Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Пример 1.23

у1, у2 – не ограничены в знаке.

Если решать задачу "в лоб", то общее количество переменных составит:

(2+2) – наложение на переменные требования неотрицательности;

10 – количество дополнительных переменных для перехода от нестрогих неравенств к равенствам;

4 – количество искусственных переменных для получения полного набора единичных векторов.

Всего – 18 переменных.

Таким образом, размерность задачи будет (10 18). Мы же поступим по-другому:

1.изменим неравенства смысла “ “ на противоположные (“ “);

2.перейдем к двойственной задаче.

xj 0, (j=1..10).

Размерность этой задачи составляет (2 10).

Итак, трудоемкость решения задач линейного программирования существенным образом зависит от соотношения количества ограничений m (или количества строк в матрице системы ограничений) и количества неизвестных n (или количества столбцов в этой матрице). Наиболее технологичными являются задачи, у которых n>>m, так как для решения подобных задач требуется значительно меньшее количество дополнительных (и искусственных) переменных, необходимых для придания им канонической формы и получения единичной базисной матрицы исходного решения.

В этой связи использование результатов теории двойственности позволяет резко повысить эффективность решения задач ли-

121

нейного программирования. Действительно, вместо решения задачи , у которой m>>n, всегда можно перейти к двойственной задаче с n>>m и, решив последнюю, найти решение прямой задачи, как это показано в разделе 1.3.3.

В этом разделе рассматривается модифицированный сим- плекс-метод, ориентированный на эффективное решение именно тех задач, у которых n>>m. Этот метод в настоящее время является основой многих коммерческих пакетов линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования:

c, x max

A1x1 A2 x2 ... An xn A0 (1.86) x 0

В тех случаях, когда количество неизвестных n существенно превышает количество ограничений m, основной объем вычислений приходится на пересчет коэффициентов разложения небазисных векторов при переходе от одного опорного решения к другому– от одного базиса к другому, смежному с ним.

Зададимся вопросом, с какой целью осуществляется этот пересчет? Это делается только для того, чтобы вычислить оценки небазисных векторов с использованием известного выражения:

m

j cik xkj cj (1.87)

k 1

или

122

Если знать обратную базисную матрицу вычисление оценок можно проводить по следующей схеме: сначала вычислить вектор

В соответствии с приведенной схемой, для вычисления оценок не требуется знать координаты разложения соответствующих векторов по базису – требуется лишь знать обратную матрицу.

Учитывая тот факт, что решение начинается с единичной базисной матрицы, достаточно, начиная с первой итерации сим- плекс-метода, хранить разложения всех исходных единичных векторов по текущему базису. В этом случае в каждой симплекстаблице будет находиться обратная матрица.

Для вычисления же обратных матриц в соседних базисах можно использовать основные формулы обычного симплекс-

Таким образом, для вычисления новой обратной матрицы необходимо иметь только коэффициенты разложения вводимого в

очередной базис вектора. В данном случае это

X s x1s , x2 s ,..., xms Т .

Итак, зная обратную базисную матрицу очередного опорного решения, можно, используя приведенную выше схему вычислений (1.90),(1.91), определить оценки всех небазисных векторов.

Если все оценки неотрицательны j 0 (j = 1,2,...,n) , процесс

закончен: получено оптимальное решение задачи, координаты которого определяются коэффициентами разложения вектора A0 .

Новая ситуация возникает в том случае, когда среди оценок

j (j = 1,2,...,n) есть отрицательные оценки.

Вобычном симплекс-методе для каждой отрицательной оценки j <0 проверяется признак неограниченности сверху целевой

функции: проверяются знаки всех коэффициентов xkj . Если обна-

руживается, что среди этих коэффициентов нет ни одного строго положительного, принимается решение о неразрешимости задачи. То есть для принятия этого решения нужно иметь разложения всех векторов с отрицательной оценкой по базису. В модифицирован-

ном же симплекс-методе коэффициенты xkj не известны, поэтому

используется несколько упрощенная схема проверки на неограниченность целевой функции.

Выберем одну из отрицательных оценок (максимальную по абсолютной величине или, что используется чаще, первую обна-

руженную отрицательную оценку). Пусть это будет S < 0. Найдем коэффициенты разложения вектора AS по текущему

базису (соответствующая процедура называется генерацией столб-

ца):

Если все xks 0 (k=1,2,...,m) , целевая функция не ограничена

сверху на допустимом множестве. В противном случае по правилам симплекс-метода определяется вектор, который должен быть выведен из базиса: коэффициенты разложения вектора A0 известны; известны и коэффициенты разложения вектора AS.

Новизна ситуации заключается в том, что факт неограниченности сверху целевой функции на данной итерации может быть и не установлен, так как проводится проверка только одного вектора AS. Однако, рано или поздно, этот факт обязательно обнаружится.

1.4.2. Алгоритм модифицированного симплекс-метода

Дана задача линейного программирования:

c, x max

A1x1 A2 x2 ... An xn A0 x 0.

Известно некоторое опорное решение задачи x* (x1* , x2* ,..., xn* )

и базис этого решения B (Ai1 , Ai2 ,..., Aim ) .

Алгоритм модифицированного симплекс-метода рассмотрим по шагам.

Шаг 1. Вычисляется матрица B -1 – обратная базисная матрица. Ввиду того, что в качестве исходного опорного решения обычно принимается решение с единичным базисом, это вычисление не производится, так как в этом случае B –1=E=B.

Вычисляются коэффициенты разложения вектора A0 по ба-

зису B: X0=(x10,x20,...,xm0)Т.

Шаг 2. С использованием выражений =( 1, 2,..., m)=cбазB-1 и

j = Aj - cj , (j=0,1,2,...,n) вычисляются оценки j (j=0,1,2,...,n),

где 0 – значение целевой функции.

Шаг 3. Если все j 0 (j=1,2,...,n), то получено оптимальное решение задачи. Это решение представлено коэффициентами разложения вектора A0 по базису B. Известно также оптимальное

значение целевой функции – 0.

Шаг 4. Если среди оценок j есть оценка S < 0, то в качестве претендента на введение в базис принимается вектор AS. Обычно

125

это первый вектор, для которого вычисленная оценка отрицательная.

Шаг 5. Определяются коэффициенты разложения вектора AS по базису B . Для этого используется выражение:

X s (x1s , x2s ,..., xms ) B 1 As .

Если все xks 0 (k=1,2,...,m), то конец: задача не имеет решения, так как ее целевая функция не ограничена сверху на допусти-

мом множестве. В противном случае для всех xks 0 (k=1,2,...,m) вычисляются отношения xk 0 xks и из этих отношений выбирается минимальное. Пусть

т.е., из базиса следует выводить вектор Air .

Шаг 6. В базис B вместо вектора Air вводится вектор AS. По ос-

новным формулам пересчитываются элементы новой обратной матрицы, а также коэффициенты разложения вектора A0 по ново-

му базису и новое значение целевой функции. Далее выполняется шаг 24.

Пример 1.24

ное опорное решение задачи x=(5,14,0,0,0,0,0,0,0,0).

Построим вспомогательную таблицу, в которую запишем параметры задачи – векторы-столбцы Aj (j=1,2,...,10) и коэффициенты целевой функции (строка таблицы C ).

4 Новые симплексные множители можно вычислять на этом же шаге, используя основные формулы – правило "крест-накрест".

126

Вспомогательная таблица

В эту же таблицу на каждой итерации будем записывать координаты векторов симплексных множителей – в дополнительных столбцах таблицы, помеченных символами (t) , где t – номер итерации (t=1,2,...); и вычисленные оценки векторов – в дополнительных строках таблицы, помеченных символами (t).

Заполним первую основную таблицу. Сначала в этой таблице заполняются столбцы БАЗ, Cбаз, A0, и E1, E2 – столбцы обратной матрицы исходного опорного решения. Далее, как в симплекс-методе, вычисля-

ется значение целевой функции ( 0= -59).

Затем вычисляются симплексные множители – заполняется строка , при этом для каждого столбца E1 и E2 производится такое же скалярное произведение, как и при вычислении значения целевой функции.

Вектор вычисленных симплексных множителей =(- 23,4) переносится в столбец (1) вспомогательной таблицы. В этой же таблице производится последовательное вычисление оценок небазисных векторов – до получения первой отрицательной оценки: заполняется стро-

ка (1).

В данном примере такой оценкой является оценка вектора5 A3

3 = -23 1 + 4 (-2) - (-5) = - 10.

Основные таблицы

5 Оценки остальных векторов приведены в таблице только в качестве справки, их вычисление не требуется.

127

писываются в верхнюю часть первой основной таблицы. Вычисляются коэффициенты разложения вектора A3 по базису

(генерация столбца):

Следует отметить, что это – тривиальный случай, так как обратная матрица – единичная.

В таблицу записывается вычисленная оценка вектора A3 ( 3=-10). С использованием правил симплекс-метода по основным формулам вычисляются коэффициенты разложения вектора A0 по новому

базису B=(A3, A2), новое значение целевой функции и симплексные множители. Эти данные записываются в табл. 2.

Вектор вычисленных симплексных множителей =(-13, 4) переносится в столбец (2) вспомогательной таблицы. В этой же таблице производится последовательное вычисление оценок небазисных векторов – до получения первой отрицательной оценки: заполняется строка

(2).

Все оценки неотрицательные, т.е. получено оптимальное решение задачи:

Xопт =( 0,4,5,0,0,0,0,0,0,0); Zопт =-9.

Пример 1.25

Эта задача имеет очевидное исходное опорное решение с единичной базисной матрицей:

Построим вспомогательную таблицу, в которую запишем параметры задачи – векторы-столбцы Aj (j=1,2,...,6) и коэффициенты целевой функции (строка таблицы С).

Вспомогательная таблица

В эту же таблицу на каждой итерации будем записывать координаты векторов симплексных множителей – в дополнительных столбцах (1), (2),... . В строках (1), (2),... будем записывать вычисленные оценки векторов.

Заполним первую таблицу.

Таблица заполняется в следующей последовательности. Заполняются столбцы Баз, Сбаз, A0, и Е1, Е2 – столбцы обратной

матрицы исходного опорного решения.

Вычисляется значение целевой функции (как в обычном сим-

плекс-методе): 0=-80 2+(-80 3)=-400.

Вычисляются симплексные множители – координаты вектора

(1)=( 1, 2): 1=-80 1+(-80 0)=-80; 2=-80 0+(-80 1)=-80.

Вектор симплекс-множителей (1)=(-80,-80) переносится в столбец (1) вспомогательной таблицы. В этой же таблице производится последовательное вычисление оценок небазисных векторов до получения первой отрицательной оценки – заполняется строка (1).

В рассматриваемом примере отрицательную оценку имеет вектор A2: 2=-80 1+(-80) 2-(-180)=-60. Остальные оценки не вычисляются.

129

Координаты вектора A2=(1,2)T из вспомогательной таблицы переносятся в верхнюю часть основной таблицы (табл.1), после чего производится "генерация столбца" – нахождение коэффициентов разложения вектора A2 по базису B=(A4,A1):

Втаблицу записывается вычисленная оценка вектора A2 : 2=-60.

Сиспользованием правил обычного симплекс-метода по основным формулам (правило "крест-накрест") вычисляются коэффициенты

разложения вектора A0 по новому базису B=(A4,A2), новая обратная базисная матрица, новое значение целевой функции и новый вектор симплексных множителей.

Все данные записываются в новую таблицу (табл.2). Вычислен-

ный вектор симплексных множителей (2)=(-80,-50) переносится в столбец (2) вспомогательной таблицы. Определяется вектор с отрицательной оценкой A3: 3=-40 и т.д.

На третьей итерации оценки всех векторов становятся неотрицательными. Получено оптимальное решение задачи:

Yопт (0,54,14 , 0); Zопт 300.

По третьей таблице можно определить решение задачи, двойственной к исходной задаче.

Решенная задача:

130