Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

843

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

1 / 451 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ	М. В. ФЕДОРЮК
ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

ДопущеноМинистерством высшего и среднего специального образования СССР

в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 9 8 5

22.161.6 Ф 33

УДК 517.9

Ф е д о р ю к м. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:— 2-е изд., перераб. и доц.—М.: Наука. Главная редакция фи- зико-математической литературы, 1985.— 448 с.

Книга содержит изложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В новом издании (первое издание выходило в 1980г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей. Табл. 1. Ил. 46. Библиогр. 54 назв.

Р е ц е н з е н т

кафедра высшей математики Московского энергетического института (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук профессор С. И. Похожаев).

^1702050000—059 ^	Qn	(Q) Издательство «Наука».
—л£з/по\ QK / i W * >		^ Главная редакция
Uoo(lw;-oo		физико-математической
		литературы, 1980;
		с изменениями,198$

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

•

Г л а в а 1. Методы интегрирования

обыкновенных дифферен-

циальных

уравнении

, .

« .

•

Общие понятия, примеры

, . .

* . .

2. Дифференциальные уравнения

первого

порядка .

3. Линейные

дифференциальные уравнения. Принцип су-

перпозиции

4*Линейное

уравнение

первого

порядка

постоянными

Коэффициентами

Линейные

однородные дифференциальные уравнения

постоянными коэффициентами . . . . . . . .

Линейные однородные уравнения

второго порядка с по-

стоянными

коэффициентами

Линейные

уравнения

правой

частью — квазимного-

членом

Линейные системы с постоянными коэффициентами.

Случай

простых корней

•

Фазовая

плоскость линейной

системы

§ 10.Линейные

системы с

постоянными

коэффициентами.

Случай

кратных корней

§ 11.Операционное

исчисление

12.Линейные

разностные

уравнения

. . . . . .

Г л а в а 2. Основные

свойства

решений обыкновенных диф-

ференциальных

уравнений

1. Основная теорема . . . . . . . . . . .

Линейные

нормированные

пространства

. .

3. Принцип* сжатых отображений . . .

•

Лемма Адамара

106

Доказательство основной теоремы. Теорема существова-

ния и единственности для уравнений

п-го

порядка

108

6. Гладкость

решений

« 1 1 6

Зависимость решений от параметров и начальных

усло-

вий

117

Обратные и неявные

функции

•

Зависимые

независимые

функции.

Криволинейные

координаты . . .

. . .

129

10.Уравнения

первого порядка,

не

разрешенные

относи-

тельно производной

140

4		ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а 3. Линейные уравнения и системы					162
§	1. Теорема существования и единственности . . .				.	162
§	2. Функции от матриц и однородные линейные системы с
		постоянными коэффициентами			167
§	3. Линейная зависимость и независимость функций и век-
		тор-функций. Определитель Вронского			177
§	4. Формула Лиувилля				180
§	5. Фундаментальные системы решений				182
§	6. Неоднородные линейные системы с переменными коэф-
		фициентами			184
§	7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка					185
§	8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифферен-
		циальных уравнений			196
§	9. Нули решений однородных линейных уравнений второ-
		го порядка			204
§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных
		уравнений. Уравнение Бесселя			207
§ 11. Уравнения с периодическими коэффициентами . .					.	217
§ 12. Дельта-функция и ее применения					225
Глава 4. Автономные системы и теория устойчивости .					.	240
§	1.	Автономные системы. Общие свойства			240
§	2. Структура решений автономной системы в окрестности
		неособой точки			247
§	3.	Изменение фазового объема			249
§	4. Производная в силу системы. Первые интегралы .				.	256
§	5.	Одномерное движение частицы в потенциальном поле				263
§	6. Устойчивость. Функция Ляпунова				276
§	7.	Устойчивость положения равновесия линейной системы				284
§	8.	Устойчивость по линейному приближению . .			.	288
§	9.	Двумерные автономные системы (элементы качествен-
		ной теории)	. . . . .		.	295
Глава 5. Уравнения с частными			производными	первого
		порядка			304
§	1. Некоторые задачи, приводящие		к уравнениям	1-го по-
		рядка с частными производными			, 304
§	2.	Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений				307
§	3.	Задача Коши для линейных и квазилинейных		уравне-
		ний			313
§	4.	Линейные и нелинейные волны	'		319
§	5.	Нелинейные уравнения			324
Г л а в а 6. Элементы вариационного исчисления . . .					.	334
§	1. Функционалы				334
§	2.	Функционалы в линейных нормированных пространст-
		вах . . . .			335
§	3.	Простейшие задачи вариационного исчисления .			*	339
§	4.	Функционалы, зависящие от высших производных			.	346
§	5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип
		наименьшего действия в механике			347
§	6.	Условный экстремум			350
§	7.	Задача Лагранжа			353

		ОГЛАВЛЕНИЕ				5
§	8. Функционалы	от функций многих		переменных	. .	355
§	9. Достаточные	условия	слабого экстремума . .		. .	358
§ 10. Дополнительные сведения извариационного исчисления						366
§ 11.Принцип максимума			Поитрягина		374
Г л а в а 7. Асимптотика решений обыкновенных дифферен-
	циальных уравнений				381
§	1. Эвристические соображения				381
§	2. Основные оценки				383
§	3. Асимптотика	решений	при больших	значениях	аргу-
	мента				388
§	4. Асимптотика	решений	при больших	значениях	пара-
	метра				398
§	5. Элементы теории возмущений				405
Список литературы			,		445

ПРЕДИСЛОВИЕ

Внастоящей книге изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными первого порядка и вариационного исчисления. Она написана на основе курса лекций, который автор читал в Московском физикотехническом институте на протяжении более пятнадцати лет. Книга рассчитана на студентов высших технических учебных заведений (с объемом курса высшей математики 510 часов) и на инжене- ров-исследователей.

Вкниге наиболее полно представлены разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, связанные с задачами малых колебаний и распространения линейных волн. Последняя глава посвящена асимптотическим методам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В книгу включены некоторые понятия функционального анализа и ряд необходимых сведений из математического анализа.

Внастоящем, втором, издании прежде всего устранен ряд не-

точностей, имевшихся в первом издании. Значительно увеличено число примеров, которые могут служить типовыми для семинарских занятий по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В особенности это относится к § 2 гл. 1 и к § 10 гл. 2, которые фактически написаны заново. Изложены элементы теории эллиптических функций (гл. 4, § 5), приведены решения типа бегущих волн для ряда классических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными (гл. 5, § 4). В § 5 гл. 7 приведен обзор основных методов построения асимптотики решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Во многих параграфах условия на область определения и дифференциальные свойства рассматриваемых функций сформулированы в начале в виде «предположений» с тем, чтобы сделать формулировки теорем более компактными. При ссылках на параграф из той же главы указывается только его номер.

Я глубоко благодарен А. А. Абрамову, И. А. Бочеку, Е. А. Гребеникову, Ю. В. Егорову, С. П. Коновалову, С. И. Коняеву, С. И. Похожаеву, Н. X. Розову и Н. М. Флайшеру за многочисленные ценные замечания, которые существенно способствовали улучшению рукописи.

Автор

ГЛАВА 1

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Общие понятия, примеры

Обыкновенным дифференциальным уравнением назы* вается уравнение вида

Fix, у(х\	у'Ы), ..., 0<П ) Ы)=О.	(1)
Здесь F — известная	функция, х — независимое	перемен-

ное, у(х) — неизвестная функция. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции у = у(х), входящей в уравнение. Функция у(х) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения (1), если она п раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале / и при ж е / удовлетворяет уравнению.

П р и м е р 1. Пусть fix) — непрерывная на интервале / =* (а, Ь) функция, у{х) — ее первообразная. Тогда

(2)

и для отыскания первообразной мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решения известны:

§f(t)dt+C

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение (2) имеет бесконечно много решений —и это верно для всех обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной у(х) в какой-либо точке, например, у(х0) = у0. Тогда решение единственно и равно

8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

Основные элементарные функции являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример 2. Тригонометрические функции sin#, cos x — решения уравнения

У * + 0 - 0 ,	(3)
что проверяется непосредственно. Функция	у = sin х
удовлетворяет, очевидно, условиям
i/(0)= 0, 0'(О)«1,	(4)
а функция у « cosx — условиям
	;

В дальнейшем будет доказано, что решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4) (или (4')) единственно. Поэтому функцию у = sin х можно определить как решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4); аналогично можно ввести функцию # = cos#. Из этого определения можно вывести все свойства синуса и косинуса.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводят многие задачи естествознания.

Пример 3. Движение материальной точки массы т под действием внешних сил описывается вторым законом Ньютона та = F. Пусть точка движется по оси х и x(t)— ее абсцисса в момент времени t. Тогда функция xit) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

второго порядка:	<5>
£ ( * )

Пусть точка движется в трехмерном пространстве и r(t) = (x(t), y(t), z(t) —ее радиус-вектор. Тогда

Это соотношение — система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями яШ, y(t), zkt).

Чтобы определить положение точки в момент времени f, необходимо, как известно из механики, знать ее положение и скорость в некоторый начальный момент времени tQ. Так, чтобы выделить единственное решение уравне-

§ 2)	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	1-ГО ПОРЯДКА	9
ния Ньютона (5), необходимо задать		начальные данные
	«V		(6)

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок. Например, уравнение Ньютона (5) при произвольной правой части F интегри-

руется только тогда, когда сила F зависит только				от од-
ной из переменных t, ху -~, т, е. уравнение			имеет	один
из	видов
	Уравнение Риккати
в	случае, когда q(x) = #а , интегрируется	в	квадратурах
только тогда, когда а = —4W/(2AI — 1), где		п — целое чис-
ло или а = —2 (этот факт доказал Лиувилль,			1841 г.)

Дифференциальные уравнения, которые интегрируются в квадратурах, никогда не могли удовлетворить потребностей естествознания. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы их решения; первые такие методы создал еще Ньютон.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений — исследование общих свойств решений и развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Теорема существования и единственности. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)

первого порядка

Здесь правая часть fix, у) —заданная функция, х — независимое переменное, у(х) — неизвестная функция.

10 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.1

ОДУ вида (1) называется уравнением в нормальной форме, или уравнением, разрешенным относительно про изводной. Дело в том, что общий вид ОДУ первого порядка следующий:

Fix, у, if')-0.

Такие уравнения будут рассмотрены в гл. 2.

Поставим следующую задачу: найти решение уравне-

ния (1) такое, что
у0>,	(2)

где #о, #о— заданные числа. Задача (1), (2) называется

задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными или данными Коши.

Пусть у = фЫ -*-решение уравнения (1) на интервале / оси а\ График этой функции (т. е. кривая i/ = <p(tf),

# е / ) называется интегральной кривой уравнения (1). Задачу Коши можно сформулировать так: найти инте-

гральную кривую уравнения (1), проходящую через заданную точку

(#о, Уо) (рИС. 1).

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является следую-

—	щая теорема.
	Теорему существования и
Рис. 1.	единственности. Пусть функ-
	ция /(#, у)	и частная	производная
> 0 у' непрерывны в некоторой области Dплоскости
(#, у), точка (#о,yQ) лежит в D. Тогда
1°. Существование. В		некоторой	окрестности

\х— я о | < 6 точкиХо существует решение задачи Коши

(1), (2).

2°. Единственность. Если у^уАх), у^ФгСя) —

два решения задачи Коши (1), (2), то фДя) =а ф2(#) в некоторой окрестности точки х0.

Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию. Если условия теоремы (непрерывность / и

а 4

?f в D) выполнены, то:

через каждуюточку(х0, у0) области D проходит инт гральная кривая, и притом только одна.

Область D, таким образом, расслаивается на интегральные кривые (рис* 1).

1 / 451 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб843Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб520Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf