Жолобов Ввведение в Математическое 2008

ТЕОРЕМА 1.1 (об опорном решении задачи линейного программирования).

ство задачи (1.5)-(1.7)1. Но x = 12 x(1) + 12 x(2) , т.е. не является вер-

шиной. Получено противоречие, из которого следует неверность изначального предположения о линейной зависимости подсистемы

Ai1 , Ai2 ,..., Aim .

все x* > 0 . При этом условие (1.8) будет выполняться и изначальное предполо-

ik

жение не будет нарушено.

31

Пусть теперь x – опорное решение задачи. Предположим от противного, что точка x не является вершиной. Пусть она представима в виде комбинации точек x(1) и x( 2 ) допустимого множества:

x =αx(1) +(1−α)x(2) , причем 0 <α <1 .

Координаты точек x(1) и x( 2 ) , соответствующие нулевым координатам точки x , также равны нулю, поскольку уравнение

αxk(1) +(1 −α)xk(2) = 0

при строго положительном α и неотрицательных xk(1) и xk(2) (они

не могут быть отрицательными, в противном случае нарушалось бы требование (1.7) задачи и эти точки не попадали бы в допусти-

ко нулевым координатам, поскольку только что показано, что

В соответствии с утверждением, сформулированным в этой теореме, переход от одной вершины к другой – это переход от одного опорного решения задачи линейного программирования к другому.

32

Известно, что базисы опорных решений, соответствующие смежным вершинам, отличаются только одним вектором.

В этой связи необходимо, прежде всего, ответить на вопрос: в каком случае замена одного базисного вектора другим, небазисным, приведет к новому базису?

Ответ на этот вопрос дает следующая лемма, имеющая принципиальное значение в симплекс-методе.

ЛЕММА 1.1 (переходе к новому базису).

Пусть дана система m-мерных векторов, имеющая ранг m

Доказательство. Пусть xrS = 0. Рассмотрим линейную комбинацию системы векторов (1.12), получаемую из (1.13) переносом вектора AS в правую часть и подстановки xrS = 0:

x1SA1 + x2SA2 + …+ 0Ar +…+ xmSAm-AS=0

Поскольку в правой части стоит 0, система векторов (1.12) является линейно зависимой. Покажем теперь, что при xrs ≠ 0 система

(1.12) будет составлять базис, т.е. являться линейно независимой (поскольку она содержит m векторов). Предположим от противного, что система векторов (1.12) является линейно зависимой, т.е.

33

существует такой набор коэффициентов α1 ,α2 ,...,αm , не равных

A1, A2, … ,Ar-1, Ar+1, …, Am, являясь частью базиса (1.11), линейно независима . Подставим в этом выражении вместо вектора AS пра-

вую часть выражения (1.13) и сгруппируем коффициенты для кадого вектора:

m

∑(αi +αr xis )Ai +αr xrs Ar = 0

i=1 i≠r

Из полученного выражения, учитывая αr xrs ≠ 0 , следует линей-

ная зависимость системы векторов (1.11), что противоречит условию леммы (поскольку система (1.11) является базисом). Лемма доказана.

Следует заметить, что любой m-мерный вектор m-мерного евклидова пространства Aj может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

Причем это представление единственно.

1.2.5.Связь координат векторов в последовательных базисах

Базисы системы векторов A1, A2, … ,An, отличающиеся друг от друга единственным вектором, будем называть последователь-

ными базисами.

Пусть дана задача линейного программирования (1.5)-(1.7) и известно ее опорное решение

Пусть далее базисом этого опорного решения являются первые m векторов:

34

Отсюда, учитывая (1.21), получаем основные формулы, связывающие координаты любого вектора в новом и старом базисах:

Используя основные формулы, можно вычислить координаты разложения вектора A0 в новом базисе:

Если вычисленные координаты окажутся неотрицательными, будет получено новое опорное решение.

Для того чтобы можно было воспользоваться формулами (1.23), необходимо знать коэффициенты разложения не только вектора A0, но и вектора AS в старом базисе. Но поскольку конкрет-

ный вектор, который будет введен в базис, неизвестен, в общем случае, необходимо хранить разложения всех векторов по текущему базису. При ручном счете, а также в ряде пакетов прикладных программ для хранения соответствующей информации используются специальные таблицы – так называемые симплекс-таблицы. Фрагмент симплекс-таблицы представлен на рис.1.10.

36

Рис.1.10 Иллюстрация пересчета симплекс-таблицы по правилу «крест-накрест»

На этом рисунке проиллюстрируем технологию пересчета координат разложения векторов в последовательных базисах. Пусть в базис вводится вектор AS вместо базисного вектора Ar . Пересчет выполняется в следующем порядке:

1.Вычисляется r-я координата всех векторов таблицы. Для

этого все элементы r-й строки делятся на xrS – так называемый, ведущий элемент, причем это деление выполняется непосредственно в таблице.

2.Для вычисления всех остальных координат используется правило «крест-накрест», которое заключается в следующем.

Пусть пересчитывается координата xkj . Мысленно строится прямоугольник, одна диагональ которого (главная диагональ) соединяет элемент xkj c элементом, находящимся на пересечении r-

йстроки и s-го столбца (его значение – единица – это новое значе-

ние координаты x'rS). Далее, из произведения элементов, соединенных главной диагональю, вычитается произведение элементов, соединенных второй диагональю.

37

Полученная величина xkj xrj xks – это значение координа-

xrs

ты x'kj ( k-я координата в разложении вектора Aj по новому базису). Результаты вычислений записываются в соответствующие клетки новой симплекс-таблицы.

Использование правила "крест-накрест" позволяет при ручном счете не запоминать основные формулы: они реализуются автоматически.

1.2.6.Переход к новому опорному решению

Воснову симплекс-метода положен последовательный переход от одного опорного решения к другому, или, что эквивалентно, переход от одной вершины допустимого множества к другой – смежной вершине, в которой целевая функция имеет большее значение (точнее, не меньшее значение).

Влемме 1.1 указано условие, при выполнении которого замена в базисе одного вектора на другой оставляет систему базисных векторов линейно независимой (т.е. сохраняется базис). Для формулировки алгоритма симлекс-метода, необходимо ответить на следующие вопросы:

При каких условиях новому базису будет соответствовать новое опорное решение?

При каких условиях новое опорное решение будет лучшим предыдущего?

Каков критерий оптимальности текущего опорного решения?

Каков признак неограниченности целевой функции сверху на допустимом множестве?

Пусть дана задача линейного программирования (1.5)-(1.7):

c,x max

A1x1 + A2x2+...+ Anxn=A0 x 0,

причем, эта задача является невырожденной.

Задача линейного программирования называется невырожденной, если она не имеет вырожденных опорных решений.

Пусть известно опорное решение этой задачи

38

и базисом этого опорного решения являются первые m векторов2:

Заменим базисный вектор Ar некоторым небазисным векто-

ром AS, r {1, 2, …, m}; s {m+1, m+2, …, n}, причем будем счи-

тать, что условия леммы 1.1 выполняются (xrs 0).

будет соответствовать некоторое новое решение системы уравне-

ний (1.6)

компоненты которого однозначно определяются коэффициентами разложения вектора A0 по новому базису (1.29):

A0 = x'10 A1+… + x'r-1,0 Ar-1+ x'r0 AS+ x'r+1,0 Ar+1+ …+ x'm,0 Am (1.31)

а именно:

ТЕОРЕМА 1.2 (о переходе к новому опорному решению задачи линейного программирования).

то новому базису (1.29) будет соответствовать опорное решение задачи линейного программирования (1.5)-(1.7).

2 Это предположение здесь и в дальнейшем делается для упрощения изложения материала. Очевидно, что все положения действительны и для другого состава базиса (в конце концов, это вопрос нумерации векторов).

39

Доказательство. Для вычисления коэффициентов разложения вектора A0 по новому базису воспользуемся основными формулами.

Новое решение должно удовлетворять условиям (1.7) – только тогда оно будет опорным.

Рассмотрим выражение для вычисления r-той координаты вектора A0. Ввиду того, что xr0 > 0 (старое решение – опорное),

Учитывая тот факт, что xr0 > 0, xk0 > 0 и, как только что показано, должно иметь место xrS > 0, неравенства (1.34) будут выполняться автоматически для всех k (k=1,2,...,m; k r), для которых

xkS < 0.

Для всех же xkS > 0 (k=1,2,...,m; k r) неравенства (1.34) будут выполняться только в том случае, если имеет место (1.33). Теорема доказана.

1.2.7. Переход к лучшему опорному решению и критерий оптимальности

Пусть дана задача линейного программирования (1.5)-(1.7); известно ее опорное решение (1.25) и базис этого решения (1.26).

Пусть далее базисный вектор Ar заменяется свободным вектором AS и при этом выполняются условия теоремы 1.2 о переходе к новому опорному решению.

Величина S = (с1x1S+с2x2S+…+сmxmS –сS) называется оценкой вектора AS.

ТЕОРЕМА 1.3 (о возможности улучшения опорного решения задачи линейного программирования).

Если для данного опорного решения существует такая отрицательная оценка ( S<0), что среди координат разложения вектора AS по данному базису (т.е. среди чисел xkS, k=1,2,...,m) есть положительные, то базис, которому будет соответствовать лучшее опорное решение, будет получен, если вектором AS заменить тот вектор Ar, для которого

40