Жолобов Ввведение в Математическое 2008

и известно ее допустимое решение x (x1 , x2 ,..., xn ) .

Пусть далее известно допустимое решение y ( y1 , y2 ,..., ym )

тимльными решениями соответственно прямой и двойственной задачи в том и только том случае, если имеет место

Оставим эту теорему без доказательства. Общая схема доказательства полностью аналогична приведенной в теореме 1.7. Сформулированные в этой теореме условия (1.69) и (1.71) носят название условий дополняющей нежесткости.

Условия дополняющей нежесткости имеют четкую экономическую интерпретацияю, которая будет рассмотрена ниже.

1.3.3. Получение решения двойственной задачи по результатам решения прямой задачи

Значение первой теоремы двойственности состоит, прежде всего, в том, что решая одну из задач, можно получить решение другой задачи или убедиться в ее неразрешимости. Это обстоятельство иногда позволяет существенно облегчить решение задачи, так как предоставляется возможность выбора между прямой и двойственной задачей в пользу наименее трудоемкой.

При доказательстве первой теоремы двойственности было выведено важное соотношение:

92

где B Ai1 ,Ai2 ,...,Aim – базисная матрица оптимального решения

прямой задачи;

сбаз= (ci1 ,ci2 ,...,cim ) – вектор коэффициентов целевой функции

задачи.

Как на практике используется это соотношение? Прежде всего, необходимо иметь обратную матрицу, вопрос вычисления которой затрагивался ранее.

11 ... 1j ... 1m

Пусть B 1 21 ... 2j ... 2m –

m1 ... mj ... mm

матрица, обратная к базисной матрице оптимального решения прямой задачи.

Рассмотрим единичную матрицу

0

где E j 1 – единичный вектор с единицей в j-й позиции

0

(j=1,2,...,m).

Примем обозначение

93

Таким образом, коэффициенты разложения единичного вектора с единицей в j-й позиции совпадают с j-м столбцом обратной матрицы.

Ввиду того, что решение задачи линейного программирования симплекс-методом всегда начинается с единичной базисной матрицы, такая матрица имеется в исходной симплекс-таблице. Следовательно, в последней симплекс-таблице есть обратная матрица, и оптимальное решение двойственной задачи можно найти по формуле (1.72).

Пример 1.19

Пусть дана задача линейного программирования:

x3 2

x1 , x2 не ограничены в знаке.

94

Для того, чтобы решить эту задачу симплекс-методом, необходимо, во-первых, придать ей каноническую форму:

после чего (ввиду отсутствия в системе ограничений полного набора единичных векторов) применить метод искусственного базиса.

Для этого в систему ограничений нужно ввести пять искусственных переменных – по одной на каждое ограничение-уравнение. Полученная задача будет иметь размерность 5 16, где 5 – это количество ограни-

чений, а 16 – количество переменных.

Трудоемкость решения задачи можно существенно уменьшить, если воспользоваться результатами этого раздела. Действительно, построим задачу, двойственную к исходной.

y j 0, j 1,5.

Полученная задача имеет размерность 3 5, и ее система ограничений содержит полный набор единичных векторов A3, A4, A5, которые

можно принять в качестве базиса очевидного опорного решения y 0, 0,8, 2, 6 .

Решение двойственной задачи симплекс-методом приведено в двух таблицах:

95

Базисная матрица оптимального решения и обратная к ней матрица определяются из первой и второй таблицы, соответственно:

откуда вычисляется вектор переменных оптимального решения исходной задачи:

Оптимальное значение целевой функции исходной задачи совпадает (согласно утверждению леммы 1.4) со значением целевой функции двойственной задачи, оно берется из второй таблицы:

Zопт=126.

Для нахождения оптимального решения двойственной задачи можно избежать перемножения вектора cбаз на обратную матрицу

B 1 .

Действительно, j c базB 1 Aj c j , т.е., если B 1 – матрица,

обратная базисной матрице оптимального решения прямой задачи, то согласно (1.72):

j y* Aj cj , где y* y1* ,y2* ,...,ym* .

96

Допустим Aj – единичный вектор с единицей в j-й позиции.

Тогда:

0

j y1* , y2* ,..., ym* 1 cj ,

0

откуда:

Таким образом, имеем следующее правило:

Для того чтобы получить оптимальное значение j-й двойственной переменной (j=1,2,...,m), достаточно взять оптимальную симплекс-таблицу и к оценке исходного единичного вектора с единицей в j-й позиции прибавить коэффициент, с которым переменная при этом единичном векторе входит в целевую функцию.

Действительно (см. оптимальную симплекс-таблицу примера

1.19),

Итак, первый и важнейший результат теории двойственности – это возможность резкого сокращения трудоемкости решения задач ЛП.

Это можно проиллюстрировать следующим образом

(рис.1.12).

97

марные затраты каждого фактора не могут превышать его запас, имеющийся в наличии к началу производства. При этом коэффициенты aij интерпретируются следующим образом:

Если aij >0, то в процессе производства единицы j-го вида продукции расходуется aij единиц i-го производственного фактора;

Если aij <0, то в процессе производства единицы j-го вида продук-

ции вырабатывается aij единиц i-го производственного фактора;

Если aij =0, то в процессе производства j-го вида продукции i-й производственный фактор не участвует.

Знак коэффициентов правой части системы ограничений может быть интерпретирован следующим образом:

Если ai >0, то к началу производства предприятие обладает запасом i-го производственного фактора в обеме ai единиц;

Если ai <0, то к началу производства i-й фактор не только отсут-

ствует, но и должен быть выработан в количестве, не меньшем ai в процессе производства;

Если ai =0, то i-й фактор к началу производства отсутствует, и без выработки затрачен быть не может (такой фактор можно интерпретировать как полуфабрикат).

Наконец, коэффициенты целевой функции имеют следующую интерпретацию:

Если cj >0, то производство единицы j-го вида продукции приносит доход в объеме cj рублей;

Если cj <0, то производство единицы j-го вида продукции прино-

сит убыток в объеме cj рублей;

Если cj =0, то производство j-го вида продукции не приносит ни прибыли, ни убытка.

Рассмотрим теперь двойственную задачу. Согласно лемме 1.3, значение целевой функции прямой задачи на любом допустимом её решении не может превышать значения целевой функции любого допустимого решения двойственной задачи:

99

Согласно лемме 1.4, указанное неравенство превращается в строгое равенство для оптимальных решений прямой и двойственных задач. Поскольку целевая функция прямой задачи в нашей интерпретации представляет собой суммарный доход от выпуска продукции, а размерность целевой функции двойственной задачи должна совпадать с размерностью целевой функции прямой задачи, размерность отдельной переменной двойственной задачи равна

yi рубед, т.е. i-я переменная двойственной задачи представля-

ет собой некую денежную оценку i-го производственного фактора. Очевидно, что эта оценка не имеет никакого отношения к рыночной цене фактора, поскольку подобных данных в условиях задачи нет. Скорее, речь идет о некоторой «внутренней» оценке производственного фактора, определяемой в процессе решения задачи. В таком случае, целевая функция двойственной задачи представляет собой суммарную оценку запасов производственных факторов, имеющихся к началу производства (здесь для упрощения делается предположение, что все ai >0).

С коммерческой точки зрения, требование минимизации оценки собственных запасов может показаться несколько некорректным. Здесь следует подчеркнуть тот факт, что сама по себе поставленная задача не решает вопроса оптимального определения торговой наценки на себестоимость выпускаемой продукции, а определяет оптимальный план выпуска продукции, исходя из технологических особенностей. Само же производство представляет собой процесс преобразования факторов, имеющихся в наличии, в готовую продукцию, и экономический смысл леммы 1.3 и леммы 1.4 заключается в том, что при неоптимальном плане преобразования денежная оценка факторов превысит конечную стоимость произведенной продукции (что есть неоптимально с финансовой точки зрения). Именно в свете такой интерпретации и следует понимать направленность целевой функции двойственной задачи: в процессе оптимального производства не появляется какая-то посторонняя денежная масса, а лишь факторы преобразуются в продукцию таким образом, что их денежное выражение совпадает.

Рассмотрим ограничения двойственной задачи. Учитывая интерпретацию переменных двойственной задачи, левая часть её j-го ограничения представляет собой суммарные затраты на производ-

100