2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985
.pdf8] |
ОБРАТНЫЕ И НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ |
121 |
||
П р и м е р. Рассмотрим задачу Коши |
|
|||
|
х + со2х = \лх\ |
х(0) = 1, |
i(0) = О, |
|
где со> О— постоянная. Найдем-%- |
iy(t). |
При |
||
имеем x(t) |
= cos at. Дифференцируя уравнение |
и началь- |
||
ные данные по \х и полагая затем |
ц = 0, получаем |
|||
у + о)2у = cos3 (dt = |
-г-(cos 3CD£ + 3 cos (o^)? |
|||
Эту задачу проще всего решить с помощью операцион-
ного |
исчисления. Пусть |
Y(p) |
— изображение |
функции |
|||
уШ; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 »,2 |
_|_ /.у |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Р |
, |
1 |
|
|
|
|
4 |
(р« + 0,2)2 |
з2со2 \ р2 + со2 |
р2 |
+ (Зсо)й )• |
|
Используя таблицу из гл. 1 § 11, находим |
|
|
|||||
|
-Д- |
= ——^sin со^ Ч |
7г (cos cot — cos |
|
|||
|
ои |
1^=0 |
8о) |
32со2 |
|
|
|
§8. Обратные и неявные функции
1.Теорема об обратной функции* Рассмотрим систему из п уравнений с п неизвестными
лп = /iCr/i, |
г/2, |
..., |
уп), |
|
#2 = /2 (*/i, |
Уг, |
. . . , |
Уп), |
( 1 ) |
Введя вектор-функции |
|
|
|
|
х = (a?lf a:2. • • •»^п). У = (l/i» У2, • • • f #n), |
/ = (/i» /2» • • |
|||
запишем систему (1) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
Будем предполагать, что все функции /lf /2, .,., /п непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки а = (а2, а2, ... , а„); обозначим / (а) = &. Приведем достаточные условия, при которых из уравнений (1)
122 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2
можно |
(локально) выразить |
уи у2, ..., уп |
через |
или, в векторной форме, |
|
|
|
|
» -*<*) . |
|
(3) |
Вектор-функция g {х) называется |
обратной к |
вектор- |
|
функции |
f(y). |
|
|
Приведем вначале эвристические соображения. Разложим функции /j по формуле Тейлора:
sf • • • >Vn) = /i(a) +2 -fe~
o{\y — a\\) (y -+ a).
Эти равенства можно записать в виде |
|
/ (У) = / И + /' (a)(y-a) + h (у). |
(4) |
Здесь h(у)—вектор-функция с компонентами hu h2, ..., hn и /' (а) —матрица
(^) . (5)
Матрица /' (а) называется матрицей Якоби.
Если отбросить Цу) в разложении (4), то получится система из п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:
х — 6 = /' (а)(у — а).
Из линейной алгебры известно, что эта система однозначно разрешима, если отличен от нуля ее определитель: det/' (а)Ф 0. Ниже будет доказано, что это условие гарантирует локальную разрешимость нелинейной
системы (1). |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
U — некоторая |
окрестность |
точки у = а. Век- |
|||
тор-функция х = f (у) переводит каждую |
точку |
уеС / |
||||
в точку |
х из |
некоторой |
окрестности |
V |
точки |
х =Ь |
(рис. 13). Если |
отображение взаимно однозначно, тоэто |
|||||
означает, |
что |
существует обратная |
вектор-функция |
|||
У - g (x).
Теорема об обратной функции. Пусть выполнены условия:
§ 8] |
ОБРАТНЫЕ II НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ |
123 |
1.Вектор-функция f (у) непрерывно дифференцируема
внекоторой окрестности точкиу = а.
2.det/'(a)^O .
Тогда существуют окрестности U, V точека} |
Ъ и ве |
тор-функция g(x) такие, что; |
|
1. Вектор-функцияx — f(y) взаимно однозначно |
ото- |
бражает областьU на областьV. |
|
Рис. 13.
2, Обратная вектор-функция у = g (х) непрерывно диф ференцируема в области V.
3. Обратная вектор-функция у = g{x) единственна,
если областьV достаточно мала. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о этой |
теоремы разобьем на не- |
|
сколько этапов. |
|
|
1°. С у щ е с т в о в а н и е |
обратной |
в е к т о р - |
ф у н к ц и и . Применим принцип сжатых |
отображений. |
|
Будем считать, что а = 0, 6 = 0; этого можно добиться с помощью замены переменных а? — Ь = х, у — а ==у. Используя разложение (4), запишем систему уравнений (2) в виде
x = By + h (у),
где В = /' (0). Преобразуем эту систему к виду |
|
у-В~г{х-11{у)) |
(6) |
(напомним, что матрица Якоби /' (0) = В невырождена) и запишем систему (6) в «операторной форме»
У = А(У)г |
(7) |
где А (у) — правая часть формулы (6). |
|
Пусть U — окрестность вида 1 у \\ ^ |
б точки у = 0f |
V — окрестность вида Ц#||<;6 точки х «•0Л1окажем, что если б, Ь достаточно малы, то А (у) е U (замыкание
124 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. 2
области |
U) при любых |
у G I / , |
Х е |
V, т. е. что |
|
|
|
|
И (У) К |
в. |
(8) |
Так как h(y) |
~о{\у\) |
при \у\-*0 |
(см. (4)), то Ц* (?)!< |
||
^ 8 1 # 1 |
П РИ |
11^11^6» |
гДе е = е(б) может быть выбрано |
||
сколь угодно малым. Используя это неравенство и неравенство lir^tfll^llB"1 !!!^!, получаем
и |
неравенство (8) будет выполнено, если выбрать б ^ |
||
^ |
6/12С), е ^ 1/(2С), где С = \\В~% Ниже предполагает- |
||
ся, что окрестности |
£/, V выбраны указанным образом. |
||
|
Чтобы применить |
принцип сжатых отображений |
к |
уравнению (7), оценим норму разности А (у2) — А {у1)х |
где |
||
у\ |
у2 е U. Имеем |
|
|
(мы используем лемму 3 из § 4), где обозначено Kt =
= max |
max —ilEl J. |
Из разложения (4) следует, что |
dhAO) |
|
|
— — = 0 |
при всех /, к и потому б > 0 можно выбрать |
|
настолько |
малым, чтобы |
выполнялось неравенство q = |
= Ш~1НЯ1< 1; при этом соответственно уменьшается окрестность V. Итак,
И (У2) —А (У^КяЬ2 —У1\ Ф<4< !)• |
(9) |
Фиксируем точку х е V и применим к уравнению |
(7) |
принцип сжатых отображений (§3). В данном случае банахово пространство В есть пространство Щ, замкнутое ограниченное множество М а В есть С/, а оператор А определен выше (см. (6), (7)) и отображает точкуу^В в
точку |
А (у) е В, |
Из оценок (8), (9) следует, что опе- |
||
ратор А |
сжимает |
множество Л/, а потому уравнение (7) |
||
имеет, |
и |
притом |
единственное, решение у = |
g(x)^M. |
Тем самым доказано существование однозначной обратной вектор-функции у = g(x) при х е V, и ее значения лежат в области U.
§ 8] |
ОБРАТНЫЕ II НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ |
|
125 |
||
2°. Непрерывность. Пусть X ^ ^ G F H ^ 1 |
=£(#*)» |
||||
#2 = £(#2). |
Имеем из (6) |
|
|
|
|
g (*2) ~ |
g (х1) = В"1 |
(х* - я1) + Я"1 (ft (#2) - |
й (У1)),, |
||
и, используя оценку (9), получаем |
|
|
|
||
|| g (*2) - |
g (х1) 1 < | |
fi"1! Ix*-*\ |
+ q\g (ж2) - |
g (tf1)1, |
|
так что |
|
|
|
|
|
1g (x^)- g ( я 1 |
) | < 1В-1 1(1 - |
q)-1 |a* - |
««|. (10) |
||
Из этой оценки следует, что если х2 ~>х1, то g (х2)-> g (x1) и непрерывность обратной вектор-функции у ==g (ж) доказана.
3°. Д иффе ре нциру е мост ь. Чтобы доказать дифференцируемость вектор-функции у= g(x) в точке #°е F, необходимо доказать, что ее приращение представимо в виде
/ig^g (xQ + Ax)-g |
(x») = CAx + h (Да?), |
|Х(Д*)|-*О |
(||Д^||->0); |
здесь С — постоянная матрица. |
|
Пусть у0 = g (х°);преобразуем разность |
/ {у0 + Ау) — |
—/ (У0)- Из формул (9), (10), § 4 следует, что |
|
Здесь Ф есть (п Xгс)-матрицас элементами |
Ф;& = -J--—, |
точки | j лежат на отрезке, соединяющем точки #°#°
иматрица-функция Ф (Д^/) непрерывно зависит от Следовательно,
Ф(Ау) = Г (У0) +
иэлементы матрицы ¥ стремятся к нулю, если||Ау|]-*-0;
lim V
Поэтому
Д Ж
где Е(Ду) —такая вектор-функция, что |e(Ay)|-o(|
Из оценки (10) следует, что
126 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2
где D -г- постоянная, и потому
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|e(A V )| - o(|A*|) |
(|Д*|-*0). |
|
(13) |
|||
Имеем из |
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by-trwr^B |
+ h^x) |
|
|
|||
в из |
(13) |
следует, |
что |
|Х(Аа?)1в о(ЦАягЦ) при ||Ад?||-> 0. |
||||
Тем |
самым доказано представление |
(И), а |
стало |
быть, |
||||
и дифференцируемость обратной вектор-функции у=g |
{x). |
|||||||
В условиях теоремы справедливо |
|
|
|
|||||
Следствие . |
Матрицы Якоби |
прямой |
и обратной |
|||||
вектор-функций взаимно обратны: |
|
|
|
|||||
|
|
|
f'(y)g'W |
= h |
|
|
(15) |
|
где х, у |
связаны уравнением (2). |
|
|
|
||||
Доказательство |
следует из |
сравнения формулы |
||||||
|
g (tfO + Щ |
_ g |
|
|
|
|
|
|
с формулой (14). |
|
|
|
|
|
|
||
Геометрическую |
интерпретацию и геометрические при- |
|||||||
ложения теоремы об обратной функции, а также теоремы
онеявной функции, см. в § 9.
2.Теорема о неявной функции. Рассмотрим систему из m уравнений
Fi{xu |
..., аг», уи |
..., |
Ут) = 0, |
|
||
F2(xiy |
..., |
хп, |
ylf |
..., |
у J = 0, |
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
/^mUj, |
. . . , |
Хп, |
УU |
••-, |
У т ) = 0 |
|
с п + т |
неизвестными и приведем достаточные условия, |
|
при которых можно выразить из этой системы |
перемен- |
|
ные уи |
..., Ут через хи ..., хп. Тогда найдем |
функции |
§ 81 ОБРАТНЫЕ И НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 127
которые неявно заданы системой уравнений (16). Перейдем к векторным обозначениям, положив
х = {xv |
. . . , х п ) , |
у |
= {yv .. |
., у т |
) , |
F = (Fv |
...,Fm) |
|
(все векторы-столбцы), тогда |
система |
(16) |
примет |
вид |
||||
|
|
|
F(x,y) = 0. |
|
|
|
(17) |
|
Обозначим Fy (хч |
у) |
матрицу Якоби вектор-функции |
||||||
F(x,y) |
относительно |
переменных |
у, |
т. е. |
(тХт)-мат- |
|||
рицу
(dF.(x,y)
Теорема о неявной функции . Пусть выполнены условия:
1°. Вектор-функция F (х, у) непрерывно дифференцируема в окрестности точки х = а, у = Ъ и F (а, Ь)= 0.
2°. det Fy (а, Ь)Ф 0.
Тогда существуют окрестности С/, V точек a, b т кие, что:
1. Существует вектор-функцияу = g (x), котораяопределена при ж е [ / , ее значения лежат в области F, и
F(x,g(x))^0, xs=U. (18)
2.Вектор-функция g {x) непрерывно дифференцируем
вобласти U.
3.Вектор-функция g (x), удовлетворяющая тождест
(18), единственна, если область U достаточно мала.
Доказательство. Рассмотрим |
вспомогательную |
|||||||||
систему |
F{x,y) = z, |
x~x |
|
|
|
|
(19) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
относительно п+пг |
неизвестных |
хи |
|
..., |
#„, yi9 |
..., ym |
||||
с известными правыми частями zlf |
..., |
zw, xu |
|
..., хп. |
||||||
Число уравнений равно числу неизвестных, |
т. е. это |
|||||||||
система вида (1) и при z=0, |
x=^a |
она имеет |
|
решение |
||||||
х=а, |
у=Ь. Матрица |
Якоби |
вектор-функции, |
|
стоящей |
|||||
в левой части (19), есть |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 я > т |
|
\ |
|
|
|
Здесь |
In и On, m — единичная |
и нулевая |
матрицы поряд- |
|||||||
ков ЫХп) |
и (п X га), так как хх |
= 1п, |
ху |
==0nfTn. В точке |
||||||
х=а, |
у=Ъ |
имеем det 4=det |
Fy (aA 6)=^=0 и для системы |
|||||||
128 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2
(19) выполнены условия теоремы об обратной функции. Поэтому существует, и притом единственная, обратная вектор-функция
у = <р(#,г), ж = *(#,*),
которая взаимно однозначно отображает окрестность W точки «я ==я, z = 0 на окрестность W точки х = а, у = Ь, и вектор-функции <р, ф непрерывно дифференцируемы. Окрестность W можно задать заранее; возьмем ее в виде W = U X У, где U — окрестность точки х ==а в Я£, F — окрестность точки у = Ь в i?£. Кроме того, ясно, что я|э(a?,z) *s x% так что
|
|
у = <р (о?,г), |
а? == а?. |
||
ПОЛОЖИМ g (^) = <р (^» 0), тогда |
из первого уравнения |
||||
системы |
(19) |
находим |
|
|
|
и теорема |
доказана. |
|
|
|
|
ВЫЧИСЛИМ матрицу |
Якоби g'{x) |
неявной вектор-функ- |
|||
ции у ==g |
(х). |
Пусть |
х — одно |
переменное, у — одно пе- |
|
ременное, F — скалярная функция. Дифференцируя тож- |
|||||
дество (18) по ху |
получаем |
|
откуда находим |
|
|
g' (х) - |
- ( F ; (*, g (x)))"1 F'x (x, g (x)). |
(20) |
Удобство матричных обозначений состоит в том, что эта формула справедлива и для вектор-функций, т. е. если а?е/Г, у е Rm. В формуле (20) Fy есть (т X т)-матри- ца описанная выше,
|
|
t 1 ^ i <Cm1 |
1 ^ |
/; |
|
|
т. е. Fx |
есть (т X и)-матрица. Нужно, |
конечно, просле- |
||||
дить за тем, чтобы матрицы перемножались в нужном |
||||||
порядке; |
но при пФ т ошибиться |
невозможно, так |
как |
|||
нельзя умножить |
(тХ п)-матрицу |
на |
(тХ |
п)-матрицу. |
||
3. Дифференцирование сложных |
функций. Пусть /(*/)» |
|||||
g(x) — непрерывно |
дифференцируемые |
функции |
(при |
|||
§ 9] |
ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИЙ |
129 |
любых хл у% для простоты), тогда |
|
|
|
</(*(*))' - Г <*(*))*'<*). |
(21) |
Это правило дифференцирования сложной функции сохраняется и для вектор-функций / (у), g (х), если понимать под /' (у), g1 (х) матрицы Якоби. Пусть
Теорема . .Бсл^ вектор-функция g (x) непрерывно дифференцируема в окрестности U точких = а, векторфункция f (у) непрерывно дифференцируема в окрестности
V |
точкиу = Ь = g (а), то вектор-функция f {g {x)) непре- |
рывно дифференцируема в некоторой окрестности точки |
|
а, |
и ее матрицаЯкоби имеетвид (21). |
Доказательство. Пусть |
для |
простоты, а = 0^ |
||||||||
g (а) = Ь = 0, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
g(x) |
= Ax + вх(х), f(y) |
= By + |
г2(у)г |
|
||||||
где ех -^0 |
при ||а?|->0, |
82 ->0 при 1^||~>0. |
Следова- |
|||||||
тельно, при |
|#||~>0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
/ (g (*)) == Bg (х) + Е2 (g (х)) - |
ВАх |
+ (BBX |
+ e2) |
|
||||||
и нетрудно |
проверить, что е = Вг± |
+ 82-^0 при JжЦ —по- |
||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
) - ВАх + о$\х\) |
(||^!К0). |
|
|
||||
С другой стороны, имеем из (4) |
|
|
|
|
|
|
||||
/ (g (*)) |
= (/ Uf (*)))' 1*-о х + оЦх||) |
d «I -v 0). |
|
|||||||
Сравнение |
этих |
выражений доказывает |
формулу |
(21). |
||||||
§ 9. Зависимые и независимые функции. |
|
|
||||||||
Криволинейные координаты |
|
|
|
|
|
|
||||
1. Зависимые |
и независимые |
функции. Пусть |
£7 — |
|||||||
область в Rx> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р е д п о л о ж е н и е |
1. Все функции, |
которые |
рас- |
|||||||
сматриваются в этом параграфе, непрерывно дифференцируемы в области U.
130 СВОЙСТВА-РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ. УРАВНЕНИЙ {ГЛ.. 2
Функции щ(х), ..., ит(х), т^.п, называются зависимыми в области U, если одну из них можно выразить через остальные, т. е. при некотором j
щ (х) — w (иг (х),..., м Ь 1 (a;), u j + 1 (х), ..., ите (х)). (1) Здесь w —-непрерывно дифференцируемая функция. Если
ни в какой подобласти V^U функции иг{х)щ |
. ,.чит(х) |
не являются зависимыми, то они называются |
независи- |
мыми в области U. |
|
П р и м е р 1. Координатные функции и{ = хи |
..., wm=» |
«=xm (m < п) независимы в любой области U. Функции &!=#!, u2*=x2i ^3= ^1 —х\ зависимы в любой области
U: щ — и\— и\.
Вопрос о зависимости функций исследуется с помощью теоремы о неявной функции. Введем вектор-функ- цию и {х) и ее матрицу Якоби
|
|
|
( |
диг (х) |
диг (х) |
дих (х)\ |
|
|
|
|
дип (х)диш(х) |
диш (*, I |
|||
|
|
|
|
дхг |
дх2 ••• дхп ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
Порядок матрицы |
и* (х) равен |
тХп. |
|
||||
Введем новые |
переменные |
|
уи у*, ..., уП1 |
связанные |
|||
с переменными хи |
х2, ..., хп соотношениями |
|
|||||
Vi^gi^u |
хг, ... , Хп), |
|
|
|
|
|
|
|
Угe fttei, Х2ч |
. . . , Хп), |
-. ., Уп = gn(xh |
Хг, ..., Хп) |
|||
или, в векторной форме, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
* - * ( * ) • |
|
(3) |
||
Определение 1. Замену переменных(3) б[/5е.м w#- |
|||||||
зывать гладкой обратимой в области U, если |
|
||||||
Iе . |
Вектор-функция у = g(x) взаимно однозначноото- |
||||||
бражает областьU на область V. |
|
|
|||||
2е. Обратнаявектор-функция |
|
|
|||||
|
|
|
*-/ДО |
|
(4) |
||
непрерывно дифференцируема в области V* |
|
||||||
В области U вместо координат хи |
х2, ..., хп можно |
||||||
ввести |
координаты yh |
y2, ..., [/„, так как соответствие |
|||||
между |
х и у взаимно |
однозначно. |
Поэтому |
функции |
|||