Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Пример 1.11(продолжение)

Исходная табл. 1 уже является лексикографически допустимой, поэтому остается лишь следовать алгоритму лексикографического сим- плекс-метода при определении выводимого из базиса вектора, чтобы избежать зацикливания. В табл. 1 альтернатива отсутствует – единственный вектор, который может быть выведен из базиса – это вектор A1:

Выведем из базиса вектор A5. В этой таблице проиллюстрировано решение, принимаемое с помощью лексикографического правила, отличающееся от решения, принимаемого с использованием обычного сим- плекс-метода. Продолжим решение задачи.

61

Втабл. 4 получено оптимальное решение.

1.2.13.Метод вспомогательной задачи

Втом случае, когда система ограничений задачи не содержит полного набора единичных векторов, который можно было бы принять в качестве базиса исходного опорного решения, прибегают к методу искусственного базиса.

Основная идея этого метода –использование симплекс-метода для отыскания опорного решения и вычисления коэффициентов разложения всех векторов задачи по базису найденного решения.

Для этого в задачу вводятся искусственные переменные, векторы коэффициентов при которых называются искусственными векторами.

Целевая функция строится таким образом, чтобы в процессе решения задачи симплекс-методом при переходе от одного опорного решения к другому искусственные векторы, входящие в базис, заменялись векторами основной задачи – основными векторами.

Взависимости от конкретного способа построения ЦФ, в результате решения новой задачи формируется допустимое или оптимальное решение исходной задачи или устанавливается факт неразрешимости последней.

Наиболее популярными способами реализации метода искусственного базиса являются два метода: метод вспомогательной задачи ("двухэтапный метод") и метод М-задачи ("метод больших штрафов"). Рассмотрим сначала первый метод.

62

am1x1 + am2x2+ ...+amnxn= am xj 0, j=1,2,...,n,

в которой все свободные члены неотрицательны (ai 0, i=1,2,...,m).

xj 0, j=1,2,...,n+m.

В этой задаче переменные xn+1, xn+2,...,xn+m – искусственные. Им соответствует полный набор единичных (искусственных) векторов.

Задача (1.53) имеет очевидное опорное решение: x' = (0,0,...,0,a1,a2,...,am),

в котором первые n нулей – значения основных переменных

x1,x2,...,xn, а базисные переменные xn+1, xn+2,...,xn+m (искусственные) имеют значения a1, a2, ..., am соответственно.

Это решение имеет единичный базис:

B=(An+1,An+2,...,An+m)=E,

следовательно, можно заполнить первую симплекс-таблицу и решить задачу симплекс-методом.

Задача (1.53) всегда имеет оптимальное решение, так как ее ЦФ ограничена сверху на допустимом множестве - не может принять значение большее нуля.

Пусть получено оптимальное решение вспомогательной зада-

чи:

В зависимости от того, входят ли искусственные векторы в базис оптимального решения (1.54) и какие при этом значения имеют искусственные переменные, относительно исходной задачи (1.52) можно сделать различные выводы.

63

Случай 1. Среди чисел xn* 1 , xn* 2 ,..., xn* m есть отличные от нуля. В

этом случае исходная задача не имеет допустимых решений. Действительно, предположим от противного, что исходная

задача имеет допустимое решение x'=(x'1,x'2,...,x'n).

Тогда очевидно, что вектор x"=(x'1,x'2,...,x'n,0,0,...,0),

в котором все искусственные переменные имеют нулевое значение, является допустимым решением вспомогательной задачи (1.53). На этом решении ее ЦФ принимает нулевое значение - большее, чем на оптимальном решении (1.54), так как среди чисел xn* 1 ,xn* 2 ,...,xn* m есть строго положительные.

Полученное противоречие доказывает неправомерность предположения о допустимости исходной задачи.

Пример 1.12. Дана задача линейного программирования:

Ввиду того, что искусственная переменная x4 в оптимальном решении вспомогательной задачи отлична от нуля, исходная задача не имеет допустимых решений.

64

Случай 2. В оптимальном решении вспомогательной задачи все искусственные переменные имеют нулевое значение. В этом случае существенным фактором является вхождение искусственных переменных в базис оптимального решения вспомогательной задачи.

Случай 2a. В оптимальном базисе нет искусственных векторов. В этом случае получено опорное решение исходной задачи и известно разложение всех векторов задачи по базису опорного решения.

Для решения исходной задачи достаточно:

в полученной симплекс-таблице отбросить столбцы, связанные с искусственными переменными;

восстановить коэффициенты целевой функции исходной задачи;

пересчитать значение ЦФ и оценки всех свободных векторов.

Пример 1.13

Cледует отметить, что во второй симплекс-таблице столбец A0

не изменился – новое опорное решение совпадает со старым. Не изменилось и значение целевой функции. Это связано с тем, что исходное

опорное решение вспомогательной задачи – вырожденное.

65

Оптимальное решение вспомогательной задачи:

xвсп. =(5,2,0,0,0).

В базисе нет искусственных векторов, следовательно, получено опорное решение исходной задачи x. =(5,2,0), базис которого составляют векторы A2 , A1.

Теперь, отбросив столбцы, связанные с искусственными векторами, восстановив коэффициенты целевой функции, пересчитав значение целевой функции и оценки свободных векторов, сформируем сим- плекс-таблицу для решения исходной задачи симплекс-методом.

Оценки всех векторов не отрицательные. Следовательно, в этой таблице записано оптимальное решение исходной задачи:

xопт=(5,2,0); Zопт=13.

Случай 2b. В оптимальный базис вспомогательной задачи входят искусственные векторы.

Рассмотрим симплекс-таблицу, соответствующую оптимальному решению вспомогательной задачи в случае 2b.

Здесь для определенности принято, что первые l базисные векторы – основные (векторы исходной задачи): Ai1 , Ai2 ,..., Ail .

Векторы Ail 1 , Ail 2 ,..., Aim – искусственные. 66

Важно знать, существуют ли среди коэффициентов разложения основных векторов при искусственных базисных векторах отличные от нуля. Область этих коэффициентов выделена двойной рамкой.

енты в отмеченной области имеют нулевое значение.

В этом случае любой вектор исходной задачи Аj ( j 1, n ) линейно выражается через основные векторы Ai1 , Ai2 ,..., Ail , входя-

щие в базис оптимального решения вспомогательной задачи:

Аj =x1j Ai1 + x2j Ai2 +...+ xlj Ail .

Таким образом, систему векторов ( Ai1 , Ai2 ,..., Ail ) можно при-

нять в качестве базиса опорного решения исходной задачи. В этом опорном решении базисные переменные xi1 , xi2 ,..., xil имеют значе-

ния x1j, x2j,..., xlj , соответственно, а свободные (остальные) – нулевое значение.

Отбросив строки и столбцы, связанные с искусственными переменными, можно перейти к решению основной задачи. Для этого нужно:

восстановить коэффициенты целевой функции;

пересчитать значение целевой функции;

вычислить оценки свободных векторов.

Всоответствующей симплекс-таблице будет l строк – меньше, чем количество ограничений исходной задачи. Это говорит о том, что в исходной задаче имеется m-l ограничений-уравнений, которые линейно выражаются через остальные уравнения, т.е. ранг матрицы системы ограничений равен l.

67

Пример 1.14

Дана задача линейного программирования:

4x1 + 5x2 + 3x3 - 7x4 max x1 + 2x3 + x4 =10

x2 + x3 - 2x4 = 2 4x2 +4x3 - 8x4 = 8 x1 ,x2 , x3,x4 0.

Вспомогательная задача имеет вид:

x1 ,x2 , x3,x4 0

Как видно из таблицы, коэффициенты разложения всех основных векторов при искусственном базисном векторе А6 имеют нулевое значение. Следовательно, можно переходить к решению исходной задачи, восстановив коэффициенты целевой функции, подсчитав ее значение и вычислив оценки свободных векторов А3 и А4 .

Решение основной задачи представлено ниже.

Оптимальное решение исходной задачи: xопт=(10, 2, 0, 0); Zопт=50.

68

Коэффициент разложения основного вектора А3 по базису оптимального решения вспомогательной задачи при искусственном векторе А6 отличен от нуля (х23 = -1/3). Следовательно, вектор А6 нужно

вывести из базиса, а основной вектор А3 – ввести в базис. В результате

будет получена симплекс-таблица, в которой все базисные векторы – основные:

Теперь можно приступить к решению основной задачи (как в случае 2а). Для этого:

восстанавливаются коэффициенты ЦФ;

вычисляется значение ЦФ на полученном опорном решении;

вычисляются оценки свободных векторов (в данном случае это единственный вектор А4 ).

Врезультате формируется следующая симплекс-таблица:

70