Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Допустим, на этом шаге решается некоторая задача ЛП , и эта задача имеет оптимальное целочисленное решение Xk, доставляющее целевой функции значение Zk . Тогда Xk считается достаточно близким к оптимальному решением, если имеет место:

Пример 2.18

Дана оптимальная симплекс-таблица некоторой задачи, которая решается методом ветвей и границ:

Очевидно, что ветвление следует провести по переменной x1.

Для того,чтобы определить, по какой ветви следует идти (какая из двух задач З1 и З2 должна решаться в первую очередь), найдем штрафы сверху и снизу.

Ввиду того, что штраф снизу меньше, чем сверху, в первую очередь следует решать задачу З2, которая получается из исходной задачи добавлением ограничения :

x1 [x10] = [5/2] = 2 .

301

Как технически осуществить решение задачи З2 ? Ведь исходной задачи нет. Есть только оптимальная симплекс-таблица, в которой записано решение исходной задачи.

Здесь используется следующий прием.

В первой строке симплекс-таблицы записано уравнение: x1 =

4

=x10 - x1j xj или x1 = 5/2 - (1/2)x3+(1/2)x4 . Учитывая, что дополни-

j 3

тельное ограничение имеет вид x1 2, его можно записать следующим образом: x1 = 5/2 - (1/2)x3+(1/2)x4 2 .

Отсюда: - (1/2)x3+(1/2)x4 -1/2 .

Придадим этому ограничению – нестрогому неравенству форму ограничения-уравнения путем введения в правую часть дополнительной (неотрицательной) переменной x5 :

(1/2)x3+(1/2)x4 + x5 = -1/2 .

Теперь можно воспользоваться оптимальной симплекстаблицей исходной задачи. Добавив в эту таблицу новую строку, соответствующую этому ограничению, и один столбец, можно получить исходную симплекс-таблицу для решения задачи З2:

Получено оптимальное решение задачи З2 . Заносим эту задачу в список.

Начинается решение задачи З1, которая получается из исходной задачи путем введения дополнительного ограничения x3 3.

Штраф сверху известен:

То есть самое большое значение ЦФ, которое может быть по-

лучено, это 23/2 - 5/2=9.

Но в списке уже есть задача с целочисленным решением и

302

лучшим (большим) оптимальным значением ЦФ (задача З2). Следовательно, задача З1 бесперспективна: ее не следует решать и заносить в список задач.

Теперь в списке есть единственная задача с целочисленным решением (задача З2). Следовательно, получено оптимальное решение исходной задачи:

Zопт= 11, Xопт=(2,3).

2.4.5. Метод ветвей и границ для задачи о коммивояжере

Пусть A1, A2,..., An, – множество городов.

C=(cij) – квадратная матрица "расстояний" между городами прядка n.

Пусть коммивояжер выезжает из города A1 и возвращается в этот город, побывав в каждом из остальных городов по одному разу.

Пусть далее – множество всех возможных маршрутов. Обозначим 1,i2 ,i3 ,...,ik (2 k n-1) – подмножество всех допустимых

маршрутов, каждый из которых характеризуется тем, что выезжая из города A1, коммивояжер последовательно посещает города

Ai2 , Ai3 ,..., Aik , а затем – оставшиеся города и возвращается в город

A1.

Конкретизируем принцип ветвления. Пусть коммивояжер находится в пункте A1 – в исходном пункте. Выбором первого города, в который нужно въехать из A1, множество всех возможных мар-

Пусть теперь после посещения городов Ai2 , Ai3 ,..., Aik (2 k n-

-1) принимается решение о выборе очередного города, в который нужно въехать, выехав из города Aik .

Фактически, этим решением множество допустимых маршрутов 1,i2 ,i3 ,...,ik разбивается на подмножества:

303

A1, Ai2 , Ai3 ,..., Ain 1 , Ain , A1 , где in {1,i2,i3,...,in-1}. n-2 города (разные)

Рис.2.27. Маршрут

Как видно, предложенная оценка весьма оптимистическая. Однако, по мере продвижения (по мере разбиения множества допустимых маршрутов), эта оценка уточняется – убывать, в принципе, не может.

Таким образом, конкретизирован еще один принцип метода ветвей и границ – принцип уточнения оценок.

Теперь о последнем принципе – о принципе оптимальности. Здесь вполне естественна следующая схема.

Имеется список подмножеств допустимых маршрутов. Каждое из этих подмножеств имеет свою оценку.

Пусть на очередном шаге работы алгоритма из списка выбирается подмножество с минимальной оценкой.

Если этому подмножеству соответствует полный маршрут (т.е. k=n-1) , то этот маршрут является оптимальным.

305

Пример 2.19

В задаче нужно объехать 5 городов, выехав из города 1. Стоимости переездов представлены в таблице.

Разбиваем полное множество всех маршрутов на 4 подмножест-

ва:

Находим оценку (нижнюю границу) каждого из этих подмножеств. Подмножество 12:

l 3

306

Подмножество 14:

l 3

Заносим подмножества (вместе с оценками) в список.

Из списка выбирается подмножество с минимальной оценкой (это

15 с оценкой 8).

Подмножество 15 разбивается на 3 подмножества:

Вычисляются нижние границы вновь образованных подмножеств. Подмножество 152 :

307

1.Приведите основные принципы метода ветвей и границ.

2.Что такое бесперспективное подмножество решений? В чем заключается критерий определения перспективности подмножества решений?

3.Дайте определение рекорда в методе Ленд и Дойг.

4.Какие преимущества даёт использование штрафов в вычислительной схеме метода Ленд и Дойг?

5.Напишите формулу вычисления оценки нижней границы в методе ветвей и границ для решения задачи коммивояжера.

6.Решите задачу ЛЦП методом Ленд и Дойг (графически):

309

x1 2x2 max x1 3x2 15

7x1 x2 35

x1, x2 0, целые.

7. В процессе решения задачи ЛЦП методом Ленд и Дойг была получена оптимальная симплекс-таблица частной задачи:

Проведите ветвление частной задачи с вычислением штрафов. 8. Решите задачу коммивояжера методом ветвей и границ.

9.Решите задачу коммивояжера методом ветвей и границ.

2.5. Приближенные методы решения дискретных задач

2.5.1. Обзор приближенных методов

На примере метода отсечения мы столкнулись с теми принципиальными трудностями, которые отличают задачи ЛП от задач ЛЦП.

В ряде случаев для получения решения задачи ЛЦП можно идти по пути округления оптимального решения задачи ЛП.

310