2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

9]

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ

131

i

)

82( ) . . , ^ W (и функции Д {у), /2 (#), ...,/„ {у))

будем

называть

координатными. Достаточные

условия

для

того, чтобы

функции gi(x), £2(#)>..., Еп{х) были

Л е м м а

1.

Зависимость

и

независимостьсистемы

функций

инвариантны относительногладкой обратимой

замены переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функции иг

(#), и2 (#), ..., ит

(х)

после

замены

(3) переходят

в функции^ (у) = их

(f(y))f

и2 (у) — Щ(/ (У)), ...,

ит

(у) «

wm(/ (#)).

Утверждение

леммы состоит в том, что если функции

иг

(#), щ (х), ...

•..,ит(х)

были зависимы (независимы) в области

£/, то

функции

w, (у),

и2(у), .. .,ит(у)

будут

зависимы

(неза-

висимы)

в

области

V.

Допустим, что

функции и1 (х)Г;

Щ(а?)» ... , ит

(х)

зависимы в области

U, тогда

при неко-

тором / выполняется тождество

(1). Выражая х

через

у%

получаем

Щ(У)= w

(«i (У). • -•». Mj-i (if), U+i (if), ... , мл (if))f

так

что

функции

и^г/),

w2(^), ...,

ит

{у)

зависимы

в области С/.

Т е о р е м а

1.

Пусть ранг

матрицы Якоби

и'

(х) не

превосходит г в области U и равен г > 1 в точке х° е

U.

Тогда в некоторой окрестности V э

х° из набора функ-

ций uY(x), и2

{х), ... , ит

(х)

можно выбратьг

независи-

мых, а остальныебудутот них

зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

для

определенности

от-

личен от нуля минор

Ar = det A,

A

очевидно, что

г ^

п.

Сделаем

замену

переменных

^1 (х)

= у1Л...,

иг

{х)

= г/г,

Хг+х =

Уг+и

• -.,

х<п=

Уп.

(5)

и{х) = (ых (х)г ...,иГ(х),

Хг+и

- .. , хп) равна

(А

В\

§ 91

ЗАВИСИМЫЕ

И НЕЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ

133

Это

вытекает

из

доказательства

теоремы: см.

(5).

З а м е ч а н и е

1. Координатные

функции g±

(х), ...

• .•»gm(#),

m^n,

независимы в области U. Обратное

неверно: независимые в области U функции не всегда

можно принять в качестве координатных.

П р и м е р

2.

Пусть

п = 2, U — окрестность

точки

(О, 0),г/х = #1, у2 = 4 - Эти функции независимы в

С/, так

как их

матрица

Якоби

диагональная, с элементами 3#ц

любой точке (#?,х%) такой, что х\ Ф О, х\ Ф 0. Но хх =

^ V Уи #2 = V^2/2»

так что обратная вектор-функция не-

дифференцируема на осях уи у2.

2. Кривые и поверхности. Кривой

у в Rn

называется

множество точек, заданное уравнениями

хх = ^i(^),

..., хп = xn(t)9

t е

(tt1

t2)

cr /,

где функции Xfit)

непрерывны

при

t^L

Кривая f на-

зывается гладкой,

если функции хМ)

непрерывно диффе-

ренцируемы при t&I

и

(*i(0. • • м4W)¥= (0, ...,0),

^ Е / .

(

dx it

)

—

касательный вектор к кривой у в точ-

Вектор —j~-

nex(t0).

Гладкая обратимая замена переменных

(3) ото-

бражает

кривую

if в кривую у, заданную

уравнениями

..., Vn^fnixiW,

...,

xn(t))f

система из двух

уравнений /(#, у,

z) = 0, g(xt

у, z) = 0

определяет кривую, при некоторых предположениях.

Т е о р е м а 2.

Система иг (/г—

1)-го уравнения

и в переменных у система (6) принимает вид уг«

0, . v

..., Уп^хж 0. Эта

система определяет гладкую кривую f

Уi -

0, . . . , |/п-1 = 0 , уп - ^,

где f меняется на некотором интервале / э О ,

З а м е ч а н и е

1. Теорема 2 (и последующая

теоре-

ма 3) — локальная,

т. е. система (6) определяет кривую ^

в малой окрестности точки

х°.

Рассмотрим поверхность 5 в Я8, заданную параметри-

чески: г « г (а, р), г — радиус-вектор, т. е.

(а,

(8)

где # — некоторая область

на плоскости (а, р). Функции

§91

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ

135

[дх ду dz\

г<х *** Ida' 'да1 'да)'

Аналогично, фиксируя

a e a0,

полу-

чаем кривую

на

S с

касательным вектором

Гр »

^\Щ'Щ<%)'

В е к т ° Р ы

г«К»Ро)» ГЪК'Ро)

неколли-

двум. Плоскость П(Р°),

проходящая

через точку

Р°

«-

==:Г(ао»Ро)

и натянутая на векторы

J*a(a0, р0), гэ (а

0 , р0),

называется

касательной

плоскостью

к поверхности

S

щий на плоскости П(Р°), касается

поверхности

5.

З а м е ч а н и е

2. Рассмотрим

сферу

S, заданную

уравнением

х2 + у2 + z2 = I. Известно, что

S

нельзя

задать

параметрически,

т. е. уравнениями

(8). Разобьем сферу

на две

части S\, S2: пусть

Si содержит северный полюс и ограничена параллелью, лежащей

ниже экватора, а 52 содержит

южный

полюс и ограничена парал-

лелью, лежащей выше экватора. Тогда

Si, S2

можно задать урав-

нениями

г = ri (a, P), r*=r2

(a,

P). Части

Sh

S2

сферы пересе-

каются.

Поэтому

под поверхностью S

понимается

множество, со-

«куска» многообразия.

Рассмотрим в 7а-мерном пространстве Rn

множество

точек Mh, заданное уравнениями

* - * & , . . . , 5 * ) < (Sif...iE*)€=tf.

(9)

Хх— *i(£i,

...,

Ы, ..., *п = хп{\и

•.•• W-

О п р е д е л е н и е

2.

МножествоMh

называется глад-

нением

/И-о.

(Ю)

Т е о р е м а 3. Пусть уравнение (10) имеетрешения и

если f(x) «=0. Тогда уравнение

(10) определяет гиперпо-

верхностьМп~* в Rn.

1

0

...

О

О

1

•••

О

§ 9]

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ

139

координаты вектора ф(Р) в

локальном

базисе

[е {P))f

т. е.

„

~

ftWS

+

•••+ Ф п Ы ^ п .

(14)

Эту формулу можно записать в виде

фИ = /'ЫфЫ-

(15)