2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

П р и м е р 4. Решим уравнение

Это уравнение однородно по у, у\ z/", т. е. не меняется при замене этих функций на ty, ty', ty". Поэтому сделаем подстановку

Решения однородного уравнения равны w = С/х. Применяя метод вариации постоянных, найдем частное решение неоднородного уравнения:

Следовательно,

Последний интеграл выражается через элементарные функции.

П р и м е р 5. Решим уравнение

Полагая у" = 2 , нолучаем уравнение

5z'2 - 3zz" = 0,

пе содержащее х явно и однородное по z, z\ z". Воспользуемся последним свойством и сделаем подстановку

Здесь и ниже Cj — произвольные постоянные. Интегрируя, получаем

у в -ЬСг{х + С{У/г + Съх + С4.

Интегральные кривые при С2 Ф 0 — параболы. Кроме того, имеются решения

Заметим, что исходное уравнение имеет вид

((j,")-*")"-0.

Это общее уравнение парабол, т. е.любая интегральная кривая — парабола (или прямая — случай вырождения), и уравнение любой параболы — решение данного уравнения.

§ 9. Нули решений однородных линейных уравнений

второго порядка

1. Приведение уравнения к двучленному виду. Рассмотрим уравнение второго порядка

0 (1)

на отрезке / = [а, р]. Коэффициенты аЫ, Ых) вещественны инепрерывно дифференцируемы при х&1.

Уравнение (1) имеет очевидное решение у(х)^0; будем называть его тривиальным. Нас интересуют нули вещественных нетривиальных решений уравнения (1). Это уравнение можно привести к виду, не содержащему первой производной, спомощью подстановки

где z(x) — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в уравнение (1), получаем

cpz" + (2q/ + ay)z + (ф" .+шр' + b(f)z = 0,

приводит уравнение (1) к двучленному виду:

Функции у(х) и z(x) имеют одни и те же нули. Будем рассматривать уравнения вида

Это решение может иметь не более одного нуля. 2°. Если q > 0, то всякое решение имеет вид

z/= Ci cos У qx + С2 sin1/qx.

Любое решение имеет бесконечно много нулей, причем расстояние между соседними нулями равно n/1/q и оно

тем меньше, чем больше коэффициент q.

На основании примера можно сделать следующий эвристический вывод: решение уравнения (3) колеблется тем чаще, чем больше q(x).

206 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ [ГЛ> 3

Этот вывод правилен, как показывает

Теорема сравнения. Рассмотрим два уравнения

Уг + ?2 (*) Уг = 0

с непрерывными и вещественными на отрезке I = [а, Ы коэффициентами. Если

Проинтегрируем это тождество от хх до х2. Так как

и поскольку yi(xi) = yt(x2) = 0, то получим

У2 Ы — Ух (^i) У2 (*i)] +

г2

равенства (6) отрицательна; полученное противоречие доказывает теорему.

ними нулями решения уг(х) лежит ровно один нуль решения у2(х).

Д о к а з а т е л ь с т в о , Пусть у^х), у^(х) — линейно независимые решения уравнения (3), Они не могут иметь

ло бы нуль, лежащий между xz и #4. Это противоречит тому, что хи х% — соседние нули.

§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя

1. Уравнения с аналитическими коэффициентами.Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

сходится хотя бы в одной точке ЪФ а. Тогда существует число Д > 0 такое, что ряд (2) сходится при \х—а\ <R и расходится при | # — a \ > R (если Д==оо? то ряд сходится при всех х). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Здесь х может принимать как

208 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ [ГЛ. 3

вещественные, так и комплексные значения, так что область \х —а\ <R при R конечном есть круг в комплекс-

ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, и все продифференцированное ряды имеют тот же радиус сходимости.

Т е о р е м а 1. Пусть коэффициенты р(х), q(x) ураекения (1) аналитичны в круге \х —а\ </?. Тогда всякое решение у(х)- уравнения (1) аналитично в этом круге, т. е. разлагается в степенной ряд

сходящийся в круге \х —а\ <R.

Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы см. в [1, 28]. Эта

рядов. Пусть а— 0, для простоты. Будем искать редце-

Положим 2/0 = 1, i/i = 0, тогда

Уг = 2/4 = Уь= Уч= Уь= .. . = О,

т. е. отличными от нуля будут только коэффициенты ysh. Имеем

откуда находим

Тем самым построено решение

п=0

Второе линейно независимое решение получим, положив i/o — O, i/i = 'l. Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты ySk+i- Имеем

ных х. Действительно, коэффициент,х уравнения — функция, аналитическая при всех ж и в силу теоремы 1 все решения уравнения Эйри аналитичны при всех х.

2. Регулярные особые точки. Многие задачи математики, механики, физики приводят к уравнениям второго порядка, вида (1), коэффициенты которых — рациональные функции

где Pj{x)y qjix) — многочлены.. Можно считать, что эти дроби несократимы; тогда в точках, в которых р2(х) = 0 или q2(x) = 0, хотя бы один из коэффициентов уравнения (1) обратится в бесконечность. Такие точки называются особыми точками уравнения (1). Решения уравнения (1) будут, вообще говоря, иметь особенности в этих