Жолобов Ввведение в Математическое 2008

Например, если речь идет о планировании выпуска достаточно крупных партий изделий. Здесь округление вполне правомерно, тем более, что исходная информация, как правило, задается неточно, с определенными "допусками".

Однако в очень большом количестве случаев объект управления не описывается моделью ЛП – требование целочисленности параметров управления является принципиальным.

Например, задача о коммивояжере. Нецелочисленное ее решение не имеет никакого смысла.

Первый вопрос, на который следует ответить, ставится так – решать ли задачу точно или приближенно. Соответственно, существующие методы можно условно разбить на две группы: точные и приближенные.

Внастоящее время интенсивно развиваются и используются на практике приближенные методы, которые дают возможность за приемлемое время получать "достаточно хорошее" решение. Это особенно важно в задачах оперативного планирования и управления.

Традиционные приближенные методы можно разделить на два класса:

1 приближенные методы, порожденные известными точными методами; 2 методы, с самого начала ориентированные на приближенное

решение задачи.

Относительно первой группы следует отметить, что любой точный метод решения ЛЦП задачи, монотонно увеличивающий (в задачах на максимум ЦФ) значение целевой функции, может быть прерван на произвольной итерации и может рассматриваться, как приближенный метод.

Вэтой связи, следует еще раз отметить, что на основе метода отсечения едва ли удастся построить удовлетворительный приближенный метод решения целочисленной задачи. Гораздо более перспективной основой для конструирования приближенных алгоритмов является рассмотренный в разделе 2.4 метод ветвей и границ.

Рассмотрим один из методов, с самого начала ориентированный на приближенное решение задачи ЛЦП.

311

2.5.2. Приближенный метод решения задачи целочисленного программирования

Дана задача ЛЦП:

n

cj xj max,

j 1

n

aij xj bi , (i 1, m),

j1

xj 0, xj целые( j 1, n).

Здесь все aij 0, cj 0, bi 0.

Метод [8] представляет собой пошаговый процесс движения к искомому решению из некоторой начальной точки, в качестве которой принимается начало координат X0=(0, 0, … ,0). Эта точка удовлетворяет всем ограничениям задачи.

На каждом шаге этого процесса увеличивается значение только одной переменной на единицу. Значения остальных переменных остаются неизменными. Процесс завершается в тот момент, когда ни одну из координат полученной точки (решения) нельзя увеличить: новое решение становится недопустимым.

bik bi (i 1,m) .

Шаг 1. Решаемая задача ЛЦПk имеет вид:

n

cj xj max,

j 1

n

aij xj bik , (i 1, m),

j1

xj 0, xj целые( j 1, n).

Определяем верхние границы переменных:

ние переменной xj , чтобы не нарушить ни одного ограничения задачи ЛЦПk.)

312

Шаг 2. d12 min{3 :1, 7 : 2} 3; P1 2 3 1 3 произвольно x1 d21 min{3 : 2, 3 :1} 32 ; P22 32 2 3

Xopt = X4 = (2,2) Zopt =2+4=6

В примере 2.20 полученное решение совпадает с оптимальным решением задачи. Однако можно привести простой пример, когда алгоритм не дает оптимального решения.

314

Пример 2.21

x2

Zopt=30+21=51

1

c

x1 1 2

2.5.3. Метод локальной оптимизации

Как было показано в п. 2.1.4, количество комбинаций в экстремальных комбинаторных задачах растет экспоненциально при росте их размерности, что при больших размерностях делает весьма проблематичным использование точных методов, таких, как метод ветвей и границ. Вместе с тем, несмотря на то, что количество допустимых комбинаций в экстремальных задачах комбинаторного типа очень большое, оно все-таки конечное. Именно это обстоятельство используется в комбинаторных методах, основная идея которых – замена полного перебора всех допустимых вариантов (комбинаций) частичным перебором. Таким методом, в частности, является метод локальной оптимизации, в котором осуществляется последовательный переход от одной комбинации к другой, доставляющей ЦФ лучшее значение.

Итак, общая постановка задачи заключается в следующем. Дано множество комбинаций G={ xi }, i=1,2,…,N. Определена функция f(xi) – целевая функция.

Требуется найти комбинацию, xs G такую, что f (xs ) max{ri f (xi ) | xi G}.

Как отмечалось, метод локальной оптимизации последовательно, начиная с некоторой начальной комбинации x0 G , пере-

315

ходит к комбинациям x1, x2 , и т.д. При этом f (x1 ) f (x2 ) ... .

Этот процесс продолжается до тех пор, пока удается найти комбинацию, доставляющую ЦФ значение большее, чем на последней найденной комбинации.

Принципиально важным понятием для организации этого процесса является понятие окрестности комбинации.

Для каждой комбинации xi G определим некоторое под-

множество комбинаций M(xi) G, причем xi M(xi).

Подмножество M(xi) назовем окрестностью комбинации xi .

Комбинацию xj M(xi)\ xi назовем соседней с xi .

Иногда (для наглядности) окрестности комбинаций задают в виде графа соседства, вершинам которого соответствуют комбинации. Дуга, направленная из вершины xi в вершину xj , указывает на то, что комбинация xj M(xi)\ xi является соседней с xi (рис. 2.28).

xi xj

Рис.2.28. Соседние вершины

Комбинацию xj назовем локально-оптимальной, если:

f(xi ) max{ f (x j ) | x j M (xi )} .

xj

Алгоритм

Шаг 0. Полагаем k=0. Выбираем в качестве начальной некоторую комбинацию из G. Для этой комбинации принимаем обозначение

xk .

Шаг 1. Строим окрестность комбинации xk M( xk ).

Шаг 2. Если max{ f (x j ) | x j M (xk )} f (xk ) , то конец: xk –

x j

локально-оптимальное решение. В противном случае – следующий шаг.

Шаг 3. Если max{ f (xj ) | xj M (xk )} f (x ) f (xk ) , то k=k+1;

x j

xk x . Переходим к шагу 1.

316

Вполне очевидно, что за конечное число шагов будет найдена локально-оптимальная комбинация, однако эта комбинация может и не обеспечить глобального максимума ЦФ. Т.е., в принципе, процесс нужно продолжить. Здесь возможны различные варианты:

в качестве начальной взять другую комбинацию и повторить работу по алгоритму;

переопределить окрестности комбинаций (изменить граф соседства).

Ясно, что качество приближенного метода, каким является метод локальной оптимизации, существенно зависит от того, как определена окрестность. Так, если окрестность чрезмерно велика, перебор всех комбинаций такой окрестности может оказаться затруднительным. Если же окрестность слишком мала, процесс оказывается малоэффективным.

Вопрос определения окрестности существенно зависит от специфики задачи, от ее специальных свойств.

Так для известной задачи о коммивояжере разработано много алгоритмов, которые различаются определением окрестности. Рассмотрим один из таких алгоритмов.

Условия задачи приведены в таблице [8,9]. Предполагается, что исходным городом является город 1 – из него нужно выехать и в него же и вернуться, побывав в каждом из остальных городов только один раз.

Таким образом, любая перестановка чисел 2, 3, 4, 5 однозначно определяет некоторый маршрут.

Для определения понятия окрестности введем понятие соседних маршрутов (перестановок).

Две перестановки будем называть соседними, если одну из них можно получить перестановкой двух соседних элементов. При этом первый и последний элементы будем также считать соседними.

317

Пример 2.22

Возьмем, в качестве исходной комбинации комбинацию x0 =

=(2,3,4,5). Этой комбинации соответствует маршрут: 1 2 3 4 5 1. Стоимость маршрута:

f ( x0 ) 10 + 13 + 8 + 13 + 6 = 50

2 3 4 5 : f 10 13 8 13 6 50

3 4 2 5 : f 6 8 3 2 6 25

M (x1 ) 3 2 5 4 : f 6 19 2 1 2 30

5 2 4 3 : f 8 1 1 4 1 15

x 2 (5, 2, 4, 3); f x 2 15

2 5 4 3 : f 10 2 1 4 1 18

5 4 2 3 : f 8 1 3 13 1 26

M (x2 ) 5 2 3 4 : f 8 1 13 8 2 32

3 2 4 5 : 6 19 1 13 6 45

f

318

Лучшей оказалась комбинация x2 =(5,2,4,3), образующая окрест-

ность. fopt = 15.

Разработано очень большое количество алгоритмов решения задачи о коммивояжере, основанных на различных понятиях окрестности.

Вчастности, представляют определенный интерес алгоритмы,

вкоторых при переходе от одной комбинации к другой понятие окрестности переопределяется.

Примером подобного алгоритма может служить следующий.

Случайным образом генерируется некоторая комбинация (i1,i2 ,...,in ) . Окрестность этой комбинации образуется перестанов-

ками тройки i1,i2 ,i3 . В построенной таким образом окрестности выбирается лучшая комбинация. Ее окрестность образуется перестановками тройки i2 ,i3 ,i4 . Для следующей комбинации – i3 ,i4 ,i5 и т.д.

Контрольные вопросы и задачи к разделу 2.5

1.Сравните два приближенных алгоритма решения задачи линейного целочисленного программирования: алгоритм, основанный на методе ветвей и границ, и алгоритм пошагового движения в сторону улучшения целевой функции.

2.Какой вид должна иметь задача, чтобы её можно было отнести к группе комбинаторных задач экстремального типа?

3.Можно ли любую задачу экстремального типа приближенно решить с помощью метода ветвей и границ?

4.Дайте определение окрестности комбинации в методе локальной оптимизации.

5.Почему метод локальной оптимизации является приближенным методом решения оптимизационных задач и не гарантирует получения абсолютного оптимального значения на допустимом множестве?

6.Решите задачу ЛЦП приближенным методом :

2x1 x2 max

10x1 6x2 23

14x1 x2 21 x1 , x2 0, целые.

319

7. Решите задачу ЛЦП приближенным методом и графически. Сравните полученные результаты:

70x1 41x2 max

7x1 4x2 11 x1 1

x2 5

x1 , x2 0, целые.

8. Решите задачу коммивояжера методом локальной оптимизации:

9. Решите задачу коммивояжера методом локальной оптимизации:

2.6. Булево программирование

Основная задача ЛЦП(б) имеет форму [8,9]:

Любую задачу ЛЦП(б) можно свести к форме основной задачи, используя простейшие преобразования.

Равенство в ограничениях заменяется двумя нестрогими неравенствами.

Неравенство смысла " " умножением на "-1" левой и правой части преобразуется в нестрогое неравенство смысла " ".

320