2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

§ 101 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО Vм 161

При а > 0 это семейство эллипсов, при а < 0 —• семейство гипербол. В частности, при а==—1 получаем ортогональные семейства равнобочных гипербол

Пример 17. Рассмотрим конфокальное семейство кривых второго порядка

1

где а>0 , Ь>0. Фокусы этих кривых расположены в точках (drYlb —a|f 0), Исключая С из данного уравнения и уравнения

2 2

находим дифференциальное уравнение семейства

Если заменить у' на — 1/у', то это уравнение не изменится. Следовательно, данное семейство софокусных кри-» вых второго порядка образует ортогональную систему.

Пусть 0 < а < & ; тогда семерство существует при С> > — Ъ. Если —6 < С < — а , то кривые являются софокусными гиперболами, ортогональное семейство — софокус-

ные эллипсы. Если —а<С<*>9 то кривые семейства— эллипсы, ортогональные кривые — гиперболы. При значениях С« —6, С*=*—а кривые второго норядка вырождаются.

Пример 18. Найдем изогональные траектории семейства прямых у=**Сх. Дифференциальные уравнения семейства есть ху' = у, уравнение траекторий есть

— ydx^tg a(xdx+y dy).

Переходя к полярным координатам г, <р, получаем

гональные траектории — окружности г —С,

ГЛАВА 3

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

§ I. Теорема существования и единственности

I. Формулировка теоремы. Рассмотрим линейную систему из п уравнений

е нормальной форме. Здесь у,Ы — неизвестные, ajh{x), fj(x) — известные функции. Все эти функции предполагаются комплекснозначными. Положим

тогда система примет вид

(1)

Поставим задачу Коши

(2)

для системы (1), где у0 — заданный я-вектор. Теорема существования и единственно -

сти для линейных систем. Пусть вектор-функ* ция f (х) и матрица-функция А(х) непрерывны наот* резке I в [а, 6], точка xk e 7, Тогда

и единственности для нелинейных систем (гл. 2, § 1), эта теорема — глобальная: решение существует на всем отрезке /.

2, Доказательство теоремы. Задача Коши (1), (2) эк-* вивалентна системе интегральных уравнений

непрерывны на отрезке /, то все последовательные приближения у0 (х), yt (x)... — непрерывные на отрезке / вектор-функции. Докажем, что последовательные прибли-

жения уЧх) равномерно сходятся на отрезке k

^()^у(х).

Как и в доказательстве основной теоремы (гл. 2» § 1), рассмотрим ряд

...+(/+ 1 И-/(*))+... (5)

Его частичные суммы равны у0 (я), у1 {х), . . . , ун{х)£.. »v так что из равномерной сходимости ряда (5) следует равномерная сходимость последовательности [yh{x)\. Как я

(используем оценку (7))

Докажем по индукции, что выполняются оценки

(8)

При А: == 1 это неравенство доказано; совершим переход по индукции от к к к + 1. Имеем

(испольвуем оценку (8))

5 к\

Тем самым оценка (8) доказана. Так кад \х—хо\ ^ Ъ —а, то

Правая часть неравенства не зависит от х; поэтому неравенство верно для максимума по х&1 левой части (т. е. для нормы в С)

мым равномерная сходимость последовательности [ук (х)} доказана. В силу равномерной сходимости предельная вектор-функция у (х) непрерывна на отрезке /.

Переходя к пределу при &-*«> в соотношении (4), что возможно в силу равномерной сходимости последовательности [ук(я)}, получаем, что у {х) удовлетворяет системе интегральных уравнений (3) при всех х&1. Тем самым существование решения задачи Коши (1), (2) доказано. Единственность вытекает из основной теоремы и теоремы о продолжении решений (гл. 2, § 6).

Рассмотрим задачу Коши для нелинейной системы из п уравнений

всех ), к. Тогда решение задачи Коши (9) существу* ет и единственно на всем отрезке L

Наметим доказательство. Для последовательных приближений

t

в силу леммы 3 (гл. 2, § 4) и оценок (9) справедливо неравенство

х

в со индукции, как и выше, доказывается неравенство

где А — некоторая постоянная. Далее см. доказательство предыдущей теоремы.

3. Линейное уравнение л-го порядка. Рассмотрим уравнение

Г.Существование. Решение задачи Коши (И),

(12)существует на всем отрезке хц1.

2°. Единственность. Решение задачи Коши (11) (12) единственно на всем отрезке I.

Доказательство. Заменим уравнение (11) эквивалентной системой уравнений, полагая

Уо (*) - У(«). Уг(х) - Уо {х), ... , Уп-i (х) - Уп-2 (*)# так что jj(«)ej/U ) W. Из уравнения (11) находим

Ул-1 (^) — —«1fa)Уп-1 («) — -- . —fln(^) Уо И + / («)• Мы получили систему вида (2), где

§ 2. Функции отматриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами

1. Матричная экспонента. Рассмотрим задачу Коши для линейной однородной системы из п уравнений

- у° (1)

с постоянными коэффициентами. Сведем эту задачу к системе интегральных уравнений

170 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ [ГЛ. 3

Доказательство вытекает из тождества

Т-*А*Т = Т-1АТ'Т-1АТ...Т-*АТ-Т~*АТ Хк раз).

взять такую, которая приводит матрицу А к простейшему виду. Пусть матрица А приводится к диагональному виду, т. е.существует матрица Т такая, что

Из (6) следует, что

T-ieAT

в если матрица А приводится к диагональному виду, то

\Т-\ (8)

В частности,отсюда следует,что

(9)

8десь SpА — след матрицы А, т. е. сумма ее диагональных элементов;

Из линейной алгебры [7,17] известно, что

п

«ЭрЛ, так что S p 4 « 2^i -

Формула (9) дляопределителя матричной экспоненты (доказанная пока только для таких матриц, которые приводятся к диагональному виду) справедлива для любых квадратных матриц.

Формулы (2), (8) позволяют получить новое доказательство формулы длярешений системы (1) (гл.1, § 8). Всякое решение системы (1) имеет вид у —ехАа1 где о —