Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 457 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 8]	ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ	61
Л е м м а . Пусть Т(х) есть {пХп)-матрица, z(x) есть
п-вектор. Тогда
	I «г(х)«с»=£ £ Ц с) + У()^ -	(3)
Таким образом, правило дифференцирования произве-
дения	Т (х) z (х) матрицы-функции и вектор-функции в

точности такое же, как и для произведения скалярных

функций. Формула (3) проверяется непосредственно.
Т е о р е м а 2.	Пусть собственныезначения Ки Х2, ...
..., Хп матрицы А	различны. Тогда всякое решение си-
стемы(1) имеет вид:


	у (х) = С/'Ч + с/*\			+ ... + Спе%п*еп,	(4)
где ev е2, . . . , еп — собственные векторы матрицы А					и
Си	С2, ..., Сп — произвольные постоянные.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Введем новую неизвестную век-
тор-функцию z (х)		по формуле
		у(х)	= Т*(х),		(5)
где	Т — матрица,	приводящая		матрицу А к диагональ-

ному виду (см. (2)). Подставляя (5) в (1), получаем систему

	1
так	dT	обе части этой системы слева
так	как g- ^ 0. Умножая	обе части этой системы слева
на	Т~1 и учитывая, что	7Г""1ЛГ = Л, получаем систему

A Z

В покомпонентной записи эта система имеет вид

т, е. она распадается на тг независимых уравнений. Все решения системы даются формулой

Zi — и хе , z 2 — С/2е » •••» zn — ^ ТПУ »
где С\|, С2, ..., Сп — произвольные постоянные, или
z = С / 1 ' / ! + С/2 / + • • •+ CneKxfni	(6

62 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

где /ft — вектор, у которого к-я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Так как столбцы

матрицы Т — собственные векторы матрицы Л, то Tfh			=
= eh	и, подставив (6) в (5), получим	(4).
Итак, алгоритм отыскания всех решений системы (1)
следующий:
1°. Находим собственные значения Ки Х2, ..., Яя мат-
рицы А из характеристического уравнения
	d e t U - X / ) = O .
2°. Находим собственные векторы		ех, е2, .,., епг	ре-
шая п систем линейных алгебраических уравнений
	АУ = КУ; АУ = КУ\ ...; АУ	= Ьпу-

3°. Выписываем решение по формуле (4).

Пусть все элементы матрицы А вещественны. Найдем все вещественные решения системы (1).

Лемма . Пусть А — матрица с вещественными элементами. Если е— ее собственный вектор, отвечающий

собственному значению	X, то % — собственное значение,
которому отвечает собственныйвектор е.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	По условию, Ае = Яе. Перей-

дем к комплексно сопряженным величинам: Ае = he. Так как элементы матрицы А вещественны, то А = А, и потому

Ае = %ё.

Следовательно, % — собственное значение, е — собственный вектор.

Если Я— вещественное собственное значение матрицы А, то собственный вектор е можно взять вещественным, и мы получим вещественное решение у = е е. Пусть К— комплексное собственное значение; тогда решение у = = е^е комплексно. Его вещественная и мнимая части—- решения системы:

Система имеет также комплексно сопряженное решение

у = е е, которому отвечает пара вещественных решений Uv —Уъ т. е. та же, что и для у. Все вещественные решения системы получаются следующим образом. Пусть Xi, ..., Кк — вещественные собственные значения, Kh+u ^ft+i,

§ 8] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 63

К+2, ЯА+2, ... — комплексные собственные значения. Всякое вещественное решение системы имеет вид

+ Ch+1 Re (/f t + 1 4) + Cft+2 Im

где С} — вещественные постоянные. Рассмотрим неоднородную систему

{x). (7)

Здесь Рт (х) — вектор-функция, компоненты которой —

		т
многочлены степени не выше чем т:	Рт	(х) = 2 PJX\
где Pj— постоянные векторы.		3=0
где Pj— постоянные векторы.

1°. Нерезонансный случай. Если \i не есть собственное значение матрицы А, то система (7) имеет частное реше-

ние вида
У-"?*<?т(х),	(8)

где Qm(x) — вектор-функция, компоненты которой—мно- гочлены степени не выше чем т. При этом матрица А может иметь как простые, так и кратные собственные значения.

Будем искать Qm(z) в виде

Qra (X)= S qjX^

	i=o
где qj— неизвестные	постоянные	векторы. Подставляя
в (7) и сокращая на е?*9 получаем
(\|i/ ~ Л) Qm	(х) = Рт (х)	-

Приравнивая слева и справа коэффициенты при степенях хт, хт~1 и т. д., получаем

{\xl — A) qm	= рп,
(fx/ — А) дт_г	= рт_г — 77igwf	(9)

Матрица \il — А невырождена, так как \х не есть собственное значение матрицы А, и из первого из уравнений

(9) находим qmt

64 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ {ГЛ. 1

Затем из второго из уравнений (9) находим qm-i и т. д.

2°. Резонансный случай. Пусть \х —• собственное значение матрицы Л, и пусть собственные значения матрицы А различны. В этом случае система (7) имеет частное решение вида

у =* e*xQm+l (х),

где Qm+i (#) — вектор-функция, компоненты которой суть многочлены степени не выше, чем тп+1. В этом случае

удобно сделать	подстановку (5), тогда система (7) примет
вид
^ = я А	+ #UOr), ^ - X2z2 + e»xU (), ...

где fjix) — компоненты вектор-функции T'^Qm (x). Система распалась на п уравнений первого порядка, частные решения которых ищутся так же, как и в § 4.

Пример . Решим систему

х == Ах - у —2z + t,

у == х + sin f,

z = Gx - 2y - 3z.

Вначале решим однородную систему. Характеристическое уравнение Я3 —Л2 + А - 1 = 0 имеет корни ?w = 1, К2,з = ==»±г. Собственный вектор ^ определяется из системы

		Зх -	# -	2z = 0,	а: — г/==0,		6л: -	2г/ - 42 = О,
так		что х== у = 2 и можно взять е, = (1,1,1)т. Собствен-
ный		вектор	е2	определяется из системы
(4 -		i)x - у - 2z = 0,			x-iy	= 0,	6л: -	2i/ - (3 + j)z = 0,
так		что x — iy,		г = 2ii/	и	можно	взять е2 = (1, — г, 2)^.
В	качестве		е3	можно взять вектор				е.3 == е2 = (1,i, 2)T',
так	как матрица системы вещественна и собственные зна-

чения Кгг Я3 комплексно сопряженные. Следовательно, все решения системы имеют вид

где С)— произвольные комплексные постоянные.

§ 8]	ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 65
	Найдем всевещественные решения однородной систе-
мы. Имеем
	(	1\	/cos t \		/ sin t \
		- Н =	sin*	] + Н - c o s * ) .
		2)	\2 cos t)		\ 2sin t )
Обе последние		вектор-функции — решения, и всякое ве-
щественное решение системы имеет вид
	0		f cos t \			/ sin t \
			+ A2[	sin*	+ Л , - COB«L
где Aj— вещественные постоянные\2costJ.						\2sintJ
	Найдем частное решение			неоднородной системы. Бу-
дем искать его в виде суммы частных						решений системы
с правыми частями
Первое изних возьмем в виде
		у}=	«2+ V	= а + *6.

Подставляя в систему, получаем (Л — матрица системы)

такчто

Аа = 6, АЪ = — /1# Из этих систем находим 6, а и частное решение

Найдем второе частное решение, и притом вещественное.

Характеристическое уравнение	имеет	корпи	Я2,в = ^Ы
кратности 1, и потому частное	решение	следует искать
в виде
ах cos t + a2 sin t + t (a3	cos t + a4 sin t)f
где aj — постоянные векторы. Чтобы упростить			выклад-

ки, воспользуемся тем, чтоsin^Ime** . Поэтому решим вначале систему с правой частью elif%% /2 = (01 11 0)т и

66 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

затем возьмем мнимую часть полученного решения. Частное решение возьмем в виде

у2 = aelt + btelt.

Подставляя в систему, получаем

ia + itb + Ъ= Аа + tAb + /2,

так что

(А — И) Ь = О, (А — //) а = — Ъ + U

Матрица А — И вырождена: det (Л —г/)=0, поскольку %=*i— собственное значение матрицы А. Ранг матрицы А —И равен 2. Поэтому первое уравнение имеет решение 6 Ф 0, определенное с точностью до числового множителя а =5^0. Это число а мы найдем из условия совместности второй системы.

Система уравнений (А — И) Ь = 0 есть

Третье уравнение можно сразу отбросить (ранг матрицы системы равен 2). Отсюда находим

Вторая система уравнений имеет вид (а==(#,у, z)r)

(4 — i)x — y — 2z = ia, x — iy = a—l,

6#-2г/-(3-НЬ = 2а.

Выражая х через у из второго уравнения, получаем систему

2 (2iy - z) = ia + (4 - i) (1 - a), (3 + 0 (2iy — z) = 6 — 4a.

Поделив первое уравнение на второе, получим уравнение для а, откуда найдем а = ( 1 + 20/8. Компоненты вектора а удовлетворяют системе

x i y + (2i7)

z 2 ^ + ^ ( l

Это система трех уравнений с двумя неизвестными, которая имеет бесконечно много решений, так что вектор а не определяется однозначно. Не следует этому удивляться. Исходная однородная система имеет решение вида Celtf2i и потому вектор а определен с точностью до ела-

§ 9] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 67

гаемого вида С/2. Полагая у =*0, получаем частное ре^ шение

2i — 7	\
0	W.

f (1 +130/

Вычисляя мнимую часть этой вектор-функции, находим частное решение

/cos t — 2 sin t \		/8cost — 28 sin A
+ sin*	+ '	0
+2sinf/	rfZ	\13cos* + sint /

Всякое вещественное решение есть сумма решения родпой системы и найденных выше двух частных решений

У= Уо + У1 + У'2-

§9. Фазовая плоскость линейной системы

1. Вещественные корни. Рассмотрим однородную линейную систему из двух уравнений

с постоянными вещественными коэффициентами а#. Пусть Xi = ф!(^), х2 = ф2(^) — вещественное решение системы (1); тогда уравнения

определяет кривую на плоскости хи х2. Эта кривая называется фазовой траекторией системы (1), а картина, которую образуют фазовые траектории, носит название: фа-

зовый портрет системы (1). Одна из фазовых		траекторий
легко	находится: система (1) имеет решение	^ ( Й ^ О ,
x2U)^0	и фазовая траектория — точка (0, 0). Эта точка

называется точкой покоя (или положением равновесия)

системы (1).

Так как система (1) интегрируется, то можно построить ее фазовый портрет. Пусть Ки Х2 — собственные зна-

к*

68 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1

чения матрицы А -(ajh) системы (1), т. е. корни уравнения

Коэффициенты этого квадратного уравнения вещественны; поэтому возможны 2 варианта:

Iе . Корни Xi, K2 — вещественны.

2°. Корпи Хи

К2 — комплексно

сопряженные: Ji2 = ^i.

Мы рассмотрим

О с н о в н о й

случай .

Собственные значения мат-

рицы А различны и отличны от нуля.

Пусть оба корня Хи

Х2 вещественны. Тогда собствен-

ные векторы

ех

, е2 матрицы А можно взять вещественны-

ми, и всякое вещественное решение системы (1) имеет

вид

/ .\

**\1

. р

2 Л

/О\

где Си

С2 — постоянные. Векторы

еъ

е2 образуют

базис

па плоскости. Пусть %и

£2 — координаты вектора

х \t) в

этом базисе, тогда

£ — С р х

— Г р 2

(У)

Достаточно построить фазовые траектории только в

первом квадранте: (

, С 2 ^ 0 ,

так как в силу (3), фа-

зовый портрет симметричен от-

*ч\

носительно

координатных осей.

I. Ч и с л а

Ки

К2

одного

з и а к а.

A. li

0, Л,2 < 0.

При

Ci = С2 = 0

получаем

точку

покоя (0, 0). Если Ct > 0,

С2

= 0,

то

фазовая

траекто-

рия — ось |i,

если d

= 0, С2 >

Рис. 7.

> 0 — ось £2. Стрелки на рисун-

ке

показывают

направление,

в котором движется

точка

с ростом t.

Пусть С4 > 0,

С2 > 0,

тогда

^ j

~>0 (f-• + оо), е 3

-> оо (^-^ — оо), / =»

= 1, 2, так что фазовая траектория — неограниченная кри-

вая, входящая

в начало

координат при t -* +°°

(рис. 7).

Если Ki> Я2, то

(

Jim =•= = lim ек

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

так что фазовая траектория касается оси ^ в начале координат (и оси ga, если Х!<Я2 ).

Уравнение фазовой траектории можно также записать в виде

			(4)
(для этого	достаточно возвести	первое из уравнений (3)
в степень	Я2, второе — в степень Я4), откуда		видно, что
фазовые траектории имеют вид		«парабол».
Изображенная на рис. 7 картина называетсяустойчи-
вым узлом	(устойчивый — потому, что точка		х (t) стре-
мится к точке покоя (0, 0) при		t-*+°°).

Фазовый портрет системы точно такой же, как и на рис. 8, только все стрелки направлены от начала коорди-

нат.

Такая

картина

называется

неустойчивым

узлом.

П. Ч и с л а К1ч

р а з н ы х

з н а к о в

(седло).

Пусть для определенности %i >

> 0 ,

Х2 <0.

При

= 0,

d > 0

имеем

li = 0,

£2 = е

2 -*•0

при

t -> +оо5

а при d

> 0, d

= 0 име-

ем | 2

= 0,

gi -»- +оо

при

t ->+оо.

Полученные

луча

называются

«усами» седла (еще 2 луча полу-

Рис. 8.

чаем

при

d =

С2<

< 0,

d = 0). Если

d > 0 ,

то

|j -^ +oo?

-> 0

при

f -> +oo?

траектории имеют вид

«гипербол»

(рис.

8).

Такая

картина называется

седлом.

2. Комплексные корни. Обозначим Х4 = X, тогда %2 — ^. Пусть е — собственный вектор матрицы А: Ае = Ле. Тогда Ле = Хе, т. е. е — собственный вектор, отвечающий Я. Всякое решение системы (1) имеет вид (2), а всякое вещественное решение — вид

Здесь С — произвольная комплексная постоянная. Вещественность решения (5) очевидна: каждая компонента вектора х (t) — сумма двух комплексно сопряженных чисел. Нетрудно доказать и обратный факт: всякое вещественное

70 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. 1

решение можно записать в виде (5). Положим Я = а + ф, е = А — if2, C = a + ib,

где числа а, Р, а, J и векторы /х, /2 вещественны. Тогда

*(*)-61/1 + 62/2,

6i = 2eat(a cos fM- Ъ sin (tt), g2 = 2eat(b cos ftf + a sin ^ ) .

I. Центр: a = 0 (оба корня ± ф чисто мнимые). В этом случае

6i = роcos (^ + f), 62 = роsin ([M+ -у),

где обозначено р0 = 2Уа2 + б2, tg 7 = Ь/л. Фазовые траекто- рии—эллипсы (рис. 9). Направление обхода эллипса зависит от знака ^ (здесь ^ > 0).

Рис. 9.		Рис. 10.
II. Фокус:
A. У с т о й ч и в ы й	фокус: а < 0 .
Уравнения траекторий имеют вид
li = poeat cos (p*+ «у),		^2 = po^a/ sin (^ f		4)
и траектории являются спиралями, которые			закручивают-
ся в начало координат при t -*• +00 (так как eat				-*• 0). На
правление закручивания спирали зависит			от	знака (1
(рис. 10).
B. Н е у с т о й ч и в ы й ф о к у с : а > 0 .
Фазовый портрет	системы	точно такой же,		как и на

рис. 10, но при t-+ +00 точка уходит по спирали на бес-

конечность.
Сведем систему	(1) к одному уравнению, поделив вто^
рое уравнение на первое. Обозначим х~хи		у = х2; тогда
получим уравнение	вида

dy_ __ ax + by	.д.
dx~~ cx + dy*	W

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 457 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf