Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Заметим, что если продать все сырье, не вырабатывая электроэнергии, то будет получена прибыль:

100000 30+70000 40+80000 100=13.8 млн руб.

Пример 1.4

Условия примера 1.3 сохраняются, но предполагаем, что сырье можно докупать со стороны по ценам:

30 руб. – за единицу сырья вида S1;

50 руб. – за единицу сырья вида S2;

20 руб. – за единицу сырья вида S3.

При этом затраты на дополнительную покупку сырья не должны превышать 10 млн руб. Естественно, что если продажа сырья увеличи-

вает доход АЭС, то покупка – уменьшает доход.

11

80000 x5 S3

Решение

Суммарный доход: 83.33 млн руб.

Выработка электроэнергии

П1: 6666 МВтч П2: 63333 МВтч

Продажа сырья

S1 : 0 ед.

S2 : 0 ед.

S3 : 2 ед.

Покупка сырья

S1 : 293333 ед.

S2 : 0 ед.

S3 : 60000 ед.

Этот пример показателен с экономической точки зрения. Так, если ничего не производить, а взять, например, сырье S3 (покупка – по 20

руб. за ед.; продажа – по 100 руб.), то:

продажа всего запаса принесет доход 13.8 млн руб;

покупка на 10 млн руб. сырья S3 увеличит его запас на 500000 ед,

12

а последующая продажа по цене 100 руб. за ед. принесет доход 50 млн руб. Таким образом, доход от перепродажи составит 40 млн руб. Результирующий итог такой операции равен 13.8+40=53.8 млн руб.

Следовательно, в результате реализации простой спекуляционной сделки будет иметь место потеря в 83.3-53.8=29.53 млн руб.

Контрольные вопросы и задачи к разделу 1.1

1. Фирма выпускает три вида продукции (изделий). В процессе производства используются три технологические операции.

На рисунке показана технологическая схема производства.

В прямоугольниках указана длительность технологических операций при изготовлении одного изделия каждого вида.

Фонд рабочего времени, в течение которого операции могут быть применены для производства рассматриваемых изделий, ограничен:

для первой операции – 430 мин, для второй операции – 460 мин, для третьей операции – 420 мин.

Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 тыс. руб. соответственно.

Каков наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?

2. Компания, специализирующаяся на разработке инновационных средств радиационной защиты, получила заказ от государства на выпуск 20000 индивидуальных защитных костюмов. На производство одного костюма расходуется не менее одного килограмма материалов. К костюмам предъявляются требования по задержке внешнего радиоактивного излучения снаружи, сохранения температурного режима внутри костюма и проницаемости костюмов для

13

кислорода. Для производства костюмов как правило используется широкий перечень материалов. Мы же для простоты ограничимся только тремя: хлопком, инновационным наноматериалом, хорошо задерживающим радиацию и синтетической тканью. Также предположим пропорциональность характеристик материала его доле, содержащейся в костюме, и их аддитивность в случае комбинации материалов в костюме.

Данные по характеристикам каждого из трех материалов и их удельной стоимости сведем в таблицу 1.1.

К костюму предъявляются следующие требования:

1)сохранение не менее 40% и не более 90% тепла организма;

2)пропускание не менее 20% кислорода;

3)задержка не менее 90% радиоактивного излучения. Необходимо определить количество (в килограммах) каждого

из трех материалов, которое необходимо приобрести для выполнения госзаказа на костюмы, обладающее минимальной стоимостью при условии, чтобы характеристики готовых изделий находились в требуемых диапазонах.

3. Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех узлов. Эти узлы выпускаются на двух заводах.

Из-за различия в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску изделий каждого вида неодинакова.

В табл.1.2 содержатся исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из заводов для производства этих узлов.

14

Идеальной является ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производительности заводов.

Более реальная цель состоит в максимизации выпуска готовых изделий – это, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех узлов на каждом заводе (переменные), не превышающие в сумме временные ресурсы каждого завода (ограничения) и обеспечивающие максимальный выпуск изделий (целевая функция).

4. При изготовлении изделий двух видов осуществляется последовательная обработка соответствующих заготовок на двух различных станках.

Изделие 1

Изделие 2

Каждый станок может использоваться для производства изделий по 8 часов в сутки. Однако этот фонд может быть увеличен еще на 4 часа. Каждый час сверхурочных работ требует дополнительных расходов в размере 500 руб.

15

Производительность станков и прибыль в расчете на одно изделие приведены в таблице 1.3.

Требуется определить количество изделий каждого вида (переменные), которые нужно производить, чтобы максимизировать чистую прибыль (целевая функция), при условии, что время использования станков можно увеличить только за счет сверхурочных работ (ограничения).

1.2. Симплекс-метод

1.2.1.Виды задач линейного программирования

Влинейном программировании различают три основные формы задач.

Задача линейного программирования в общей форме имеет

вид:

Задача в стандартной (естественной, симметричной) фор-

ме:

j 1

x j 0, (j 1, n).

16

5.Замена нестрогих неравенств уравнениями В этом преобразовании на каждое нестрогое неравенство вво-

дится "своя" переменная, которая называется дополнительной пе-

18

Оптимальное решение этой задачи:

x1 82.2, x2 0, x3 0, x5 0, x6 47.8, x7 253.3, x8 0;

Zо*пт 499.

Оптимальное решение исходной задачи формируется следующим образом:

1.Изменяется знак оптимального значения целевой функции;

2.Отбрасываются дополнительные переменные x7 и x8 ;

3.Восстанавливается переменная x4=x5-x6.

Витоге имеем:

Задачи в форме канонической (1.4) и симметричной (1.2), (1.3) принято называть задачами с однотипными ограничениями. Для их исследования удобно использовать компактные формы за-

писи: матрично-векторную и векторную.

Эти формы рассмотрим на примере канонической задачи, которую приведем в развернутом виде:

эффициентов левой части системы ограничений; 20