычисляется согласно следующему алгоритму.

Шаг 1. Положить i=1. Положить xk={}.

Шаг 2. Выбрать элемент i массива xk-1. Пусть это будет элемент <{A1..Ak-1},y>, где Aj {З, И} , y – возраст оборудования на начало

года k-1 в случае плана замен {A1..Ak-1}. Рассмотрим два случая: замену оборудования или его эксплуатацию.

Шаг 3. При замене оборудования его возраст на начало года k составит 0 лет, доход от такого варианта равен

fЗ f i (xk 1 ) r0 c0 I sy 1 . Далее возможны два варианта:

<{A1...Ak-1,З},0>. Запомним величину fЗ , соответствующую этому

плану.

Элемент с нулевым возрастом оборудования уже содержится в xk ( xkj : xkj 0 ). В таком случае сравним запомненную для этого

элемента величину дохода fЗ с вычисленной только что. Если вы-

численное значение дохода превышает уже имеющееся, то заменим элемент xkj на <{A1,…,Ak-1,З},0>.

Шаг 4. Если y<n, то можно эксплуатировать оборудование. В таком случае его возраст на начало года k составит y+1 лет, и доход

вим в xk новый элемент <{A1,…,Ak-1,И},y+1>. Запомним величину fИ , соответствующую этому плану.

Шаг 5. Если i – последний элемент массива xk-1, то конец – рассмотрены все альтернативы. В противном случае увеличиваем i на 1 и переходим к шагу 2.

Общая схема алгоритма выглядит следующим образом. Шаг 1. Положить k=1.

Шаг 2. Вычислить состояние системы xk и доходы, соответствующие находящимся в нем планам замен f i (xk ) .

Шаг 3. Если k=m-1, то перейти к шагу 4. В противном случае положить k=k+1 и выполнить шаг 2.

Шаг 4. В последнем состоянии xm-1 содержатся все возможные возрасты оборудования на начало года m-1, а также планы замен, при-

355

водящие к этим возрастам и приносящие максимальные доходы

возраст оборудования на год m составит yl 1 .

Пример 2.32

Период планирования составляет 5 лет, в начале пятого года оборудование продается. Предельный срок эксплуатации оборудования равен 5 годам, стоимость замены оборудования – 10 млн руб. Возраст оборудования на первом году планирования равен 2 годам. Остальные необходимые величины приведены в таблице.

3

И

2

З

1

Год планирования

356

Альтернативы 3,5,7 отбрасываем.

В результате работы алгоритма на 6-м году планирования осталось

Оптимальный план задачи, приносящий максимальный доход 8 млн руб. – З,И,З,И.

Общее дерево вариантов в этой задаче приведено на следующем рисунке:

358

2.7.5. Задача оптимального распределения капитальных вложений на реконструкцию группы предприятий

Пусть существует n предприятий, на реконструкцию которых отведена сумма S. Для каждого предприятия известна зависимость di(y) прироста его производительности от суммы, вложенной в его реконструкцию. Данная зависимость может быть нелинейной. Необходимо распределить сумму S таким образом, чтобы суммарный прирост производительности был максимальным. Будем предполагать, что распределяемые суммы – целые числа. Формализуем основные принципы динамического программирования.

1.Этапом k решения задачи будем считать анализ k-го предприятия.

2.Под альтернативами на этапе k будем понимать варианты распределния сумм между k-м предприятием и первыми k-1 предприятиями в совокупности.

3.Состоянием системы на первом этапе будет массив из S-

элементов x1={ yj}, где yj=j, j=1..S. Под состоянием системы на этапе k будем понимать массив векторов xk={vj} j=1..S, где vj=(s1,s2,..sk), si – сумма, отводимая на реконструкцию предприятия

359

i. Фактически vj – это план оптимального распределения суммы j между первыми k предприятиями.

4. Числовая мера i-й альтернативы равна dk (s j ) f i s j (xk 1 ) , где

f i s j (xk 1) – прирост производительности при инвестировании суммы i sj в первые k-1 предпрятия. Поскольку целью является

максимизации прироста производительности, то в i-ю позицию состояния xk будет попадать альтернатива с максимальным приростом:

Рассмотрим работу алгоритма на примере.

Пример 2.33

Рассмотрим проект реконструкции 4-х энергоблоков атомной электростанции. Общая сумма капитальных вложений равна 70 млрд руб., при этом суммы, выделяемые на реконструкцию должны быть кратны

360