Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

§ 1] АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 241

Все рассмотрения производятся в области G.

1°. Если х = ф(г)— решение системы (1), то при Любой постоянной с вектор-функция x = q>{t-\-c) такж является решением системы(1).

Доказательство следует из формул

Пусть	х = ф(/) — решение системы (1), определенное
на интервале		/. Тогда	множество точек х = ф (£), t e	/,
является	кривой в пространстве В* (действительно, xt			e
= фД£),	...,	хп = фп(^), 2е Л— параметрические уравне-
ния кривой). Эту кривую будем называть фазовой траек-
торией (или		просто	траекторией) системы (1), а про-

странство Я*, в котором расположены фазовые траекто-


рии— фазовым пространством						автономной системы (1).
Интегральные			кривые		системы (1)		изображаются в
(w+D-мериом			пространстве			Rt,+x	координатами
it, xu	..., хп).	Если х		= ф (t) —
решение системы, то интеграль-
ная кривая задается уравне-
ниями х = ф (t),			t = t;		tezl,
так что соответствующая фазо-
вая траектория является проек-
цией	интегральной кривой на
пространстве		JR?	параллельно
оси t	(рис. 49). Конечно, фазо-
вая	траектория		дает	меньше			Рис. 19.
информации о решениях систе-

мы (1), чем интегральная кривая (которая дает полную информацию), но, тем не менее, для многих вопросов этого вполне достаточно. Примеры фазовых траекторий на плоскости были приведены в гл. 1, § 9.

2°. Две фазовые траектории					либо	не	имеют общих
точек, либосовпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть flf		^ — фазовые траекто-
рии,	отвечающие	решениям # = ф (£),				# =	я\|?(г), имеют
общую точку х°.		Тогда	ф(tx) = х° = я\|5(г2). Рассмотрим
вектор-функцию х		= я\|;(t	+ (t2 — *i))=X (0- Она является
решением системы (1), в силу свойства 1° их(^1)=ф(^1)»
так	что % (t) =зф(t) в силу			теоремы единственности. По-
этому ф (t)ssty(t +(f2—h))'.				T- £• кривые f i и ^2 совпадают.

16 М. В. Фепоююк

242	АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
	Таким образом, фазовое пространство	расслаивает
на	непересекающиеся траектории. Для	неавтономной

системы это не так: проекции интегральных кривых на пространство #£ могут пересекаться. Например, при п=* •= 1 всякая интегральная кривая проектируется на интервал оси х.

Определение. Точка а называется положением рав новесия автономной системы (1), если

3°. Если а— положение равновесия, то вектор-функц я (£)=== а, ~оо<^<оо? является решением системы (1).

Действительно,

11 =^ = 0 , /(*(*))-/(«)-<>.

Отсюда следует

4°. Если а—положение равновесия, то точка х = а есть фазовая траектория.

Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы; смысл этого термина ясен из 3°.

5°. Фазовая траектория,отличная от точки, есть гладкая кривая (г. е. в каждой точкеимеется ненулевой касательный вектор).

Действительно, если х = ф(t) — решение системы (1),

		dip (t )
то касательный вектор в точке х° = <р (t0) равен		dt -
В силу системы (1) этот вектор равен / (х°) Ф 0.
Теорема. Всякая фазовая траектория принадлежи
к одному из трех типов:
1)	гладкая кривая без самопересечений]
2)	замкнутая гладкая кривая {цикл);

3)точка.

Если фазовая траектория, отвечающая решению х

—ф (1),естьгладкая замкнутая^ кривая, то это решение есть периодическая функция t, с периодом Т > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если фазовая траектория не есть точка (положение равновесия), то она является гладкой кривой, в силу 5°; гладкая кривая либо незамкнута, либо замкнута.

Пусть Y— замкнутая фазовая траектория, отвечающая решению х = ф(0- Покажем, что это решение периодично. Возьмем точку fls-j; в силу 1° можно считать, что а =« = ф(0). Обозначим длину ^ через /. Элемент длины дуги

§ 1]

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА

243

кривой 7 равен

Так как f — замкнутое ограниченное множество и / {х) ф О на Y, то функция \/ (х) | ограничена на f снизу и сверху положительными постоянными

	0	< m < \| / ( a ? ) \| < M < o o ,			х<== у.
Пусть	yt—	дуга кривой у: х = ф (Г),0 < I < t, и /Ш —
ее длина:
Если t > 0 достаточно			мало, то у* будет частью кривой 7»
так как	ZU)KMt<l		при £< Z/M. Функция lit) —• моно-
тонно возрастающая			функция £ и	/(+«>) = +«>, так как
l(t)^mt.	Следовательно, существует			(и притом единствен-
ное) Т> 0 такое, что КГ) =-/. Ясно,					что ф ( Л = Ч>Ш

впротивном случае дуга ^г была бы частью кривой *у» и

еедлина была бы меньше, чем /. Следовательно, число Т есть наименьший период решения х = ф(£).

Мы получили также формулу для периода Т: это наименьший положительный корень уравнения

J	(2)
О

где J— длина кривой *у.

Установим групповые свойства решений автономной системы. Пусть х (t; x°) — решение задачи Коши

o-x°

(3)

для системы (1).

6°. х {tx + t2; x°) - х (*2; а?(^; ж0)) = ж(«xi x (£2; ж0)). (4) Д о к а з а т е л ь с т в о . Вектор-функции

являются решениями системы (1), в силу 1°. При Г=*0 имеем

фх (0) = х (tx; х°), ф2 (0) = х {tx; x°)f

т.е. ф1(0)=ф2(0), В саду теоремы единстгенности

4 ал


244	АВТОНОМНЫЕ		СИСТЕМЫ И	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ		[ГЛ. 4
<рх	(t) = ф2 (t) при всех t, откуда			следует первое из равенств
(4). Аналогично доказывается равенство первой и послед-
ней вектор-функций в.(4).
	Приведем еще менее формальное доказательство. На-
рисуем		кривую х	= ф (t), где ф (t) = х {t\ х°).		При	t =О
имеем		ф(0) = #°	и, двигаясь по кривой время		U + t2i мы

попадем в точку ф(£х + t2) = а?(^ + £2;#0)- Теперь придем

Рис. 20.

в эту точку другим способом. Сначала продвинемся вдоль

кривой за время, равное tt; тогда попадем в точку фС^)^

= ж(£1;#°). Затем из этой точки продвинемся за время t\

при этом уравнение кривой будет

иметь вид х

= tj? {t)

==ф (£; х (tx\ ж0)), так как при t = 0 имеем ф (0) ==х (tx\

x°)

(рис. 20). В силу

единственности

решения

при

£= ^

приведем

в ту же

точку,

что

и первым способом, т. е.

Ф(^1+ ^2)=^(^)» откуда и следует

(4). Если же сначала

двигаться

по кривой время tz, а

затем th

то

получим

второе из равенств (4).

Из этого свойства вытекает

следующее.

7°.

х{— t\

2. Векторные поля. Механическая интерпретация фа-

зовых траекторий. Пусть в каждой точке х области

G е

Их задан гс-вектор / (х). Тогда

говорят,

что

области

задано

векторное поле. Автономная система

(1)

пол-

ностью определяется заданием векторного поля f(x).

Го-

ворят,

что кривая

принадлежит векторному полю%

если

она в каждой своей точке касается вектору из этого век-

торного

поля (рис. 21),

Согласно

этому

определению

фазовые траектории автономной системы (1) принадле-

жат векторному		полю / (х). Действительно,	пусть		х =*
= фШ — решение		системы (1), определенное		при	t&I.
Пусть	п=2; уравнения а^^фД^), #2 = ф2(), t&I,				опре-
дедяют	кривую	(фазовую траекторию)	на	плоркостд

§ 1]	АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА		245
(ам, хг).	Как известно из математического анализа, вектор
(фз^о),	Ф2(*о))	касается этой кривой в точке #i = Ti(£0),
xl = q>2(t0), так		что вектор f{x\, xV) касается	фазовой

траектории (в точке (#?, х%)). Это же рассуждение справедливо и в «-мерном пространстве. Исключение составляет, разумеется, случай, когда фазовая траектория состоит из одной точки — положения равновесия.

Точки векторного поля / (х), в которых вектор / (х) — нулевой, называются критическими (или особыми) точками векторного поля. Таким образом, положения равновесия системы (1) — это критические точки векторного поля

/ (х). Векторное		поле	устроено просто в малой				окрест-
ности любой некритической точки.					Действительно, если
f(a)фO,	то f(x)	==/(«) + о(\х—-а\)			при х, близких к а,
т. е. векторы в		близких к а		точках	имеют	примерно ту
же длину	и то же направление, что и вектор /(ж).Столь
же просто устроены			фазовые	траектории		вблизи	точки,

отличной от положения равновесия. Если точка а — кри-

тическая, то длина \| / (х) \| вектора / (х) стремится	к нулю
при х->а. Направление же вектора f{x) при	х близ-

ких к а, может меняться весьма произвольно, и .даже при

п = 2 (т. е. на		плоскости) структура			векторного	поля
(и	соответствующих		фазовых	траекторий) может		быть
очень сложной.
-С автономной системой (1) связано еще одно важное
понятие — фазовый поток gl.				Вначале	приведем поясне-
ния. Возьмем любую точку х из области G, выпустим из
нее	фазовую	траекторию
и сдвинем точку вдоль тра-
ектории за время t. Полу-
ченную точку		обозначим
g'x. Тем самым определе-
но	отображение		x-+gfx
(каждая точка х области G
отображается		в	точку
gfx,	лежащую	в области
G).	Если D — подобласть				Рис. 22.

области G, то тем самым
определено отображениеD -+• g'D, т. е. каждая	точкаx&D
переходит при этом в точку gxx^£D = Dt	(рис. 22).

Область D при таком отображении деформируется; в § 2 будет показано, как при такой деформации изменяется объем области D.

246 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ 4

Строгое определение отображения g* таково. Пусть х(*1 У)— решение задачи Коши x\t=o=y для системы (1). Тогда

gfy = x{t\y).

(5)

Из свойств 6°, 7° вытекают следующие групповые свой-* ства отображения g*:

где / — тождественное	отображение:	1х = х для любой
точки ж е б , Первое	из соотношений	(6) означает, что
gCi+^y = gh (g^y) для любой точки у		eG, и если пере-

писать его с помощью (5), то мы получим первое из соотношений 6°. Множество преобразований, зависящих от одного вещественного параметра t и обладающего свойствами (6), называется однопараметрической группой преобразований; подробнее см. [3].

Приведем одну цз физических интерпретаций автономной системы (1). Рассмотрим установившееся (стационар-


ное) течение жидкости в трехмерном					пространстве		R3.
Это течение характеризуется тем,				что частица жидкости
в тот	момент		времени, в который	она	проходит	через
точку	х	= {хг, х2, хв), имеет скорость v (х) = (vx (x), v2					(x),
vs (x)). Эта скорость зависит только от точки а?, но не от
времени: если другая частица в другой момент времени
пройдет		через	точку х, то мгновенная		скорость	в этой

точке будет той же. Тем самым в пространстве задано векторное поле — поле скоростей v (x), и соответствующая автономная система, описывающая движение частиц жидкости, имеет вид

Фазовые траектории называются в этом случае линиями

	тока; это кривые, по которым движутся
	(текут) частицы жидкости. Термин «фазо-
	вый поток» при такой гидромеханической
	интерпретации также становится абсо-
	лютно прозрачным.
	Введем понятие трубки тока. Возьмем
	в трехмерном пространстве	площадку 5
	(т. е. поверхность), которая не касается
Рис. 23.	ни в одной точке векторов поля скоростей,
	и выпустим из нее линии	тока. Множе-

ство, которое они заполнят, и называется трубкой тока (рис. 23).

§ 2]

ОКРЕСТНОСТЬ НЕОСОБОЙ ТОЧКИ

247

Точно так же и в тг-мерном пространстве векторное поле / (х) (см. (1)) можно интерпретировать как поле скоростей, фазовые траектории — как линии тока, и можно ввести понятие трубки траекторий (трубки тока).

§2. Структура решений автономной системы

вокрестности неособой точки

Рассмотрим автономную систему из п уравнений

в малой окрестности U точки а, отличной от положения равновесия: f (а)Ф0.

Выясним поведение решений системы (1) в окрестности точки а. Векторное поле локально устроено весьма просто: f (x)ttf(a) при #, близких к а, т. е. близкие векторы имеют примерно ту же длину и то же направление, что и /(#)• Фазовые траектории в малом будут почти прямыми, и малая окрестность точки а расслаивается на непересекающиеся фазовые ^траектории. Покажем, что в области U можно ввести такие координаты, в которых фазовые траектории будут прямыми линиями. Прежде чем приводить, строгие формулировки и доказательства,


поясним			выбор	этих		координат. Пусть п = 2, а = (0, а),
при	t = 0		траектория			пересекает			прямую х2	= а	в точке
(£, а). Чтобы задать						точку на			траектории,	необходимо
задать еще время t (рис. 24). Итак, точка										на	фазовой
траектории вполне					определяется				заданием	двух чисел
(\|,	t),	с одной стороны, или заданием декартовых									коорди-
нат	точки {хи			х2).	Геометрически очевидно, что						соответ-
ствие		(#!, х2) -\(i,				t)	в	малом	взаимно	однозначно.
Уравнение траектории							в	координатах (£, t)		есть \ в 1о,
т. е. фазовая траектория в этих									координатах — прямая
линия		(рис. 24).

Теорема . Пусть точка а не является положением равновесия системы(1). Тогда в малой окрестности точк а систему (1) с помощью гладкой замены переменных можно привести к виду:

dyi	п	dy* -	О	dlJn~l	О	dy* - 1	(9\
Траектории системы (2) — прямые линии:
Ухв	с1?	t/2 — с2?	...,	yn-i«»	с,»-!,	#»«=»* + сЛ.

248 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как f (а) фО, то	можно,

не ограничивая общности, считать, что/п(#)=7^0.Проведем
гиперплоскость П: хп~йп\	ее точки	имеют вид (\и ...
. •., \|n-i, ап) •• (\|, ап). Пусть # = Ф (^, 1)"— решение систе-
мы (1) такое, что
ф(0, \|) = (\|, яп),		(3)
т. е. начальная точка	траектории	при / = 0 лежит на
гиперплоскости П. Формула
	I)	(4)

дает искомую замену переменных: обозначим

В новых координатах у траектории будут прямыми линиями. Действительно, по определению решения ф(£,%°)

			Рис. 24.
имеем, что	\| i 7	...,	\| n - i	постоянны вдоль		траектории
# = ф ( £ ; ! ° ) и	ее уравнение			в переменных	у	имеет вид
Ух= £?*		Угв	Й,* ... , г/п~ь == Бя-i,		2/п = ^.

Остается проверить, что замена переменных х = ф(,у) является гладкой, т. е. что выполняются условия теоремы об обратной функции. Имеем а = (аг, ... , ап) -> Ь = e (tti, ..., an-i, 0) при замене (4). Вычислим матрицу Якоби вектор-функции ф(#) при у =Ь. Имеем из (3)

6*.

Ф»(0, I., Следовательно,

( 1 < Ь

1)-.

§ 3J

ИЗМЕНЕНИЕ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

249

Далее, в силу того, что ср— решение системы (1), имеем

так что матрица Якоби имеет вид

	0	. . .	О	•
0	1	. . .	О	•
0	0	...	1	•
	О	. . . 0

(* обозначены неизвестные нам числа). Поэтому	det A =
= /п (а) Ф 0, и условия теоремы об обратной	функции
выполнены.

§ 3. Изменение фазового объема 1. Теорема Лиувилля. Рассмотрим автономную систе-

му из п уравнений
	Tt- /<*>•	W
Пусть # = # ( £ , а)	— решение этой системы, которое есть

дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция от переменных t, а в некоторой области; в этой области

ипроизводятся вс£ рассмотрения.

Ле м м а 1. Производная по параметру есть решение системы

IF да "~ J {X)		fa'	W
(df.(x)\	матрицаЯкоби (гл. 2, § 9).
Здесь /' (х) = ( -—^ 1 —	матрицаЯкоби (гл. 2, § 9).
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Дифференцируя	обе части	си-

стемй (1) по а и учитывая, что j^jt = "gfg^i получаем

что и доказывает (2).

Система (2) называется системойв вариациях. Пусть решение x{t, а0) известно; фиксируем а = а0. Тогда

да

250 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ.4

так что вектор-функция			dx(t,a)	есть решение линейной
			•=—^——
однородной	системы. Вычисление			высших	производных
j - I х	также	сводится к решению линейных систем
а=а0
дифференциальных		уравнений.
Рассмотрим семейство			решений системы		(1), зависящее

от п параметров уг, ... , уп ' х = х (t, у). Будем предполагать, что эта вектор-функция дважды непрерывно диффе-

ренцируема по переменным t,				yh	..., уп		в некоторой об-
ласти, и введем обозначения
						„ Vi,?	у) — ^ ^ —щ ,
								(3)
	Лемма 2. Пусть J (t, у) фО. Тогдасправедлива фо
мула Лиувилля
	•SrlnJ(t,y)		= divf{x(t,y)).					(4)
	Напомним, что дивергенцией				(или расходимостью)
векторного поля
	/ \Х) == (/l \%V	• • • 1 Xn)l		* * • 9 In		\Xli •• • )		#7l))
называется функция
			2	= 1		X
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Из леммы			1 следует, что матри-
	дх
ца	jj- удовлетворяет	линейному			матричному			уравнению
	d	дх ___ ,, , »			дх
	dt	ду ~~ '		^ ' ду*
где	х == х (t, у). Применяя		формулу			дифференцирования
определителя (гл. 3, § 4, лемма				1), получаем

d i v

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf