Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Решим первую подзадачу:

161

162

163

означает, что в последней симплекс-таблице записано оптимальное ре-

ˆ . Восстанавливаем оптимальное решение исходной задачи:

X2 (0,0,1, 0)

Значение целевой функции оптимального решения исходной задачи совпадает со значением целевой функции координирующей задачи и равно 10.

1.4.8. Анализ чувствительности линейных моделей

Возможности, предоставляемые теорией линейного программирования, не ограничиваются лишь получением оптимальных значений управляющих переменных. Решение задач линейного программирования должно обеспечивать пользователя динамической информацией.

Дело в том, что как только условия, в соответствии с которыми была построена модель задачи, изменяются, информация, ассоциированная со статическим решением, теряет свою актуальность.

Параметрическое программирование, как раздел линейного программирования, представляет собой метод исследования изменений оптимального решения задачи линейного программирования, обусловленных заранее задаваемыми непрерывными изменениями параметров линейной модели.

164

Очень ценные результаты по анализу изменений оптимального решения задачи линейного программирования, вызванных изменениями параметров этой задачи, связаны с теорией двойственности.

В разделе 1.3.3 было показано, что в процессе решения задачи единичная матрица, записанная в первой симплекс-таблице, преобразуется в обратную базисную матрицу оптимального решения задачи.

Баз Сбаз A0 …….

E – единичная

Первая таблица ……. базисная мат-

рица

……………………………………………………………………….

Это обстоятельство иногда позволяет не решать заново задачу

Очевидно, что это выражение можно использовать для анализа влияния изменений в правой части системы ограничений на допустимость решения, связанного с последним базисом. На оптимальность же полученного решения изменение коэффициентов вектора A0 повлиять не может, так как признаком оптимальности является неотрицательность оценок небазисных векторов, которые определяются по формуле:

Таким образом, если оказалось, что изменение коэффициентов вектора A0 не привело к недопустимости нового решения (среди коэффициентов вектора X0 , вычисленного по формуле (1.100), нет отрицательных), X0 является оптимальным решением задачи с новым вектором A0. Этому решению будет соответствовать новое значение целевой функции, которое можно вычислить по формуле:

Если же среди коэффициентов вектора X0, вычисленного по формуле (1.100), имеются отрицательные, то достаточно:

обновить столбец A0 последней симплекс-таблицы;

записать в нее новое значение целевой функции;

продолжить решение задачи двойственным симплекс-методом (решение X0 является псевдопланом, так как оценки векторов не

изменились – остались неотрицательными, а в столбце A0 появились отрицательные коэффициенты).

Рассмотрим теперь выражение (1.101). Это выражение можно использовать:

1.Для анализа влияния изменений коэффициентов целевой функции на оптимальность полученного решения;

2.Для анализа влияния изменений коэффициентов левой части системы ограничений на оптимальность полученного решения

(векторов Aj , j=1,2,...n).

Следует, однако, отметить, что во втором случае есть опреде-

ленные проблемы. Так, например, если Aj входит в оптимальный базис, то исследование на чувствительность просто провести нельзя, так как для этого нужно пересчитать обратную матрицу – проще решить задачу заново. Поэтому этот случай, как правило, не рассматривается при исследовании задач линейного программирования на чувствительность.

При анализе влияния изменений коэффициентов целевой функции на оптимальность полученного решения анализ проводится по следующей схеме:

Пересчитываются оценки всех векторов с использованием вы-

ражения (1.101);

166

Если оценки остаются неотрицательными, то X0 – оптимальное решение задачи. Этому решению соответствует новое значение целевой функции, вычисленное по формуле (1.102);

Если среди новых оценок появилась отрицательная, то все новые оценки записываются в симплекс-таблицу, по формуле (1.102) вычисляется новое значение целевой функции, обновля-

ется столбец Cбаз, и с использованием симплекс-метода продолжается решение задачи.

1.4.9. Общая схема параметрического анализа задач линейного программирования

В параметрическом программировании, в основном, решаются следующие задачи.

Задача А. Дана задача линейного программирования:

Необходимо определить функцию

(t) max c, x

x D(t )

Задача В. Дана задача линейного программирования:

Необходимо определить функцию

(t) max c(t), x .

x D

Функции, с помощью которых задается изменение параметров задач, не обязательно должны быть линейными. Вид этих функций не имеет отношения к тем условиям, которые определяют принадлежность задач к классу задач линейного программирования. Пре-

167

имущество использования линейных функций состоит лишь в том, что вычисления являются менее трудоемкими.

Следует отметить, что любую нелинейную функцию одной переменной всегда можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией.

При параметрическом анализе параметр t рассматривается как время и анализ всегда начинается с момента t=0 (считается, что t 0).

Общая схема анализа заключается в следующем.

1.Принимается t=t0=0 и решается задача линейного программиро-

вания (1.103) или (1.104).

2.С помощью условий допустимости (1.100) и/или оптимальности

(1.101) находится момент времени t=t1 такой, что в интервале [t0, t1] решение остается оптимальным и/или допустимым.

Вслучае задачи А для определения этого момента используется следующая последовательность действий:

вычисляется вектор-функция коэффициентов разложения вектора A0 по базису:

x10 (t) B 1 A0 (t) X0 (t) x20 (t) ;xm0 (t)

решается система неравенств:

определяется закон изменения оптимального значения целевой функции в интервале [t0, t1]:

(t) Z0 (t) cбаз X 0 (t) cбазB 1 A0 (t) .

1 (t) 0,

2 (t) 0,

n (t) 0.

Определяется закон изменения оптимального значения целевой функции в интервале [t0, t1]:

(t) Z0 (t) сбаз X0 .

При t > t1 решение становится недопустимым (задача А) или неоптимальным (задача В).

3. Принимается t = t1, корректируется оптимальная симплекстаблица, и полученная задача решается двойственным симплексметодом (задача А) или обычным симплекс-методом (задача В). Определяется момент времени t = t2 такой, что в интервале [t1, t2] решение остается оптимальным и/или допустимым.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет определен момент времени t = tk такой, что при t > tk задача становится неразрешимой или остается неизменным предыдущее решение.

На этом параметрическое исследование задачи заканчивается.

1.4.10. Примеры анализа чувствительности коэффициентов целевой функции и правой части системы ограничений

Рассмотрим задачу В на следующем примере.

Пример 1.28

Пусть требуется провести параметрический анализ следующей задачи линейного программирования:

ничный базис.

Ниже представлена последняя симплекс-таблица, содержащая оптимальное решение задачи. Обратная базисная матрица выделена.

Это – та же таблица, что и в предыдущем разделе, так как при t = t0 = 0 соответствующие задачи совпадают.

169

Определим первое критическое значение параметра t=t1 такое, что в интервале [t0,t1] решение остается оптимальным.

Проделаем это в три приема, воспользовавшись аппаратом модифицированного симплекс-метода:

1. Найдем вектор-функцию симплексных множителей:

3. Найдем критическое значение параметра t такое, что в интервале t [0,t1] выполняется система неравенств:

4 14t 0,

1 t 0,

2 3t 0.

Решение этой системы неравенств: t1=1 . В интервале t [0,t1] решение x0=(0,5,30,0,0,10) остается оптимальным.

Оптимальное же значение целевой функции изменяется по зако-

170