Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Пусть z j ( j 1, L) – оптимальное значение ЦФ j-й подзадачи, а

(xq j 1 1 , xq j 1 2 ,..., xq j ) – ее оптимальное решение.

Тогда оптимальное решение локальной задачи определяется: xопт (x1 ,..., xq 1 , xq 1 1,..., xq j ,..., xq L 1 1,..., xq n ) ,

Zопт z j . j 1,L

1.4.7. Алгоритм метода декомпозиции Данцига-Вулфа

Дана задача ЛП, ограничения которой составляют блок-связку и ряд диагональных блоков.

При решении координирующей задачи будем считать, что имеем один диагональный блок. При решении же частных задач этот блок будет разделяться на соответствующие диагональные блоки.

Т.е. задача имеет вид:

n

c j x j max

j 1

AX B0

DX B*

x 0 –

сохраняем предположение, что допустимое множество задачи не пусто и ЦФ на нем ограничена сверху.

Шаг 1. "Построить" координирующую задачу. Конечно же, условно: мы не в состоянии этого сделать. Однако структуру этой задачи мы можем представить следующим образом:

Условность этой записи связана еще с одним обстоятельством. Дело в том, что в исходной формулировке ограничения задачи могут быть представлены и уравнениями-ограничениями и нестрогими неравенствами любого направления. Работа же по методу декомпозиции начинается с известного опорного решения координирующей задачи, имеющего, как правило, единичный базис. Для того чтобы получить такое решение, при сведении координирующей задачи к каноническому виду (с полным набором единичных векторов) в нее вводятся дополнительные и/или искусственные переменные. Это привносит некоторую специфику при реализации метода декомпозиции. При этом координирующую задачу схематически можно представить так (рис.1.22):

Область системы ограничений, по которой строится исходное опорное решение

Рис.1.22. Схематическое представление координирующей задачи

Переменные l , (l 1,?) будем называть основными перемен-

ными задачи. Все остальные – дополнительные и/или искусствен-

ные - вспомогательными.

Шаг 2. Найти исходное опорное решение координирующей задачи. Обычно для этого используется метод М-задачи: в выделенной области ограничений соответствующие векторы составляют полный единичный базис. Здесь важно учесть, что теперь методом деком-

152

позиции будет решаться координирующая задача, имеющая вид М- задачи! То есть исходное опорное решение, а также некоторые промежуточные решения будут содержать искусственные переменные в составе базисных13.

Чисто технически, будем использовать следующий прием. Допустим, имеется базис некоторого опорного решения:

B (Pi1 , Pi2 ,..., Pr0 1 ) ,

где r0+1 - количество ограничений-уравнений в координирующей задаче.

Как уже отмечалось, среди базисных векторов могут быть как основные, так и вспомогательные.

Опорному решению поставим в соответствие массив из

13 Для каждого опорного решения координирующей задачи необходимо будет запоминать не только значения базисных переменных, но и координаты вершин,

связанных с основными переменными , если эти переменные входят в состав базисных. Проблема в том, что номеров у этих номеров переменных просто нет и быть не может. Поэтому при обозначении этих переменных будем указывать номер итерации, на которой соответствующая переменная вошла в базис.

153

Здесь 0=(0,0,...,0) – n-мерный вектор. Итак, имеем опорное решение:

B – базисная матрица опорного решения; B-1 – обратная матрица;

Cбаз – вектор коэффициентов ЦФ при базисных переменных.

Q (q1,q2 ,...,qr0 1) . Заметим, что для исходного опорного решения

все элементы этого массива – нулевые, так как мы еще не знаем ни одной вершины, и базисная матрица состоит из одних вспомогательных векторов.

Полагаем l=1 (номер первой итерации). Шаг 3. Формируем частную задачу:

Z CбазR0 A C X min DX B*

x 0.

Решаем эту задачу (если D имеет блочно-диагональную структуру, эта задача разделяется на подзадачи). Собираем решение.

z* – оптимальное значение ЦФ;

xl – вектор координат экстремальной точки. Вычисляем оценку: min z* CбазV = l .

Если l 0 , переходим к шагу 6. В противном случае вы-

полняем следующий шаг.

Шаг 4. Находим вектор Pl , которому соответствует найденная отрицательная оценка:

Axl Pl 1 .

Шаг 5.

Ищем разложение этого вектора:

X(Pl)=B-1Pl .

По обычному для симплекс-метода правилу находим вектор, который нужно вывести из базиса:

154

Корректируем вектор cбаз . Если вводимый вектор – основной, принимаем cir cxl .

Корректируем массив Q (q1,q2 ,...,qr0 1) : r-му элементу qr

ставим в соответствие вектор координат найденной вершины xl или (0,0,...,0) в зависимости от того, является ли вводимая в состав базисных переменная основной или вспомогательной.

Формируем новую обратную матрицу Bнов1 (известно разложение вектора Pl по старому базису, известен ведущий элемент):

Находим новое разложение вектора P0 по базису:

X(P0)= Bнов1 P0 .

Положив l=l+1, переходим к шагу 3.

Шаг 6. Все оценки у основных векторов неотрицательны. Необходимо проверить оценки вспомогательных векторов.

Вычисление этих оценок проводим по обычным правилам:

j CбазB 1 Aj C j .

155

Если обнаруживается вспомогательный вектор с отрицательной оценкой (As), переходим к шагу 5. При этом в качестве Pl принимаем As. В противном случае выполняем следующий шаг.

Шаг 7. Получено оптимальное решение координирующей задачи: X (P0 ) (x10 , x20 ,..., xr0 1,0 ) – значения базисных переменных.

Известен массив Q (q1,q2 ,...,qr0 1 ) . Восстанавливается решение исходной задачи:

Координирующая задача состоит из двух ограничений. Используя метод M-задачи, построим исходную таблицу модифицированного сим- плекс-метода координирующей задачи (искусственные векторы назовем I1 и I2) . Учитывая особенности метода декомпозиции, дополним таблицу элементами массива Q и опустим элементы вектора симплексных множителей (за ненадобностью).

Используя выражение (4), определим коэффициенты целевой функции частной задачи:

156

Теперь можно построить саму частную задачу:

За счет диагональной структуры, частная задача поддается декомпозиции на две независимые подзадачи:

Решим первую подзадачу простым симплекс-методом (следует заметить, что в этом примере мы будем придерживаться нумерации векторов с единицы, в порядке следования соответствующих им переменных в задаче, т.е. номер вектора не будет совпадать с индексом переменной):

Теперь решим вторую задачу:

157

щей задачи, обладающий минимальной оценкой. Вычислим теперь её значение:

158

Вычисляем коэффициенты целевой функции частной задачи:

Учитывая, что в частной задаче ведется поиск минимума целевой функции, а также тот факт, что среди всех коэффициентов целевой функции присутствует M с положительным коэффициентом, частная задача

0

циент целевой функции c* 7 15 7 10 0 0 , оценка

00

нирующей задачи:

159

Частная задача поддается декомпозиции на две задачи. Первая задача

160