Жолобов Ввведение в Математическое 2008

а также оценки свободных векторов (оценки этих векторов, как функции параметра t известны ).

Решение задачи представлено двумя симплекс-таблицами. Следует отметить весьма важную особенность приведенного решения.

Во-первых, это оценка вектора A4 в первой таблице. Отрицательный знак при нуле подчеркивает то обстоятельство,

что при любом, сколь угодно малом увеличении параметра t решение становится неоптимальным.

Во-вторых, при переходе ко второй таблице не изменились ни оценки векторов, ни значение целевой функции. Имеет место случай

альтернативного базиса.

Этот случай имеет простую геометрическую интерпретацию: при t=1 линия уровня "ложится" на ребро, соединяющее две смежные вершины допустимого множества, и любой точке этого ребра соответствует одно и то же значение целевой функции (рис.1.23).

171

С'

С

Рис.1.23. Случай альтернативного базиса

Найдем новое критическое значение параметра t такое, что в интервале [t1,t2] решение остается оптимальным. Проделаем это, как и на предыдущей итерации, в три приема:

1. Вычислим вектор-функцию симплексных множителей:

172

няться, следовательно, решение, записанное во второй симплекстаблице, x0=(0,0,30,10,0,30) будет оставаться оптимальным.

В полуоткрытом интервале t 1 значение целевой функции будет изменяться по закону:

Рассмотрим задачу А из предыдущего раздела на конкретном примере. Пусть требуется провести параметрический анализ следующей задачи ЛП.

Пример 1.29

Принимаем t=0 и решаем задачу симплекс-методом. Решение задачи для приведено в последней симплекс-таблице.

Обратная матрица оптимального решения выделена. Найдем вектор-функцию разложения вектора A0 по базису:

173

Отсюда находим первое критическое значение параметра t=t1 такое, что в интервале [0, t1] решение остается допустимым.

При t>40 последнее неравенство не выполняется, следовательно, t1=40. В интервале [0,40] закон изменения оптимального значения целевой функции определяется следующим образом:

60 t4

Z0(t) = cбаз X0 (t) =(3,2,0,0) 60 t2 =3*(60 - t/4) + 2*(60+t/2) =

20 t420 t2

=300+t/4 .

Заменим в оптимальной симплекс-таблице столбец A0.

Для этого при t=t1=40 пересчитываем столбец A0 последней симплекс-таблицы:

Вычислим новое значение целевой функции:

Z(t=40) = 300+10 = 310.

Переписываем последнюю симплекс-таблицу с новыми значениями коэффициентов столбца A0 .

При t>40 четвертая координата в разложении вектора A0 становится отрицательной, поэтому для поиска оптимального решения задачи используется двойственный симплекс-метод.

174

Найдем второе критическое значение параметра t=t2 такое, что в интервале [40,t2] полученное решение остается допустимым и оптимальным:

Очевидно, что при всех t > 40 решение будет оставаться допустимым и оптимальным. При этом целевая функция будет иметь постоянное значение: Z(t)=310.

175

Если число итераций велико по сравнению с m, базисная матрица должна периодически обращаться заново. Необходимость пересчета обратной базисной матрицы возникает тогда, когда устанавливается факт ухудшения точности. Здесь используются специальные приемы.

Например, можно вычислить оценку любого базисного вектора – она должна быть нулевой. Можно вычислить разложение любого базисного вектора – должен получиться единичный вектор.

Контрольные вопросы и задачи к разделу 1.4

1.Составьте схему алгоритма модифицированного симплексметода, сопряженного с методом М-задачи для поиска исходного опорного решения.

2.Проанализируйте случай неограниченности целевой функции на допустимом множестве в методе декомпозиции Данцига-Вулфа. Каким образом возникновение этого случая должно обрабатываться в вычислительной схеме алгоритма?

3.Предложите действия при параметрическом анализе, если в мо-

мент времени t0 при решении задачи срабатывает признак неограниченности целевой функции.

4.Предложите действия при параметрическом анализе, если в мо-

мент времени t0 невозможно найти ни одного допустимого решения.

5.Возможен ли одновременный параметрический анализ коэффициентов целевой функции и правых частей системы ограничений?

6.Решить задачу модифицированным симплекс-методом

9x1 10x2 max

3x1 4x2 109

4x1 4x2 124 x1 19

x2 19

x1,2 0.

177

7. Дана задача ЛП:

-100x1 -260x2 -280x3 -110x4 max

xj 0 (j=1 6).

На очередном шаге решения этой задачи МСМ получена таб-

Определить зависимость оптимального решения задачи от коэффициента c3 целевой функции.

178

10. Дана задача ЛП:

xj 0, (j=1 4).

Определить зависимость оптимального решения задачи от коэффициента a1 целевой функции.

1.5. Дробно-линейное программирование

Рассмотрим следующую прикладную задачу. Для выполнения n различных работ могут быть использованы рабочие m квалификационных групп.

При выполнении i-й группой рабочих j-й работы выработка в единицу времени составляет cij единиц ( i=1 m; j=1 n ).

Общий фонд времени, в течение которого i-я группа рабочих может быть занята выполнением работ, не превышает bi единиц времени, а j-я работа должна быть выполнена в объеме не менее

aj единиц.

Необходимо составить такой план выполнения работ, который обеспечивает максимальную производительность.

При плане { xij } общая производительность всех работ составит:

179

Сформулируем ограничения задачи.

j-я работа должна быть выполнена в объеме не менее aj единиц. Следовательно, должно иметь место:

j 1

xij 0, ( i=1 m; j=1 n ).

В практике планирования с использованием математических моделей оптимизационных задач подобные нелинейные задачи встречаются довольно часто. Они составляют целый класс задач математического программирования – класс задач дробно-

линейного (ДЛП) или гиперболического программирования. В об-

щей постановке задача ДЛП имеет вид:

180