2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985
.pdf2) |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА |
3J |
|
1. |
Замена независимой переменной: х |
р |
|
2. |
Дробно-линейное преобразование |
зависимой |
пере- |
менной:
где а, Р, f» 6 — гладкие функции #, аб — fty # 0. Проверим второе свойство. Имеем
Правая часть уравнения (27) также является дробью со
знаменателем (fi/i + б)2 и с квадратным |
многочленом по |
||||
ух |
в числителе, так что после подстановки снова получа- |
||||
ется уравнение Риккати. |
|
|
|
||
|
Уравнение Риккати можно привести к каноническому |
||||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
с |
помощью преобразований y = q)(x)z, |
z = w + г|)(#) и, |
|||
возможно, |
замены переменной х = —х. |
Приведем |
ряд |
||
свойств уравнения Риккати. |
|
|
|
||
|
1°. Если известно частное решение уравнения Риккати, |
||||
то все его решения находятся с помощью двух |
квадратур. |
||||
|
Пусть |
ух(х) — частное решение. Полагая |
у = yt |
+ z, |
|
получаем |
|
|
|
|
|
у[ + z' — a(y\ + 2yxz + z2) — Ъ{ух + z) — с = |
|
|
|||
|
|
= z' — (2ауг |
+ b) z — az2 |
== 0. |
|
Это уравнение Бернулли (п ==2), которое с помощью подстановки z = 1/и сводится к линейному. Итак, подстановка
|
У = Уг+Т |
|
|
(28) |
||
приводит уравнение Риккати к линейному уравнению. |
|
|||||
2°. Пусть у, уи |
у2, уз — произвольные решения урав- |
|||||
нения Риккати. Тогда их ангармоническое отношение |
||||||
есть величина постоянная: |
|
|
|
|
|
|
J |
3 |
* |
3 |
< |
2 |
9 |
Действительно, подстановка (28), или и = 1/(у — yl)i приводит к линейному дифференциальному уравнению,
32 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. i
которое имеет частные решения
Как показано в п. 4, для любого решения и имеем
и —и9
^ZT^ const.
Выражая и через у, получаем тождество(29). Следовательно, если известны три частных решения
уравнения Риккати, то все его решения находятся без квадратур из формулы (29).
3 . Уравнение Риккати можно свести к однородному линейному уравнению второго порядка. Полагая y — z/a, получаем уравнение
Запишем его в виде
и полоишм z — и'/щ тогда получим линейное однородное уравнение второго порядка
Значительно чаще, особенно в прикладных задачах, используется обратная процедура — сведение линейного уравнения второго порядка к уравнению Риккати (подробнее об этом см. в гл. 7).
Рассмотрим специальное уравнение Риккати
(30)
где а т^О, ЪФ 0 — постоянные.
П р и м е р 20. Решим уравнение
Будем искать частное решение в виде у = С/х. Подставляя в уравнение, получаем С2 —С — 2 = 0, один из корней этого уравнения есть С в — 1 . Сделаем подстановку (28):
у ~ — — + —, тогда получим z' + — z = 1. Решение
однородного уравнения есть z0 = Сх~2. Частное решение неоднородного уравнения будем искать с помощью метода
§ 2J ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 33
вариации постоянных: z = С{х)х~2. Подставляя в уравнение, получаем
так что
z = —у -] |
~ , |
яг |
«* |
Можно заменить ЗС на С:
где С — произвольная постоянная.
Уравнение (30) интегрируется в элементарных функциях только при значениях а вида
Ак
а === 1 —. 2&' === "^ ' i 2, ...; а = —2,
о чем уже говорилось в § 1. При а = —2, т. е. для уравнения
можно искать частное решение в виде у = с/х, что приводит к уравнению для с: ас2 —с —Ь= 0. Если это уравнение имеет вещественное решение, то уравнение Рик-
с 1
кати интегрируется с помощью подстановки i/ « — + — •
Если же оба корня си с2 комплексные, то этот метод,непригоден. Но во всех случаях пригодна подстановка у = 1/z, которая приводит к однородному уравнению
П р и м е р 21. Решим уравнепие
У' + Уа + £5 = 0.
Полагая у = 1/z, получаем
м« Вг Федорюк
34 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
Положим z — хи; |
тогда |
|
|
, , |
- , 5 « |
2du |
dx |
хи +и^1+.^и\ |
Ъ ^ 2 |
|
|
—т)
и, так как у = l/хщ то
Другие типы интегрируемых уравнений первого порядка рассмотрены в гл. 2, § 10,
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции
1. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно.
Линейное дифференциальное уравнение порядка п имеет вид
у™ + atlx)y{n-iy+... + ап(х)у = fix). (1)
Здесь у{х) — неизвестная, а%(х)%..., ап(х), /Ы-—извест- ные функции.
Обозначим Ну) левую часть уравнепия (1); тогда оно
примет вид |
|
Ky)^f(x). |
(2) |
Выражение |
|
У{п) + et W 1 " 0 +...+ап(х)у |
(3) |
называется линейным дифференциальным оператором по-
рядка п. Уравнение (1) называется |
неоднородным, если |
|||||
правая |
часть fix) |
не |
равна нулю |
тождественно. |
Если |
|
fix) es 0, |
то уравнение |
называется однородным и имеет |
||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)О. |
|
|
(4) |
2. Принцип суперпозиции. |
Будем |
предполагать, |
что |
|||
функции а 4 Ы, ..., |
ап(х), fix) |
непрерывны, функции |
||||
§ 3] ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ 35
i/Дя), п раз непрерывно дифференцируемы на некотором интервале / = ( я , Ь). Всюду в дальнейшемх<=1.
Лемма 1. Если аи |
а2 — постоянные, то |
|
||
|
|
+ a2l(y2). |
(5) |
|
Это свойство называется линейностью оператора L |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как cci, а2 — постоянные, то |
|||
(х) |
+ а2у2 (х))ш - aiy[k)(x) |
+ a2y(2k) {x). |
||
Умножая обе части на ап-*(#) и суммируя |
полученные |
|||
выражения при к «•* 0, 1, ..., п, получаем (5). |
|
|||
Т е о р е м а |
1. 1°. |
П р и н ц и п |
с у п е р п о з и ц и и. |
|
Если i/i(#), yz(z) — решения однородного уравнения Ку) « = 0, то их линейная комбинация
у{х)
при любых постоянных o&i, aa являетсярешением однородного уравнения.
2°.Если j/i(#), у2(я) — решения неоднородного уравнения (2), то их разность
есть решение однородного уравнения (4).
Доказательство. 1°. Применяя лемму 1, получаем
КамЛх) + а2у2(х)) = аЛуЛх)) +a2l(y2(x)) ==0.
2°. По условию,
так что, в силу линейности оператора Z,
ДуЛя) - у2(х)) = /(^Ы) - Z(^2U)) = 0.
Свойство 2° можно сформулировать иначе.
3°. Всякое решение неоднородного уравнения (1) есть сумма частного (т. е. фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Действительно, пусть уо(х) — фиксированное (частное) решение уравнения (1), у(х) — произвольное решение этого уравнения. Тогда
у(х) = уо(х) +у{х),
где у(х)= у{х)—уо(х) — решение однородного уравнения, в силу 2°.
3*
36 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
§ 4. Линейное уравнение первого порядка
спостоянными коэффициентами
1.Формулы для решений. Всякое решение уравнения
у'-Ьу-О, |
(1) |
где К — постоянная, имеет вид |
|
|
(2) |
где С — постоянная (§ 2, пример 11). |
|
Рассмотрим линейное неоднородное уравпеиие |
первого |
порядка со специальной правой частью |
|
|
(3) |
Здесь [I — постоянная, Рт(х) — многочлен степени т.
Теорем а 1. Уравнение (3) имеет частное решение
вида
У - QmWe**, |
(4) |
если \кФ%уи вида |
(5) |
Q() |
если \к = К. Здесь Qm(x) — многочлен степени тп.
Доказательство. Будем искать решение уравнения (3) в виде
у = e^z, |
(6) |
тогда для функции z(x) получим уравнение |
|
*# + (|i - X)* - P w te) . |
(7) |
Имеем |
|
Pm(x) - aoxm + Hi*"1-1 + . . . + ат, |
ао¥=О. |
Пусть \1 == Я, тогда функция |
|
х
есть решение уравнения (7), так что уравнение (3) имеет частное решение вида (5).
Пусть [i^K; будем искать решение z(x) в виде многочлена степени т:
с неопределенными коэффициентами 60, &i, ..., bm. Под-
§ 4] |
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА |
37 |
ставляя в уравнение (7), получаем
{\х- К)Ьохт + U\i- №i + mb,]xm-x + ... «
= аохт + аххт-1 + . . .
Приравнивая слева и справа коэффициенты при хт, хт~*1 ..., последовательно находим
bo =»ао/(\х — Я), bi «=• (at —mbo)/(ii — Я),
Так как всякое решение неоднородного уравнения (3) есть сумма решения однородного уравнения (оно имеет вид (2)) и частного решения неоднородного уравнения,
то мы нашли все решения уравнения (3). Введем
Определение. Квазимногочленом называется фун ция вида
1 (х) - е^Р, (х) + е^хР2 ( * ) + . . . + e4xPk (х), (8)
где Ки ..., Як— постоянные, Л Ы , ..., Ph(x) — многочлены.
Теорема 1 позволяет найти все решения уравнения
|
|
(9) |
в случае, |
когда /Ы — квазимногочлен. Действительно, |
|
достаточно |
найти частные решения уравнений у1 —%у = |
|
8=8 Pj (х)е |
•* |
(ч т о можно сделать с помощью теоремы 1); |
их сумма |
будет частным решением уравнения (9)). |
|
2. Комплексные функции вещественного аргумента. Комплексная экспонента. Уже в следующем параграфе
нам понадобится знать решения уравнения |
(1) в случае, |
когда %— комплексное число. При этом |
решение у(х) |
будет комплекснозначной функцией вещественной переменной х.
Определим экспоненту е*1* при комплексных значениях К. Если К = t$ (fJ вещественно, i — мнимая единица), то по формуле Эйлера имеем
е®* = cos$х + i sin$x.
Пусть К = а + if), где а, Р— вещественные числа. Положим по определению
Функция е%х при вещественных Я обладает следующими свойствами:
1°. Л * ^ * = 2°. * * * * - * * - 1 .
38 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. i
оо |
d Яд: |
* |
Лх |
3 ' |
Тхе |
= Я<? |
' |
|
X |
|
|
. |
J e dx=Ye .К О^ФО). |
||
Покажем, что все эти формулы верны при комплексных значениях К. Докажем 1°. Пусть Kt = at + i$u Kz = «=a2 + ifr; тогда
)x [cos §& cos р2я — sin p ^ sin §& i (sin px:r cos р2л: + sin $2x cos P^)!=-
[cos (Pi + P2)ж + i sin (Px + p2) ж]
Следовательно,
и 2° также доказано.
Прежде чем доказывать соотношения 3° и 4°, необходимо ввести понятие производной от функции, принимающей комплексные значения. Пусть функция /(#) определена на интервале 1={а,Ь) вещественной оси и принимает комплексные значения. Тогда ее можно представить в виде
(11)
где функции и(х), v(x) принимают вещественные значения.
По определению, комплекснозначная функция fix) называется непрерывной в точке х0, если в этой точке непрерывны функции и(х), viz). Функция называется дифференцируемой (дважды дифференцируемой и т. д.) в
точке #о, если в этой точке дифференцируемы (дважды дифференцируемы и т. д.) функции и(х), v(x). Производные функции fix) определяются так:
т. е. соотношение (11) дифференцируется по обычным правилам, причем мнимая единица i считается постоянной. Интеграл от функции f(x) определяется так:
ъ |
ь |
ь |
|
\ f(x)dx |
= ] и {х)dx + i J |
v (x) dx. |
|
§ 5J УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 39
Докажем 3°. Имеем
•-£*** = •— еах$ sin §х + еаха cos§x +
+ i (ea x p cosРх + еаха sin рх)—
= еах (cosрх + i sin ря) (а + Ф)= te**.
Соотношение 4е следует из 3е .
Теорема 2. Пусть Л, jx — комплексные числа, РпХх) — многочлен степени m с комплексными коэффициентами. Тогда всякое решение уравнения (1) имеет ви (2), где С — комплексная постоянная,а уравнение (3)
имеет частноерешение |
вида (4) при |
\\,Ф% и вида (5) |
при [i== Я. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
этой теоремы |
дословно то же, |
что и при вещественных Я, |Л, Рт(х). |
|
Приведем еще оду формулу |
для комплексной экспо- |
ненты: |
|
5°. \еХх\=еа* (Я = а +ф). |
|
Действительно, |
|
\е№\ = /cos2 р* + sin2 Ря = 1Л |
|
| е(а+ф)х | = | ^схэс J| е№ |
| ^ ^ахв |
§ 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
1. Алгебраический характер задачи. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка п
<n-l) + ... + any = 0 |
(1) |
с постояннымикомплексными коэффициентами а1? ..., ап»
Интегрированиевтого уравнения сводится к вадаче алгебры, а именно, к решению алгебраического уравнения п-й степени.
Чтобы установить алгебраический характер задачи об интегрировании уравнения (1), рассмотрим многочлен от
символа D = -у-: |
|
ах |
|
KD)=Dn+aiDn'1 + ... + an. |
(2) |
Коэффициенты этого многочлена те же, что и в (1). Условимся обозначать
D + D ( y+ ... + а п у .
40 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
Так как Dky = у{к\ то уравнение |
(1) можно записать в |
виде |
|
0. |
(3) |
Отображение у -+• HD)y переводит функцию у(х) в функцию U(D)y](x). Это отображение называется линейным дифференциальным оператором порядка п с постоянными коэффициентами; будем обозначать оператор символом /(/?), т. е. так же, как и многочлен (2).
Определим сумму и произведение двух дифференциальных операторов:
a(D) « a0Dn + a,Dn^ + ... + an, bW) - bQDm + bfi™-1 +... + bm
с постоянными коэффициентами ah by Суммой этих операторов назовем оператор, переводящий функцию у в функцию a(D)y + b(D)y. Из известных свойств производной следует, что
аШ)у+ ЪШ)у - la(D) + ЪШу.
Поэтому сумма операторов a(D) и b(D) есть оператор a(D) + b(D).
Произведением оператора a(D) на оператор b(D) называется оператор, действующий по формуле a(D)[b(D)y\,
т. е. сначала вычисляется функция b{D)y |
(результат |
дей- |
ствия оператора Ь(/?)), а затем к этой |
функции приме- |
|
няется оператор a(D). Покажем, что |
|
|
a(D)[b(D)y) = b(D)la(D)y] = [a(D)b(D)]yr |
(4) |
|
т. е. произведение операторов a(D), b(D) не зависит от порядка сомножителей и есть оператор a(D)b(D). Ограничимся, для простоты, операторами первого порядка: a(D) = a0D + au b(D) = b0D + 6£. Имеем
a(D)[b(D)y] |
= (a0D + ajthy' + b,y) |
- |
|
e «oM" + («i^o + aobt)y' |
+ aj?xy == |
« |
ia0bQD2 + (а |
|
Точно так |
же (4) доказывается для операторов a(D), |
|
b(D) любых порядков. |
|
|
2. Случай простых корней. Рассмотрим многочлен
который называется характеристическим многочленом
уравнения (1). Как известно из алгебры, многочлен liK)