Жолобов Ввведение в Математическое 2008

AT – транспонированная матрица коэффициентов левой части системы ограничений прямой задачи (1.60);

C=(c1, c2, …, cm)T – вектор-столбец, составленный из коэффициентов целевой функции прямой задачи (1.60).

Пример 1.18

Дана задача ЛП в канонической форме:

Двойственная к этой задаче задача имеет вид:

y1,y2 – не ограничены в знаке.

Задачи (1.60) и (1.62) – взаимно-двойственные в том смысле, что, приняв в качестве прямой задачу (1.62), можно перейти к двойственной задаче, которая с точностью до обозначения переменных будет иметь вид задачи (1.60). Проиллюстрируем этот переход, используя эквивалентные преобразования, описанные в разделе 1.2.

Шаг 1. Изменение направления оптимизации и неравенств в задаче (1.63). Эквивалентная задача:

Шаг 2. Введение требования неотрицательности переменных путем их замены:

где y y1 ,y2 ,...,ym , y = y1 ,y2 ,...,ym .

Шаг 3. Приведение задачи к канонической форме путем введения дополнительных переменных:

Шаг 5. Изменение направления экстремизации и замена нестрогих неравенств равенствами:

Таким образом, получена задача, имеющая вид задачи (1.61). Задачи (1.60) и (1.62) называются несимметричной парой

двойственных задач.

Пусть теперь прямая задача имеет симметричную форму:

Построим двойственную задачу:

Шаг 1. Приведение задачи к канонической форме:

83

Шаг 2. Построение двойственной задачи:

Ввиду того, что последняя группа нестрогих неравенств эквивалентна требованию неотрицательности переменных, результатом приведенных преобразований является следующая задача:

Следует обратить внимание на то, что в двойственной задаче сохранилось требование неотрицательности переменных.

Задачи (1.64) и (1.65) называются симметричной парой двойственных задач.

Можно показать, что задачи (1.64) и (1.65) являются взаимнодвойственными, т.е., если принять в качестве прямой задачу (1.65) , придать ей каноническую форму и построить двойственную к ней задачу, будет получена задача, которая с точностью до обозначения переменных будет совпадать с задачей (1.64).

Рассмотрим основные, наиболее часто используемые в теории линейного программирования, модели взаимно-двойственных задач.

В самом общем случае, когда прямая задача имеет смешанную систему ограничений, содержащую уравнения, нестрогие неравенства различной направленности и к переменным предъявлены различные требования (неограниченность в знаке, неотрицательность, неположительность), двойственная задача может быть построена непосредственно по прямой задаче. При этом можно не проводить трудоемких преобразований, связанных с приданием исходной задаче канонической формы, а использовать следующие правила, сведенные в таблицы.

Прямая задача на максимум целевой функции

85

Прямая задача на минимум целевой функции

1.3.2. Связь двойственных задач

Ниже приводятся некоторые теоретические выкладки, устанавливающие связь решений прямой и двойственной задачи линейного программирования.

В основном рассматривается несимметричная пара взаимнодвойственных задач (1.60) и (1.62).

ЛЕММА 1.3. (о допустимых решениях прямой и двойственной задачи).

Пусть дана прямая задача:

Пусть далее x =(x1 ,x2 ,...,xn ) и y =(y1 , y2 ,..., ym ) – любые допустимые решения прямой и двойственной задачи соответст-

венно.

Тогда имеет место следующее соотношение:

86

(т.е. значение целевой функции прямой задачи на любом ее допустимом решении не может превысить значение целевой функции двойственной задачи на любом допустимом решении последней).

Доказательство. Умножим левую и правую части первого огра- ничения-уравнения прямой задачи на y1 , второго ограничения – на

y2 , и т.д., после чего сложим все полученные уравнения. Результат

этого сложения в форме скалярного произведения векторов будет иметь вид:

ЛЕММА 1.4 (об оптимальных решениях прямой и двойственной задачи).

Если на некоторых допустимых решениях x x1 ,x2 ,...,xn прямой и y y1 , y2 ,..., ym двойственной задачи нестрогое неравенство (5) обращается в строгое равенство, то x x1 ,x2 ,...,xn

иy y1 , y2 ,..., ym – оптимальные решения прямой и двойствен-

x x1 ,x2 ,...,xn – оптимальное решение прямой задачи.

Пусть теперь c, x = A0Т , y , но y y1 ,y2 ,...,ym – не оптимальное решение. Следовательно, существует такое решение

87

венной задачи. Утверждение доказано.

ТЕОРЕМА 1.6 (первая теорема двойственности для несимметричной пары двойственных задач).

1.Если одна из задач (1.60) или (1.62) имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем, оптимальные значения целевых функций этих задач совпадают.

2.Если целевая функция одной из задач не ограничена сверху (соответственно, снизу), то другая задача не имеет допустимых решений.

Доказательство. Пусть задача (1.60) решена симплекс-методом и

x1* ,x2* ,...,xn* , и

B Ai1 ,Ai2 ,...,Aim – базис этого решения. Тогда оценки всех векторов, вычисленные на последней итерации, неотрицательные, т.е.:

Рассмотрим выражение:

88

В матричной форме эта система имеет вид: AТY C, т.е., вектор y , построенный в соответствии с выражением (1.68), удов-

летворяет всем ограничениям двойственной задачи (1.62). Найдем значение целевой функции двойственной задачи на

допустимом решении y y1 ,y2 ,...,ym :

y, A0T cбаз B 1 , A0T cбаз ,(B 1 A0 )T .

Учитывая, что (B 1 A0 )T x10 ,x20 ,...,xm0 X0T – вектор оптимальных значений базисных переменных задачи (1), имеет местоcбаз , X0Т c,x* . Следовательно:

y, A0T = cбаз ,X0Т c,x* ,

т.е., значение целевой функции прямой задачи на решении x0 совпадает со значением целевой функции двойственной задачи на ее допустимом решении y . Следовательно, решение y , в соответст-

вии с утверждением леммы 1.4, является оптимальным. Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь целевая функция прямой задачи (1.60) не ограничена сверху на допустимом множестве. Предположим, от противного, что двойственная задача имеет допустимые решения и y –

одно из таких решений. Пусть целевая функция двойственной задачи на решении y принимает некоторое значение Q A0Т , y .

Ввиду того, что целевая функция прямой задачи (1.60) не ограничена сверху на допустимом множестве, всегда найдется такое допустимое решение x (x1 ,x2 ,...,xn ) , на котором имеет место

c,x > Q , что противоречит утверждению леммы 1.3 о допусти-

мых решениях прямой и двойственной задачи. Вторая часть теоремы доказана.

89