Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 459 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 11]

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Сражений на /?, т. е. дифференциальная операция j -

переходит в алгебраическую операцию — умножение на р.

Это свойство преобразования Лапласа позволяет сводить решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к решению алгебраических уравнений. Рассмотрим задачу Коши:

0(0) = уо, у'(0) = уи...,

у^ЧО)

где #i, ..., ап — постоянные. Обозначим y{x) = Y(p), f{x) = F(p).

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4) и используя свойства 1°, 2°, получаем

(РпПр) - рп-1у0 - . . . - !/„_,) +

+ а1(рп-1Пр) - рп-гу0 - ... - уп-г) + . . . + апПр) = F(p),

или

где А(р), В(р) — многочлены. Отсюда

Если теперь по Y(p) найти у(х), то задача Коши будет решена. Остается, конечно, вопрос: как восстановить оригинал по изображению? Ответ на этот вопрос известен: имеется формула обращения для преобразования Лапласа, а именно

b+ioo

55 J

d-ioo

Интеграл берется по прямой Rep = b (см. [33]).

При практическом применении операционного исчисления резко приходится пользоваться этой формулой — обычно используются готовые таблицы оригиналов и изображений. Чтобы сознательно пользоваться ими, необходимо знать, что справедлива

Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и . Оригинал	по изо-
бражению восстанавливается единственным	образом,
с точностью до значений в точкахразрыва.

ft »/Г Т» А

82 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.1

Составим небольшую таблицу, которой вполне достаточно для того, чтобы решить задачу Коши для уравнения вида (4) с правой частью — квазимногочленом. Пусть п ^ Оцелое, тогда

оо

'xndx п\

Из этой формулы, используя также формулы cosx=*

1	.	1
а т {eix + e~ix),		sinx = tp (eix	— e~ix), получаем таблицу:
Оригинал		Изображение	Оригинал	Изображение
1		1	COS (ОХ	P
1		Р	COS (ОХ
		Р
хп		п\	sin coo;	(0
хп		рп+х	sin coo;
		1
			X COS (OX	(/ + Ш2)2
		тг!	x sin (ox
х е			x sin (ox
х е
П р и м е р	1. Решим задачу Коши
Делая преобразование Лапласа, получаем				(p2+l)Y(p)
'- /г1, так что

Этой функции нет в таблице, но вспомним о том, чторациональную функцию можно разложить на простейшие дроби:

V/гЛ

По таблице находим

у(х) = 1 —cos х.

Вернемся к задаче Коши (4). Если правая часть уравнения есть квазимногочлен, то, как видно из табли-

§ 11]

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

цы, ее изображение F(p) есть рациональная функция. Поэтому изображение решения Yip) есть рациональная функция, что следует из формулы (5). Разложив эту функцию на простейшие дроби и воспользовавшись таблицей, можно решить задачу Коши (4).

П р и м е р 2. Решим задачу Коши

у" + <$>У = А	cos юг, у (0) = 0, у' (0) = 0.
Здесь (Оо > 0, со> 0,	А Ф 0 — постоянные. Переходя к

изображениям, получаем

Здесь приходится различать два случая. Пусть (нерезонансный случай — см. § 7, пример 1). Тогда

и по таблице находим

У (Х) = ~2 2 ( C 0 S Ш ~"

Если со= «о, то У (р) = Ар/(р2 + «о)2, и по таблице находим

у № = 2© s i n ^о^'

В рассмотренных выше примерах задача Коши была поставлена при х = 0. К этому случаю можно свести задачу Коши при х = а:

для уравнения (4),	если	сделать замену переменной
х —а = х и положить	у{х) =у(х).		Тогда получим задачу
Коши:
уЫ) +flig"-1+ . . . + апу = /(Ж+ а),
= уо, Г(0) =Уи		...,	г

Точно так же операционное исчисление применяется к системам линейных дифференциальных уравнений с ностоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу Коши

84 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

для системы из п уравнений
g - Л у - / ( * ) , уЩ = у°.	(6)

Здесь А есть постоянная (п X п)-матрица, f{x) векторфункция с п компонентами и у0 — постоянный д-вектор. Изображение вектор-функции (т. е. ее преобразование Лапласа) снова вводится поформуле (1), и свойства 1°—3° полностью сохраняются.

Переходя к изображениям в задаче (6), получаем

(pI-A)Y{p)-y* +F(p),

(7)

где Y(p), F(p) —изображения вектор-функций у (х), f(x). Отсюда находим изображение

и затем с помощью таблиц	восстанавливаем	оригинал.
При практическом применении этого метода		удобнее не
вычислять обратную матрицу	(pi —А)"1, а непосредствен-

но решать систему линейных алгебраических уравнений (7), например, методом исключения.

§ 12. Линейные разностные уравнения
Пусть имеется последовательность уи у2, ..., уп, ...,
члены которой связаны соотношениями
Уп = a^n-i + пгУп-г + ... + ahyn-h) n>k+l,	(1)

где #i, a2i ..., ah — заданные числа, ah =£ 0. Такие последовательности называются рекуррентными (или возвратными), а соотношение (1) называется однородным линейным разностнымуравнением порядка к. Более точно, его называют разностным уравнением с постоянными коэффициентами. Свойства уравнения (1) полностью аналогичны свойствам линейного дифференциального уравнения порядка к спостояннымикоэффициентами:


		zw = ulZ<*-i> + a^k-2)		+ ... + akz.		(2)
В частности, справедлив принцип				суперпозиции: если по-
следовательности {уп} и izj удовлетворяют						уравнению
(1),	то ему же		удовлетворяет		последовательность
{ауп	+ Pzn}, где a, P— произвольные постоянные.
Ясно, что		задав	первые к членов		уи у2, ..., Уь по
формуле (1)		можно последовательно			найти	yh+i7

§ 12]	ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	85
Решим уравнение (1). Будем искать частное решение
в виде
	Уп= Яп,	(3)

где %Ф0 — неизвестное число. Подставляя в (1) и сокращая на кп~к, получаем уравнение

(4)

которое называется характеристическим. Тем самым доказано, что если % — корень характеристического уравнения, то последовательность уп = Я" есть решение разностного уравнения (1).

Пусть корни Ки %2ч ..., К характеристического урав
нения различны, тогда		последовательность
рп	= ед	+ салг + ... + а д ,	(5)
где С\|, С2, ...,	Ch — произвольные постоянные, будет ре-
шением уравнения (1). Более того, все решения			этого

уравнения даются формулой (5) (см. [19, 43]). Теперь аналогия между разностным уравнением (1) и дифференциальным уравнением (2) становится очевидной (сравните (5) и теорему 1, § 5). Все решения уравнения (1) можно найти и в том случае, если характеристическое уравнение имеет кратные корни.

П р и м е р 1. Найдем n-й	член	последовательности
Фибоначчи
Уп+2 = Уп+i + Уп,	*/i = 1,	Уг = 1.

Характеристическое уравнение есть К2 = X + 1, его корни равны %1Й 2 = (1 ± У5)/2, так что

Полагая п = 1, 2, находим d , C2, и последовательность имеет вид

2 ) \ 2

П р и м е р 2. Найдем коэффициенты ряда Тейлора

оо

86 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. I

Выведем рекуррентные соотношения для коэффициентов ап из тождества

со

1 = (1+ х + х2) 2 апхп =<

					со
		-= % + К		+ ах)х+	2 («п + я«-1 + Яп-2) zni
					П=2
откуда находим
при	тг>2	и ао = 1,		а, = —1.	Положим	a-2= = ^-i= = 0;
тогда	рекуррентное		соотношение будет			выполняться
при	всех	п ^ 0.	Из	характеристического		уравнения
Я2 + Я+ 1 = 0 находим
				2;		^ 3
		1±г/3)=C O S -				^ 3

Следовательно,

.2ЯП .2ЯП

С% 3

Полагая п — 0, 1, получаем

= * g-iJt/3

так что

)lJ—о^

Линейные разностные уравнения возникают, например, при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим простейшее уравнение

0, (6)

где а — постоянная, с начальными данными у(0) = 1. Это решение равно у = е~ах. Зададим число fe>0, и заменим

~	У (& + h)— у (
производную приближенно отношением	^	,

считая шаг h достаточно малым. Тогда получим вместо

(6) уравнение

(

)

§ 12]

ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Положим y(nh)=yn, тг = О, 1, 2, •.., тоща получим разностное уравнение первого порядка:

так что yh=(l —ha)h. Рассмотрим уравнение (6) на отрезке [0, 1] и возьмем шаг h = i/n. Тогда получим

Поэтому г/(1) стремится к е~а при п-+°°, т. е. к значению точного решения. Если коэффициент а зависит от х, то мы получим разностное уравнение с переменным коэффициентом:

( 1 / )

где cin^ainh). При аппроксимации дифференциальных уравнений возникают также разностные уравнения более высоких порядков [19, 43].

ГЛАВА 2

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Основная теорема

1. Формулировка. В этой главе независимое переменное есть t (оно играет роль времени), неизвестные функции обозначаются х&), ..., xn(t). Все функции и векторфункции принимают вещественные значения. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

•JJjT = = / l \л> ^1» ^2» • • • э %п)1

dx2

~flj = = /2 \РчХЦ %2i • • • » Xn)i

dxn

~£J~= = /n \fi x\i ^2T • • • » ^n)«

Мы будем использовать векторные обозначения. Введем вектор-функции

(

Тогда система запишется в виде

dx м/.

Это общий вид системы первого порядка в нормальной

ж	(	-	dA
форме I т. е. разрешенной относительно			-^ и
Задачей Коши (или задачей с начальными данными)
называется следующая		задача: найти	решение ас(t) си-
стемы	(1) такое, что

§ 1]		ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА		89
где t0	— заданное	число,	х° = (#?, ... , Д ) —	заданный
вектор.	Решением	системы	(1) называется вектор-функ-

ция #=ср(£), которая определена и непрерывно диффе-

ренцируема

на

некотором

интервале

Ui, tz)

удовлетво-

ряет системе.

Пусть х = ф (t) — решение системы

(1),

определенное

при t^l

= (tii

U). Интегральной кривой системы

(1) на-

зывается

кривая # = ф(£),

£= £;

i e /

в (тг+1)-мерном

пространстве

Rfjc1

с координатами

U, хи

..., хп)- Гео-

метрическая

интерпретация

задачи

Коши такова: требу-

ется найти интегральную кривую

системы (1), проходя-

щую через заданную точку (t0, х°) е

Rn+1.

Вектор (фЛ^о), ..., Фп(£о), 1) касается интегральной

кривой х

= ф(£), t =

t, в точке х = ф(t0), t = t0.

В силу (1)

этот вектор равен вектору

(/i(£0, ф(£о)), ...,

/п(^о,ф^о)), 1).

Пусть вектор-функция

/ (t, x)

определена

области

GczRn+l.

Построив в

каждой

точке {t, x) e

вектор

(/i (^ ^)» • • •»/п(^» #)»

1),

получим

в области

G векторно

поле. Интегральные

кривые

системы

(1) принадлежат

этомуполю, т. е. касаются векторов этого поля в каждой точке, и обратно, всякая непрерывно дифференцируемая кривая х = ф (t), t = t, принадлежащая данному векторному полю, является интегральной кривой системы (1). Такова геометрическая интерпретация системы (1).

Сформулируем основную теорему теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я и е д и н с т в е н н о -

сти.	Пусть G — область в пространствеRn+1			(с коор-
динатамиt, xu		..., хп), вектор-функция f(t,x)		и ее про-
	df. (t, x)		определены и непрерывны
изводные —~		> 1 ^ * \ j ^ n ,
в области G.		Рассмотрим задачу Коши (1),		(2), где
(*0, х°) е= G. Тогда
1°.	Решение	задачи Коши	существуетна некотором
интервале (to —6, to + 6).
2°.	Решение	задачи Коши	единственно, т. е. если

имеетсядва решения фШ, ф(£) задачи (1), (2), то ц>Ш в ЕЗ i|)U) в некоторойокрестности точки t0.

Геометрическая интерпретация основной теоремы такова: в условиях теоремы через каждую точку области G проходит интегральная кривая, и притом только

однаЛ

90 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2

Для доказательства этой теоремы сведем систему дифференциальных уравнений (1) к системе интегральных уравнений.

Л е м м а 1. Задача Коши (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений

(3)

Именно: 1)

всякое решение задачи (1), (2) удовлетворяет

уравнению

(3);

всякое непрерывное на некотором ин-

тервале (t0

—6,

+ 6) решение

уравнения (3) является

решением задачи

(1), (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х(t)

— решение

задачи

Коши (1),

(2),

определенное на

интервале

I=(to

—8,

+ 6), и пусть

t лежит на этом интервале. Интегрируя

обе части (1) от t0

до t

и учитывая

(2), получаем

(3).

Пусть х (t) — непрерывное

на

интервале

/ решение

уравнения

(3). Тогда х (t0) = х°, так

что (2)

выполнено.

Далее, так

как

вектор-функции fax

непрерывны, то

вектор-функция

w(t) = /(t,

x(t))

непрерывна при

i e / }

потому

вектор-функция

J w ( t ) dt дифференцируема

'о

при t e /. Следовательно, вектор-функция х (t) дифференцируема при t e /. Дифференцируя обе части равенства (3), получаем, что x(t) удовлетворяет системе (1).

Уравнение (3) запишем в операторной форме:

			z(t)-A{x.{f)).						(4)
Здесь А — оператор
					t
		A{x(t)) = x«+			\|/(Г, x{l))dU				(5)
	Сформулируем определение оператора.
	Пусть каждой функции				x(t)	из некоторого множеств
функций		М поставлена в соответствие						некоторая функ
ция	y(t). Тогда мы		говорим, что задан операторЛ, пере-
водящий функцию			x(t)	в функцию y(t).
	Будем	записывать		это	в	виде	y(t)=A(x(t))		или
A:	x(t) -+y(t) (читается: А				переводит		x(t)	в y(t)).
	Это определение дословно переносится на тот случай,
когда х (t)t у {t) — вектор-функции.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 459 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf