2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

иокончательно

4.Линейные уравнения. Уравнение вида

(12)

называется линейным неоднородным уравнением. Уравнение вида

о '

где С — произвольная постоянная. Случай С = 0 возможен, так как уравнение (13) имеет решение у^О. Чтобы решить неоднородное уравнение (12), применим метод вариации постоянных.Будем искать решение в виде, аналогичном (14):

{|<ф')<**|

где С(х) —неизвестная функция. Подставляя в уравнение (13), получаем

С (х) = Ь(х)ехр | — §а (х') dx' 1,

С (ж) = С + J* Ъ (х') ехр - §а (х")dx"\ dx',

где С — произвольная постоянная.

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 23

наматывается на окружность г=1 , а при ф= —In С входит в начало координат.

Пример 13. Решим уравнение

(x + y2)dy=*ydx.

Это уравнение нелинейное, но если взять х в качестве независимого переменного, то уравнение становится линейным относительно неизвестной функции xiy):

х' + У

Решим вначале однородное уравнение

Применим метод вариации постоянных:

так что

Пример 14. Рассмотрим уравнение a>0.

Пусть функция fix) непрерывна при ж^О и lim f(x) «•

зс~»+оо

= 0. Тогда задача Коши с у(+°°) —О имеет единственное решение

Действительно, интеграл сходится абсолютно и стремится к нулю при х -+ +«>. Это позволяет применить правило Лопиталя

иэкспоненциально растет при а:-*-+«>. oix) + Се0*, С Ф О,

5.Уравнения в полных дифференциалах. УравнениеЛюбое

где Ciy) — неизвестная функция, так что fix, y)=x3

Мы не добавляем произвольной постоянной интегрирования С, так как функцию fix, у) достаточно знать с точностью до постоянной. Найдем Ciy). Имеем

2L - Q = №у + V - 6х*у + С (у),, С(у) - у

и семейство решений задается неявным уравнением

T

откуда находим, что Cix)^ const. Следовательно,

где О 0 — произвольная постоянная. При С = О получаем точку (0, 0), при С > 0 интегральные кривые — замкнутые и содержат внутри себя точку (0, 0).

Пусть уравнение (17) не является уравнением в полных дифференциалах. Тогда следует искать функцию \i(x, у) такую, что после умножения на (г получается уравнение в полных дифференциалах

Функция \i называется интегрирующим множителем

и должна удовлетворять соотношению

или, что то же,

Интегрирующий множитель всегда существует (локально), однако найти его в явном виде удается лишь в редких, но важных случаях.

Соотношение (22) есть дифференциальное уравнение с частными производными (см. гл. 5), и его интегрирование ничуть не проще, чем интегрирование исходного урав-

раз не исключается.) Тогда имеется интегрирующий множитель

Действительно, соотношение (22) после очевидных преобразований приводится к виду

Из тождества Эйлера (11) следует, что обе части этого соотношения равны mPQ.

Пусть интегрирующий множитель есть функция только от х: \х = (яЫ. Тогда соотношение (22) принимает вид

±£t = JL (w^dQ

28 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ.1

dy + (а(х)у + b(x))dx = 0.

Это уравнение — линейное (см. п. 4). Интегрирующий множитель определяется из уравнения р/ = аЫ ц и равен

С I

J a(x')dx'\.

Рассмотрим уравнение

ах dy + bydx + xmyn(cx dy + dy dx) = 0,

где а, Ь, с, d — постоянные. Для выражения ах dy + by dx интегрирующий множитель равен ха~гуь~\ так как

х«-*уь-цах ду + by dx)= d(xayb).

Функция вида

также является интегрирующим множителем, что проверяется непосредственно. Для вйражения xmyn(cxdy + + dydx) функция вида

является интегрирующим множителем. Если функции Д и /2 можно подобрать так, что JLXJ = |Л2, то мы получим интегрирующий множитель исходного уравнения. Положим Д Ы « 2 а , /2 Ы = гр; тогда функция ц,= # У будет интегрирующим множителем, если

^=* (а + Ш - 1 =(£ + 1)Ь - m - 1,

в—(р + 1)с — 1 —(р + 1)а — п—

Если ac —bd^O, то из этих уравнений можно найти а, р и затем «у» 6- Если же с — ка, d = &6, то исходное уравнение имеет вид

(1 + кхтуп){ах dy + by dx) - О

ипотому интегрируется.

Пр и м е р 19. Рассмотрим уравнение

где 1С1^зг. Покажем, что уравнение (23) имеет семейство решений вида

iT^tfdx + 1l=x*dy = dixy r=Y"+ yHi^H?) + xyh,

где h— левая часть уравнения (23), так что dizlfl^y + уП^г) = [1(i-x2m-yz)-xy\h =0,

откуда следует формула (25). Функция li — r U - ^ - X l - p 1 ) -xy

является интегрирующим множителем.

Уравнение (23)есть частный случай уравнения Эйлера:

dx dy 0

где Х(л?), F(^) — многочлены четвертой степени. Решения уравнения Эйлера выражаются через эллиптические функции. Одна из важнейших формул теории эллиптических функций — теорема сложения — выводится непосредственно изуравнения. Покажем, как с помощью уравнения (23) можно получить формулу сложения для синуса.

Предварительно сделаем одно замечание. Пусть (18) есть уравнение в полных дифференциалах: Pdx + Qdy =» = df и имеет семейство решений f(xr уУ=С. Если Ф(и)— произвольная гладкая функция, то соотношение Ф(/(#, у))=С также определяет семейство решений. Поэтому уравнение семейства решений неединственно. Пусть семейство решений уравнения (18) задается уравнениями

fix, у) - С, gix<г/)-Сь

Тогда существует гладкая функция Fiu), имеющая глад* кую обратную функцию F"4w) и такая, что (гл. 4, § 4)

gix, у) ш Fifix, у)).