Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Доказательство. Новому опорному решению (1.30), учитывая (1.31) и (1.32), будет соответствовать новое значение целевой функции:

Zнов=c1x'10+...+cr1x'r-1,0+csx'r0+cr+1x'r+1,0+...+cmx'm0. (1.35)

Используя основные формулы, выразим новые координаты разложения вектора A0 через координаты разложения векторов по старому базису.

После простых преобразований (добавления нулевой суммы crxr0 - crxr0 и перегруппировки членов) будет получено следую-

щее выражение:

Очевидно, Zст=с1x10+с2x20+…+сmxm0 – это значение, которое имеет целевая функция на старом опорном решении. В скобках же напи-

сана в точности величина оценки S вектора AS. Совершив изложенные подстановки, получим новую запись выражения (1.36):

xr0 > 0, новое значение целевой функции будет больше старого значения в том и только том случае, если вектор AS, вводимый в базис,

будет иметь отрицательную оценку ( S<0). Теорема доказана.

Следствие. Если для некоторого опорного решения оценки всех свободных векторов неотрицательны, данное опорное решение оптимальным.

Следует отметить, что оценки базисных векторов всегда нулевые. Действительно, если вектор Aj – базисный, то его разложение по базису тривиально:

Aj = x1j A1 + x2j A 2 +...+ xjj Aj+…+ xmj Am .

Здесь все коэффициенты, кроме xjj , имеют нулевое значение, а xjj=1. Следовательно, в соответствии с (1.39):

j = cj - cj = 0.

41

Подводя итог, можно заметить, что если для вводимого в базис вектора S < 0, то очередному решению будет соответствовать большее значение целевой функции; если S > 0 – меньшее; если

же S = 0, значение целевой функции не изменится.

В старом базисе оценка вектора Aj (j=1,2,...,n) определяется

выражением (1.39):

j = c1x1j + c2 x2j +...+ cm xmj - cj.

В новом базисе этот же вектор будет иметь оценку 'j :

'j = c1x'1j+…+ cr-1x'r-1,j+ cSx'rj +cr+1,jx'r+1,j+…+ cmx'mj - cj .

Используя основные формулы, выразим новые координаты через старые. Путем простых преобразований будет получено следующее выражение:

1.2.8. Признак неограниченности сверху целевой функции

Рассмотрим последний случай, возможный при решении задачи линейного программирования симплекс-методом. Этот случай оформим в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1.4 (о неограниченности сверху целевой функции задачи линейного программирования).

Пусть для некоторого опорного решения задачи

c,x max,

A1x1 + A2x2+...+ Anxn=A0 , x 0 ,

существует свободный вектор As , имеющий отрицательную оценку s < 0, для которого выполняется

xks 0, (k = 1,2,...,m). (1.41)

Тогда целевая функция задачи не ограничена сверху на допустимом множестве.

Доказательство. Пусть

опорное решение, для которого справедливы условия теоремы

(1.41).

42

Рассмотрим вектор x* (x1* , x2* ,..., xn* ) , координаты которого

определим следующим образом:

xk xk xks ,(k=1,2,...,m);

Здесь – некоторое положительное число. Относительно вектора x* можно утверждать следующее:

все координаты этого вектора неотрицательные, так как по ус-

As A0 As As A0 .

Вектору x* соответствует следующее значение целевой функции:

Z* c1 x1 x1s ... cm xm xms cs

c1x1 c2 x2 ... cm xm c1x1s c2 x2s ... cm xms cs

Z s ,

где Z – значение целевой функции на решении (1.43).

По условию теоремы s < 0. Следовательно, взяв достаточ-

но большое , можно сделать Z* сколь угодно большим. Таким образом, доказано, что целевая функция задачи линейного программирования не ограничена сверху.

43

1.2.9. Определение коэффициентов разложения векторов по базису

Пусть дана задача линейного программирования в канонической форме:

c,x max,

A1x1 + A2x2+...+ Anxn=A0 , x 0.

Предположим, что ранг матрицы A=(A1,A2,...,An ) равен m –

Для того чтобы на практике использовать результаты, сформулированные в теоремах 1.2, 1.3 и 1.4, необходимо знать коэффициенты разложения векторов A0, A1, …, An по базису (1.44).

Разложение любого базисного вектора тривиально. Так, если вектор Aik – базисный, его разложение по базису будет иметь вид:

матрица-столбец, составленная из коэффициентов разложения вектора Aj по базису (1.44).

Решение матричного уравнения (1.46) находится путем умножения слева обеих частей равенства на матрицу, обратную к

где B-1 – обратная матрица, а E – единичная матрица:

Таким образом, для нахождения коэффициентов разложения любого вектора Aj (j=0,1,2,...,n) по базису (1.44) необходимо знать обратную матрицу B-1.

Вычисление B-1 – весьма трудоемкий процесс. Вместе с тем, известно, что если B является единичной матрицей, то и B-1 –

единичная матрица, т.е.

B = B-1 = E.

Следовательно, учитывая (1.48):

Xj = B-1Aj = EAj = Aj.

Таким образом, вектор коэффициентов разложения любого вектора Aj (j=0,1,2,...n) по единичному базису совпадает с самим этим вектором. В симплекс-методе это обстоятельство используется следующим образом.

Допустим, в исходной системе ограничений задачи линейного программирования имеется полный набор единичных векторов:

Эта форма задачи линейного программирования называется

приведенной.

45

В случае, если все ai 0 i = 1,2,...,m , векторы (Ai1 , Ai2 ,..., Aim ) можно принять в качестве базиса опорного решения x (x1, x2 ,..., xn ) ,

значения координат которого определяются следующим образом:

xik xk 0 , k {1, 2,...,m}; xj 0, j {i1 ,i2 ,...,im }.

При этом известны коэффициенты разложения всех векторов по базису: xij aij i 1, 2,...,m; j 1,2,..., n . Следовательно, можно

сразу заполнить соответствующий фрагмент симплекс-таблицы.

Пример 1.8

Дана задача линейного программирования:

2x1 8x2 2x3 6x4 3x5 max,

xj 0, j 1, 2,...,5 .

Здесь векторы A4 и A5 составляют единичный базис, которому соответствует опорное решение. X*=(0,0,0,1/2,1).

Ниже приводится фрагмент симплекс-таблицы для этой задачи.

Если в системе ограничений задачи отсутствует полный набор единичных векторов, вопрос нахождения исходного опорного решения и коэффициентов разложения векторов по базису этого решения несколько осложняется.

В частном случае, когда задача имеет симметричную форму и неотрицательные свободные члены, поступают следующим образом.

46

xn+1, xn+2, ..., xn+m – по одной на каждое ограничение, задаче придается каноническая форма:

Известны также коэффициенты разложения всех векторов по базису:

xkj=akj, xk0=ak, (k=1,2,...,m; j=1,2,...,n).

Вобщем же случае, когда задача имеет каноническую форму,

ив системе ограничений отсутствует полный набор единичных векторов, для нахождения исходного решения, которому соответствует единичный базис, используется специальный метод – метод искусственного базиса, основанный на использовании вычислительной процедуры самого же симплекс-метода. Две разновидности этого метода рассмотрены в разделах 1.2.13 и 1.2.14.

47

1.2.10. Алгоритм симплекс-метода для невырожденной задачи

Пусть дана задача ЛП в канонической форме:

<c,x> max,

A1+A2+...+An=A0 , x 0.

Пусть известно некоторое опорное решение

x (x1, x2 ,..., xn )

и базис этого решения:

B=( Ai1 , Ai2 ,..., Aim ).

Будем считать, что базисная матрица является единичной матрицей (B=E), т.е. система ограничений задачи имеет форму приведенной системы, а вектор A0 не имеет отрицательных коор-

динат: ai 0, (i=1,2,...,m).

Очевидно, что ранг базисной матрицы B равен m – количеству ограничений-уравнений (m единичных векторов Ai1 , Ai2 ,..., Aim

составляют линейно независимую систему). Рассмотрим основные шаги алгоритма.

Шаг 1. Разложить векторы A0 , A1 ,A2 ,... An по базису, т.е. найти все числа xkj (j=0,1,2,...,n; k=1,2,...,m ) такие, что:

+...+ xmj Aim .

Учитывая тот факт, что B=( Ai1 , Ai2 ,..., Aim )=E=B-1, коэффици-

енты разложения определяются непосредственно параметрами задачи:

xkj=akj , xk0=ak (j=1,2,...,n; k=1,2,...,m ).

При этом, координаты опорного решения x (x1, x2 ,..., xn ) определяются следующим образом:

xik =ak=xk0 ,(k=1,2,...,m ); x j =0, (j=1,2,...,n; j {i1,i2,...,im}) .

Шаг 2. Найти оценки всех свободных векторов Aj, j {i1,i2,...,im}:

j = ci1 x1 j ci2 x2 j ... cim xmj cj .

Z0= ci1 x10 ci2 x20 ... cim xm0 .

Результаты вычислений занести в симплекс-таблицу. Ниже представлена полная симплекс-таблица.

48

редное опорное решение – оптимальное решение задачи. Координаты этого решения x (x1, x2 ,..., xn ) однозначно определяются ко-

эффициентами разложения вектора A0 :

xik =ak=xk0 ,(k=1,2,...,m ); x j = 0, (j=1,2,...,n; j {i1,i2,...,im}).

Шаг 4. Последовательно просматриваются все свободные векторы, имеющие отрицательные оценки. Если обнаруживается такой

вектор Aj ( j < 0 ), для которого все xkj 0, (j=1,2,...,n), вычисления прекращаются: задача не имеет решения, так как ее целевая функция не ограничена сверху на допустимом множестве. В противном случае выполняется следующий шаг.

Шаг 5. Выбирается любой вектор, имеющий отрицательную оценку (обычно предпочтение отдается вектору с максимальной по абсолютной величине отрицательной оценкой – это, как правило, сокращает общее количество вычислительных операций). Пусть, для определенности, выбран вектор As ( s < 0). Этот вектор будет вводиться в базис.

Шаг 6. Определяется вектор, который будет выводиться из базиса. Для этого просматриваются все элементы s-го столбца симплекстаблицы и для всех k (k=1,2,...,m ), для которых имеет место xks>0 , вычисляется отношение xk0 /xks.

Из полученных отношений выбирается минимальное. Пусть

49

Тогда из базиса будет выводиться вектор Air . Выполняется

следующий шаг.

Шаг 7. Для нового базиса

Внов=( Ai1 , Ai2 ,..., Air 1 , As , Air 1 ,..., Aim ),

с использованием основных формул пересчитываются координаты разложения всех векторов Aj (j=0,1,2,...,n):

Далее, вычисляется значение целевой функции на новом опорном решении:

В этом выражении Zнов и Zст – соответственно, новое и

старое значения целевой функции. Наконец, вычисляются оценки свободных векторов в новом базисе. Здесь используется выражение:

j j xrj s .

xrs

При ручном счете для вычислений по приведенным выше формулам используется правило “крест-накрест”. Результаты вычислений заносятся в новую симплекс-таблицу и выполняется шаг 3.

Пример 1.9

Решить симплекс-методом следующую задачу линейного программирования.

xj 0, j=1 4

Система ограничений этой задачи имеет форму приведенной сис-

50