Жданов Основы физических процессов 2007

Как уже отмечалось, коэффициенты диффузии электронов и ионов (1.89) в слабоионизованной плазме сильно различаются. Электроны, имеющие больший коэффициент диффузии, должны, казалось бы, быстрее уходить из мест, где плотность плазмы больше. Однако уход электронов приведет к появлению в плазме пространственного заряда и связанного с ним электрического поля, тормозящего их уход и ускоряющего уход ионов. В результате диффузия плазмы в целом будет происходить быстрее ионной диффузии, возникает так называемая амбиполярная диффузия.

Определим коэффициент амбиполярной диффузии, учитывая, что в установившемся движении диффузионные потоки электронов и ионов в соответствии с выражениями (1.87), (1.88) будут определяться как обычной диффузией, так и подвижностью заряженных частиц в возникающем электрическом поле.

Так как плазма в целом квазинейтральна, то, полагая Z =1,

уравнений (1.87) и (1.88), обнаружим, что плотность потока частиц плазмы пропорциональна градиенту ее концентрации:

Коэффициент пропорциональности между плотностью потока частиц и градиентом концентрации и есть коэффициент амбиполярной диффузии:

Очевидно, имеет место неравенство Di<Da<<De, как и должно быть, согласно логике наших рассуждений. Амбиполярное электрическое поле усиливает перенос ионной компоненты плазмы и,

71

тем самым, эффективно увеличивает коэффициент диффузии плазмы в целом по сравнению с коэффициентом диффузии ионов; для - более подвижного компонента плазмы - электронов - ситуа-

ция оказывается обратной. Для изотермической плазмы (Te = Ti )

получаем, что коэффициент амбиполярной диффузии вдвое превышает коэффициент диффузии ионов.

Проводимость (электропроводность)

Так как плазма содержит свободные заряды, то при наложении внешнего электрического поля в плазме возникает перенос заряда. Это явление называют проводимостью (электропроводно-

стьюr ). По определению плотность тока в плазме

j = ∑nk ek urk

где σ -коэффициент электропроводности (проводимость) плазмы

Этот же результат можно получить непосредственно из выражения

Используя выражение для τei (1.58), мы обнаруживаем, что

72

Расчеты на основе строгой кинетической теории дают для коэффициента электропроводности при Z =1 следующее выражение

[2,3]:

ну – удельное сопротивление ρˆ ≡1/σˆ , то в удобном для расчета виде ее можно записать как

k

где αk относительная концентрация ионов с зарядом k. Интересно отметить, что при температуре T~1кэВ для чисто водородной плазмы (Zэфф=1) выражение (1.78) дает удельное сопротивление плазмы на уровне сопротивления меди при комнатной температуре

( ρˆCu 200 C = 1,7 10-8 Ом м).

В случае слабоионизованной плазмы для определения плотности тока при Z =1 (ne = ni )можно использовать соотношение

j = −e(Je − Ji )

Учитывая, что μe >> μi и используя соотношение σ = ne eμe , находим

n e2

σ = eν . (1.105)

me ea

Если переписать (1.100) в виде

73

ρˆ = neme2 νei ,

то легко представить, как меняется сопротивление плазмы, если наряду с заряженными частицами электроны сталкиваются и с нейтральными, тогда

и, сопротивление плазмы растет подобно тому, как примеси повышают сопротивление чистого металла.

Следует учесть и еще одно чрезвычайно важное обстоятельство. А именно, напомним что с увеличением энергии электрона сечение его кулоновского рассеяния на ионе быстро, обратно пропорционально квадрату энергии, убывает. С увеличением энергии электрона быстро увеличивается время его движения между соударениями (~v3), следовательно, электрон между соударениями успевает набрать во внешнем поле импульс, превышающий импульс, отвечающий его тепловому движению. Критерий возникновения такой ситуации можно сформулировать следующим образом:

eEτ > me veT .

При выполнении этого условия часть электронов плазмы попадает, как говорят, в режим «падающего трения», когда действующая на них эффективная сила трения уменьшается с ростом их энергии. В результате передача энергии ионам при столкновениях не может ограничить набор электронами энергии во внешнем поле, так что часть электронов может перейти в режим непрерывного ускорения. Это явление наблюдается на практике, и такие электроны получили название "просвистных" или "убегающих" электронов. Если

считать, что τ =τei , то можно определить некоторое предельное значение поля Eкр , так называемое поле Драйсера, выше которого

электроны начнут "уходить в просвист", т.е. будут непрерывно ускоряться:

74

Практически заметная часть электронов плазмы начинает «уходить в просвист» уже при E > 0.1Eкр .

§ 11. Диэлектрическая проницаемость плазмы

Поместим плазму во внешнее переменное электрическое поле и попытаемся проследить изменение ее свойств, постепенно увеличивая его частоту. Статическое внешнее поле, как мы уже знаем, проникает в плазму на толщину масштаба дебаевского слоя. Это вытекает из уравнения экранировки (см. §2), которое, например, для одномерного случая записывается в виде:

Здесь rDe – электронный дебаевский радиус. Удобно переписать это уравнение, используя представление Фурье ϕ ϕκexp(ikx), где k – волновое число. Результат для амплитуды гармоники ϕκ, как легко проверить, будет следующим:

Сравним это уравнение с уравнением для индукции электрического поля

dDdx = 0 .

Для Фурье-гармоники его можно записать в следующем виде: k 2 ε k ϕ k = 0 ,

где εk – диэлектрическая проницаемость плазмы, описывающая отклик плазмы на статическое воздействие. Как видим из сравнения, диэлектрическая проницаемость оказывается равной

Отклик плазмы на статическое воздействие оказывается вполне эквивалентен эффекту поляризации обычного диэлектрика, помещенного во внешнее поле, хотя, конечно, механизм поляризации иной: если дебаевский радиус мал по сравнению с характерной

75

длиной волны, то диэлектрическая проницаемость оказывается очень большой и поле в плазму, фактически, не проникает.

При низких, но ненулевых, частотах качественно картина не изменится: заряды будут экранировать внешнее поле в слоях масштаба дебаевских. Плазма будет вести себя как проводник – внешнее поле в нее не будет проникать. Но если частота поля велика и превышает плазменную частоту, то картина качественно изменится: электроны из-за инерции не будут успевать подстраиваться под колебания поля, они будут осциллировать около некоторого среднего положения. В результате поле сможет проникнуть в плазму. По этой причине, в противоположность случаю низких частот, проникающее в плазму поле можно считать однородным. Чтобы найти диэлектрическую проницаемость плазмы в этом пределе вы-

Смещение x электрона из положения равновесия под действием такого поля можно определить из уравнения движения

Подсчитаем теперь индукцию поля в плазме

где Р = пеx – дипольный момент единицы объема плазмы, обусловленный смещением электронов на расстояние x. Произведя подстановку, получим величину диэлектрической проницаемости:

описывающей отклик плазмы на высокочастотное однородное поле.

Полученную формулу для диэлектрической проницаемости можно использовать и при рассмотрении воздействия на плазму электромагнитной волны, закон дисперсии которой определяет уравнение

76

где N=kc/ω. Из (1.82) очевидно, что высокочастотные волны с частотой ω > ωp могут проникать в плазму и распространяться в ней, так как для них будет N2>0. При ω < ωp диэлектрическая проницаемость отрицательна, так что для электромагнитной волны с такой частотой коэффициент преломления оказывается чисто мнимым, т.е. поперечная волна не может распространяться в плазме. Однако в этих условиях возможно распространение в плазме продольных – так называемых ленгмюровских волн.

Как видим, в статическом пределе и в высокочастотном пределе диэлектрическая проницаемость плазмы описывается различными формулами. В действительности, обе они являются предельными случаями более общей формулы

ω2

εk ,ω =1− ω2 −k 2pT / me ,

объединяющей оба предельных случая.

77

действующие на частицу поля являются функциями координат и времени и, кроме того, что они сами связаны уравнениями Максвелла. Поэтому рассмотрим наиболее простые, часто встречающиеся случаи. Так, действием внешних, неэлектрических сил, обычно можно пренебречь, а электрическое поле часто отсутствует. Это соответствует движению заряженной частицы в постоянном во времени магнитном поле. Рассмотрим сначала движение в однородном поле, т.е. не меняющемся в пространстве.

§ 13. Движение в постоянном и однородном магнитном поле

В случае, если других сил, кроме силы Лоренца нет, то

Умножая скалярно правую и левую части уравнения (2.2) на скорость, учитывая, что сила Лоренца перпендикулярна к обоим векторам, входящим в векторное произведение (2.2), получим соотношение

rr ≡ d mv2 = mvv& dt 2 0 .

Следовательно, кинетическая энергия частицы сохраняется:

Это означает, что постоянное во времени магнитное поле не производит работы над частицей. Следовательно, модуль скорости частицы, заданный начальными условиями, сохраняет постоянное значение.

к магнитному полю, получим для продольного ускорения:

mvr&|| = e (vrB) (Br× Br) ≡ 0 , c B2

т.е. постоянное и однородное магнитное поле не меняет продольную компоненту скорости, следовательно,

79

и, как мы видим, поперечная компонента меняется только по направлению. Следовательно, частица равномерно движется вдоль силовой линии поля, вращаясь при этом вокруг силовой линии по окружности с постоянной угловой скоростью. Определим радиус этой окружности ρ и угловую скорость вращения ω.

Так как vr& является центростремительным ускорением, то, вспомнив определение величины модуля центростремительного ускорения − отношение квадрата скорости вращения к радиусу окружности, или произведение квадрата угловой скорости на радиус окружности, − можем записать

Откуда и получаем требуемые нам величины

Радиус ρларм называют ларморовским радиусом частицы, а уг-

ловую скорость ωларм - ларморовской или циклотронной частотой

вращения частицы (для этих величин употребительны и другие обозначения, например, с индексом “B”: ρВ и ωВ, подчеркивающие в явном виде, что они относятся к случаю движения частицы в магнитном поле). Из соотношений (2.6) и (2.7) видно, что циклотронная частота зависит от массы и заряда частицы, напряженности магнитного поля, но не зависит от величины скорости вращающейся в поле частицы, а ларморовский радиус зависит от составляющей скорости, перпендикулярной к магнитному полю, причем с увеличением ее он возрастает прямо пропорционально. Следует отметить, что вектор угловой скорости положительно заряженной частицы антипараллелен, а отрицательно заряженной частицы (например, электрона) - параллелен магнитному полю. Так как движе-

80