Жданов Основы физических процессов 2007

Соответственно, говорят о двух независимых поляризациях волны. В плазме, независимо от наличия или отсутствия внешнего магнитного поля, возможно распространение и продольных и поперечных волн, причем при наличии внешнего магнитного поля возможно распространение и продольных и поперечных волн как вдоль, так и поперек этого магнитного поля. В связи с этим важно не путать характер волны − продольная она или поперечная − и характер ее распространения: вдоль или поперек магнитного поля,

вкоторое помещена плазма.

Свозникновением и раскачкой колебаний и волн в плазме непосредственно связаны многие неустойчивости плазмы, которые будут обсуждаться в заключительном разделе этой главы.

§27. Дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн малой амплитуды

Напомним кратко основные сведения из физики волновых процессов. Основным соотношением, определяющим условия распространения волны в данной среде, является закон дисперсии, устанавливающий связь частоты колебаний и волнового вектора:

Закон дисперсии позволяет определить фазовую скорость волны

Групповая скорость волны определяет перенос волновой энергии и поэтому никогда не может превышать скорость света в вакууме

vгр < c .

Фазовая скорость − скорость перемещения в волне точек с постоянной фазой − не связана с переносом волной энергии, а потому не ограничена величиной скорости света. В принципе, она может быть любой по величине, в том числе и больше скорости

151

света, если это позволяет закон дисперсии. Дисперсионные свойства данной среды, если ограничиться областью волн малой амплитуды, можно установить, рассматривая отклик среды на малое воздействие. Для волн конечной амплитуды ситуация сложнее: такие волны изменяют свойства среды, в которой распространяются. Упрощенно это можно трактовать как появление зависимости частоты колебаний от амплитуды волны а:

Такова ситуация для слабо нелинейных волн, например, ленгмюровских солитонов [17].

Ограничимся здесь рассмотрением волн малой амплитуды.

Универсальный подход, справедливый для волн любой природы,

~r ~r

заключается в следующем. Электромагнитное поле волны E,B

электрического заряда и плотность тока. Эти величины не

выражающим собой закон сохранения заряда. В этом нетрудно убедиться, применив операцию дивергенции ко второму уравнению системы (4.5). Поскольку коэффициенты уравнений (4.5), (4.6) явно не содержат координат и времени, можно искать

решение в виде гармонической волны ~ exp( −iωt + ikrr). Так как

152

производные по времени и координатам от гармонической волны такого вида сводятся к алгебраическому домножению на ( −iω ) и

( ikr) соответственно,

∂∂t exp( −iωt + ikrrr) = ( −iω )exp( −iωt + ikrrr) , ∂∂rr exp( −iωt + ikrrr) = ( ikr)exp( −iωt + ikrrr),

то уравнения (4.5) при такой подстановке превращаются в алгебраические:

Первое из этих соотношений выражает магнитное поле волны через электрическое

~r = c r × ~r B ω k E ,

и при таком определении, очевидно, последнее из соотношений (4.7) становится тождеством. Таким образом, соотношения (4.7) сводятся к следующим:

До сих пор мы не высказывали никаких предположений о связи наведенной волной в среде плотности тока (или заряда) и ее электромагнитного поля. Как это принято, для волн малой амплитуды эта связь предполагается линейной:

153

а набор соответствующих коэффициентов пропорциональности составляет тензор проводимости σ$ , зависящий от свойств рассматриваемой среды, а также, вообще говоря, от частоты волны и волнового вектора. По определению этот тензор связан с

тензором диэлектрической проницаемости ε$(ω,k ) среды

где первое слагаемое − единичная диагональная матрица. Поскольку, в силу (4.6), наведенная плотность заряда должна быть

то второе из соотношений (4.8) фактически является следствием первого. По этой причине, с учетом определения тензора диэлектрической проницаемости, после простых преобразований приходим к однородной алгебраической задаче:

представляет собой квадрат показателя преломления волны. Однородная задача (4.11), как известно, имеет ненулевое решение не всегда, а только при выполнении дополнительного условия. А именно, детерминант входящей в (4.11) матрицы должен быть равен нулю:

Это условие и представляет собой дисперсионное уравнение, определяющее закон дисперсии (4.1) волн, способных существовать в данной среде. Если дисперсионное уравнение

154

имеет несколько решений, то о них говорят как о ветвях или о

модах собственных колебаний.

Если среда, в которой рассматривается распространение волны, изотропна, так что единственным выделенным направлением является направление распространения самой волны, то среди всех компонент тензора диэлектрической проницаемости отличны от нуля лишь две компоненты − продольная εl и поперечная εtr по

отношению к направлению распространения волны (здесь индексы l и tr – начальные буквы английских терминов longitudinal – продольный и transversal - поперечный). В этом случае этот тензор оказывается следующим:

а дисперсионное уравнение, как легко проверить, приводится к виду:

Таким образом, как мы видим, существуют две возможности выполнить это условие:

Первая из них отвечает продольным волнам, а вторая − поперечным. Полезно отметить, что если пространственная дисперсия (т.е. зависимость компонент тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора) несущественна, то продольная и поперечная компоненты совпадают

εl = εtr ≡ ε ,

и можно говорить лишь об одной величине ε - диэлектрической проницаемости среды. Она и определяет дисперсионные уравнения для продольных

155

Например, в вакууме, когда, очевидно, проводимость равна нулю, получаем из (4.10)

εвак = 1 ,

поэтому, согласно (4.17), продольные волны невозможны, а закон дисперсии поперечных волн, как это следует из (4.18) и (4.12), оказывается следующим

ω = kc .

Напомним, что поперечные волны могут иметь два независимых направления поляризации.

Подчеркнем в заключение, что если плазма анизотропна, например, помещена в магнитное поле, или в ней распространяется пучок частиц, так что существует явно выделенное направление, то представление (4.14) для тензора диэлектрической проницаемости не справедливо, но закон дисперсии для продольных (или, точнее, «почти» продольных, подробнее см. [20]) волн по-прежнему определяется уравнением (4.15), если под «продольной» диэлектрической проницаемостью понимать величину

εl ≡ kki k2 j εij .

§28. Метод малых колебаний. Диэлектрическая проницаемость незамагниченной плазмы

Как следует из изложенного в предыдущем параграфе, все свойства волн, способных распространяться в данной среде, в том числе и в плазме, определяются ее диэлектрической проницаемостью. Поэтому наша ближайшая цель − установить и исследовать диэлектрические свойства плазмы. Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных плазменных волн напомним два результата, которые мы уже обсуждали ранее. Во-первых, диэлектрическая проницаемость холодной плазмы должна

156

где ω − частота колебаний, а ωp − ленгмюровская (или

плазменная) частота. Возникает вопрос, какую плазму можно назвать холодной? Для ответа на этот вопрос, очевидно, надо сопоставить характерные скорости движения частиц плазмы и фазовые скорости плазменных волн. Для равновесной плазмы характерная скорость движения частиц (в отсутствие волны!) − это тепловая скорость (большая для электронов плазмы), поэтому, применительно к условиям распространения волн, плазму можно считать холодной при выполнении условия:

Поскольку это условие ограничивает частоту волн снизу, то оно отвечает высокочастотному пределу, а, следовательно, формула (4.19) определяет диэлектрическую проницаемость плазмы в

высокочастотном пределе. Во-вторых, напомним, что при обсуждении дебаевской длины экранирования (см. §3 и §11) было получено уравнение экранировки

рассматривается как статический процесс, поэтому уравнение (4.21) отражает диэлектрические свойства плазмы в статическом пределе. Полагая в (4.21)

определяющему диэлектрическую проницаемость плазмы в статическом пределе, справедливом при выполнении условия, обратного по отношению к (4.19):

157

Подчеркнем, что в обоих предельных случаях структура ε оказывается следующей:

ε = 1 +δεe +δεi .

Первое слагаемое здесь − единица − вклад вакуума, а остальные два отвечают вкладу электронов и ионов соответственно. Вклад различных компонент оказывается аддитивным вследствие отсутствия взаимодействия между ними.

Чтобы составить более полную картину диэлектрических свойств незамагниченной плазмы, воспользуемся методом малых колебаний. Для упрощения, и здесь следует сразу оговориться, будем пренебрегать эффектами резонансных с волной частиц. Резонансные эффекты играют принципиальную роль во многих плазменных явлениях - например, в механизме бесстолкновительного затухания Ландау, но их учет требует усложнения описания плазмы, поэтому пока их не будем затрагивать.

Суть метода малых колебаний заключается в следующем. При воздействии на первоначально невозмущенную плазму волны малой амплитуды логично ожидать появления малого отклика, поэтому можно воспользоваться разложением величины этого отклика по амплитуде волны, пренебрегая нелинейными эффектами. Кроме того, без учета резонансных эффектов, движение частиц плазмы, индуцируемое волной, можно рассматривать с помощью гидродинамических уравнений, записав для каждого сорта частиц уравнения движения и уравнения сохранения вещества.

Рассмотрим простейший пример: идеальную холодную плазму без пучков. Это значит, что мы пренебрежем тепловой скоростью частиц по сравнению со скоростью, приобретаемой ими в самосогласованых полях. Этот простой пример является удобной отправной точкой для более сложных ситуаций. В невозмущенном равновесном состоянии полагаем, что плотность плазмы однородная noe=Znoi=no=const, нет внешнего электрического поля Eo=0 и потоков частиц vroe = vroi = 0 . Под воздействием поля волны

158

частицы плазмы придут в движение, получив ускорение, определяемое уравнениями движения:

При записи (4.24) учли, что поле имеет малую амплитуду, поэтому все нелинейные слагаемые опущены. По этой же причине в правых частях фигурирует лишь действующая на частицы сила, обусловленная электрическим полем волны. Действуя по рецепту, предложенному в предыдущем параграфе, считаем поле волны и скорости гармоническими,

Далее, с помощью (4.24) вычисляем скорости электронов и ионов, а затем и плотность тока, индуцируемого волной. Результат оказывается следующим:

Коэффициент пропорциональности между плотностью тока и напряженностью поля волны дает величину проводимости плазмы, которая в рассматриваемом пределе оказывается равной

Вклад в проводимость дают обе компоненты плазмы, но, естественно, не в равной мере. Обычно электронный вклад является доминирующим. Воспользовавшись теперь определением (4.10), можно вычислить диэлектрическую проницаемость, которая, как нетрудно проверить, совпадет с приведенной выше величиной (4.19).

Усложним модель плазмы, вводя в рассмотрение возможность передачи импульса в столкновениях между ионами и электронами. Учет этого эффекта приводит к появлению в уравнениях движения

159

дополнительных слагаемых, происхождение которых − взаимное

Вычисление скоростей компонент плазмы теперь несколько усложняется, но его можно упростить, если учесть следующее обстоятельство. Заметим, что любой выделенный единичный объем плазмы в нашей модели является нейтральным по заряду. Поэтому действующие на него электрические силы компенсируют друг друга. Кроме того, передача импульса между ионами и электронами не меняет в целом импульса выделенного объема плазмы! Поэтому, если импульс этого единичного объема первоначально был нулевым, то он остается таковым и в дальнейшем:

~r + ~r = me n0e ve M i n0i vi 0 .

Это соотношение позволяет выразить одну скорость через другую, например ионную скорость через электронную скорость:

Уравнения (4.26) в результате сводятся к одному, например,

и теперь уже несложно вычислить скорости и с их помощью плотность электрического тока. Для гармонической волны она оказывается равной:

160