Жданов Основы физических процессов 2007

известное как соотношение Беннета.

При выводе этого соотношения нами предполагалось, что температура плазмы постоянна. Однако проводимость реальной плазмы не бесконечна, и поэтому протекание тока будет сопровождаться выделением джоулева тепла и нагревом плазмы. Если этот процесс считать медленным, то условие равновесия можно считать, по крайней мере, приближенно справедливым. Следовательно, если при постоянном погонном числе частиц температура будет расти, то для обеспечения равновесия необходимо увеличивать ток.

К сожалению, в обсуждаемой выше геометрии разряда практически не удается довести плазменный столб до равновесного состояния, так как ряд процессов приводит к неустойчивости, и столб плазмы быстро разрушается. Плазменный столб в Z-пинче опирается на электроды, значит вдоль столба уход частиц и потери энергии в области контакта неизбежны. Естественно желание свернуть столб плазмы в тор − создать замкнутую безэлектродную систему. Однако тороидальный виток с током стремится к расширению, потому что давление магнитного поля на внутреннюю поверхность витка больше, чем на наружную. Например, на любой участок витка 1J действует отталкивающая сила от диаметрально противопо-

ложного участка витка 2J (рис.3.2), поскольку, как известно, антипараллельные токи отталкиваются. Чтобы обеспечить равновесие плазменного витка, его можно было бы поместить в вертикальное магнитное поле Вz, направленное по оси z, перпендикулярной плоскости витка (плоскости рис.3.2). Тогда силы, растягивающие виток F1 J2, могут быть скомпенсированы силами, сжи-

141

где J - полный ток в плазменном витке.

Равновесное состояние витка может быть получено также (на временах масштаба скиновых), если его поместить в хорошо проводящий металлический кожух. Смещение витка приводит к возникновению токов Фуко в кожухе, и магнитные поля этих токов играют роль поля Вz. В этом случае время существования равновесного состояния зависит от соотношения радиуса плазменного шнура a, радиуса камеры тора R, проводимости и толщины r проводящего кожуха.

Стабилизация положения плазменного витка с током вертикальным магнитным полем и проводящим массивным металлическим кожухом реально использовались в токамаках для обеспечения равновесия по большому радиусу тора. Равновесие по малому радиусу обеспечивается (в совокупности с полем тока) сильным тороидальным магнитным полем.

Магнитогидродинамический метод рассмотрения дает возможность качественно и наглядно представить условия равновесия плазменного шнура различной геометрии, а расчеты позволяют оценить необходимые соотношения макроскопических параметров.

§25. Быстрые процессы

Вуравнении (3.18) инерцией плазмы пренебрегаем. Однако при быстрых процессах это недопустимо. Более того, опыт показал, что на первых стадиях развития импульсного разряда можно пренебречь газокинетическим давлением по сравнению с инерционным членом. При быстром процессе пробой газа происходит первоначально по периферии разрядной камеры. В формировании плазменной оболочки существенную роль играют элементарные про-

цессы − ионизация, рекомбинация и перезарядка. На этой стадии образуется тонкий проводящий цилиндр плазмы. По мере разогрева и роста тока эта плазменная оболочка отрывается от стенки камеры, сжимается к центру, ионизует и “сгребает” при сжатии находящийся внутри нее нейтральный или слабо ионизованный газ, вовлекая его в движение к центру. Такой процесс получил название движущейся магнитной стенки (в английской литературе сложился термин snow-plow − снежный плуг) и теоретически был рассмотрен

142

в СССР Леонтовичем и Осовцом [16], а в США - Розенблютом. После схождения плазменной оболочки к оси в центре камеры образуется цилиндрический плазменный «столб», сжимающийся под действием магнитного поля собственного тока и, в результате, быстро разогревающийся - по этой причине пренебречь давлением плазмы уже нельзя. По мере разогрева давление плазмы растет и тормозит процесс дальнейшего сжатия. Эта стадия завершается образованием цилиндрического токового канала, почти равновесного, но, как показали эксперименты, неустойчивого, вскоре разрушающегося, главным образом, за счет развития перетяжек, ведущих к обрыву тока, и изгибов-змеек, разрушающих токовый канал. На заключительной стадии разряда, когда токовый канал разрушается, возникают электромагнитные поля, приводящие к ускорению части частиц плазмы, всплеску рентгеновского излучения и нейтронному излучению, если разряд производится в дейтерии. Мощный импульсный разряд, в котором реализуется описанная выше (весьма фрагментарно!) совокупность событий, получил название Z-пинч, главным образом за счет геометрии цилиндрической разрядной камеры, ось которой принято обычно выбирать за ось z системы координат.

На фазе движения плазменной оболочки к оси, сопровождающемся сгребанием газа и ростом массы плазмы, радиальная координата плазменной оболочки, которая считается тонкой, согласно теории Леонтовича − Осовца [16], определяется уравнением:

где m − масса единицы длины шнура плазмы

где а − начальный радиус оболочки, m0 - начальная масса газа в разрядной камере на единицу длины вдоль оси;

2I( t ) Bϕ = cr

магнитное поле тока снаружи от плазменной оболочки. Внутри оболочки при цилиндрической симметрии магнитное поле, очевидно, равно нулю. По этой причине в правой части уравнения (3.21),

143

представляющей собой радиальную силу, действующую на оболочку в расчете на единицу ее длины вдоль оси, знак обязательно должен быть отрицательным! Иногда в левую часть (3.21) вводят дополнительный коэффициент k, учитывающий долю захватываемой массы и равный единице при полном сгребании.

Для определения величины разрядного тока I(t) необходимо дополнительное уравнение − электротехническое уравнение цепи для разрядного контура. Это, конечно, усложняет решение. Но на начальной стадии можно полагать, что ток растет линейно по времени, так что

I( t ) = I&0 t ,

где I&0 − темп нарастания тока (здесь постоянная величина), опре-

деляемый электротехническими параметра разрядной цепи. Решение уравнения (3.21) для линейно нарастающего тока дано

в [12]. Оно предсказывает, что в определенный момент времени

называемый моментом особенности, плазменная оболочка схлопывается на оси системы. Момент особенности реально наблюдается на эксперименте (но, конечно, сжатия до нулевого радиуса не происходит), причем предсказания с помощью формулы (3.22) удивительно точно соответствуют наблюдениям (подробнее см. [12], типичные значения tособ составляют 2 - 10 мкс). Заметим, что величина tособ определяется, фактически, только начальными значениями величин.

В настоящее время изучено экспериментально целое семейство различных модификаций Z-пинча, некоторые из представителей которого схематично показаны на рис. 3.3. Многообразие модификаций разрядных устройств такого типа не случайно: по сути дела, вся история исследований в области управляемого термоядерного синтеза берет начало от мощных импульсных разрядов в газе, в которых впервые были обнаружены «термоядерные» нейтроны и которые длительное время были рекордсменами по параметру nτ - произведению концентрации плазмы на время удержания. Многие свои позиции ввиду целого ряда уникальных свойств пинчи не утратили до сих пор.

144

с коэффициент магнитной диффузии Dмаг, определяемым формулой

(3.2).

Хорошо известно, что это уравнение описывает обычный скинэффект. Глубина проникновения поля lm растет со временем по закону

lm ~ Dмагt .

В противоположном случае, когда плазма помещена в постоянное однородное магнитное поле, ее граница постепенно размывается и это размытие границы плазмы связано с движением частиц поперек поля. А это возможно только при столкновении частиц, т.е. в процессе поперечной диффузии. Этот процесс описывается уравнением

Величина размытия границы плазмы lp за время t определяется теперь выражением:

lp ~ D t .

Любопытно отметить, что формально имеет место соотношение

[17]

и, следовательно, за тоже самое время толщина слоя проникновения плазмы низкого давления с β<1 в однородное поле оказывается

вβ / 2 раз меньше толщины слоя проникновения поля в одно-

родную неподвижную плазму.

Важно выяснить, какой процесс является доминирующим, когда имеет место взаимная диффузия плазмы и магнитного поля, т.е. в случае, когда и плазма и поле являются неоднородными. В общем виде это сложная задача, но достаточно простое ее решение можно получить, если ограничиться случаем плазмы низкого давления. Процесс диффузии является нестационарным, но обычно его мож-

146

но считать медленным на масштабах времен установления равновесия плазмы. Иными словами, описывая диффузию, в уравнении движения (3.11) можно пренебречь инерцией, и принять, что

Считая это условие выполненным, из закона Ома (3.8) получим величину напряженности электрического поля

Стремясь максимально упростить описание, ограничимся случаем диффузии плазмы с постоянной температурой Т=const в неоднородном магнитном поле с прямыми силовыми линиями, ориентированными вдоль оси z системы координат. Считаем, что вдоль этого направленияr поле и плазма однородны. В этих условиях под-

становка поля E из (3.28) в закон индукции

с последующим использованием уравнения непрерывности (3.4), которое здесь удобно записать в виде

Оно означает, что суммарное давление плазмы и магнитного поля поддерживается постоянным:

где В0 считается заданной величиной. Заметим, что при выводе (3.29) − (3.31) явно никак не использовалась предполагаемая ма-

147

лость величины β, так что в этом плане они являются пока точными. Учтем эту малость, тогда, введя для удобства промежуточное обозначение,

8πp

β0 = B0 2 << 1 ,

из (3.30) приближенно получаем величину магнитной индукции

Поскольку величина β0 здесь пропорциональна концентрации плазмы, то, используя это соотношение, можно показать (предлагаем читателю в качестве упражнения проделать этот несложный вывод самостоятельно), что уравнения (3.29), (3.30) сводятся к одному

формально совпадающему с уравнением диффузии плазмы в однородном поле (3.24). Теперь, однако, в силу (3.32), магнитное поле однозначно связано с плотностью плазмы, поэтому можно сказать, что оно «автоматически подстраивается» под медленно меняющуюся за счет диффузии плотность плазмы.

Уравнение (3.33) является нелинейным, его решение - непростая задача. Для иллюстрации взаимного проникновения плазмы и магнитного поля рассмотрим частный случай диффузионного расплывания заданного одномерного скачка плотности плазмы. Упрощение достигается здесь за счет того, что все точки профиля плотности движутся по подобным траекториям, по закону диф-

148

решения которого для нескольких значений величины скачка плотности приведены на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Диффузионное расплывание скачка плотности плазмы: а − автомодельные профили для нескольких значений величины скачка (пунктир - |ξ|1/2); б − эволюция скачка плотности с ростом времени

Произвольный скачок плотности постепенно размывается с течением времени (рис. 3.4,б). Заметим, что скачок размывается в обе стороны от его начального положения, только если плотность плазмы первоначально была не нулевой по обе стороны от него. Если же плотность плазмы тождественно равна нулю с одной стороны от скачка (например, справа, как показано на рис. 3.4,а), то проникновение плазмы в эту область оказывается невозможным. Это неудивительно, так как при нулевой плотности плазмы коэффициент поперечной диффузии тождественно обращается в нуль и, в рамках применимости уравнения (3.33), диффузия оказывается невозможной. В этих условиях предположения, заложенные при выводе (3.33), очевидно, должны быть уточнены.

149