2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

§ 11] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 221

Наметим доказательство (подробнее см. [281). Те же рассуждения, что и выше, приводят к тождеству (5), где С — постоянная невырожденная (п X п)-матрица. Поэтому существует матрица В такая, что е*в = С (§ 2). Положим

Р(х) = YU)e~xB, тогда

Р(х + со) - Пх)Се-»ве-*в = Р(х),

т. е. Р(х) есть периодическая с периодом со матрицафункция.

2. Зоны устойчивости и неустойчивости. Различные

физические и технические задачи приводят к уравнениям второго порядка, содержащими вещественный параметр

к>0, вида

жении квантовомеханической частицы в периодической кристаллической решетке, к уравнению вида (13) — задачи

ораспространении электромагнитных или звуковых волн

всредах с периодическими свойствами.

Физическая постановка задачи приводит к условию:

решение у{х) должно бытьограничено на всей оси —°о < <х<°°. Это условие не может выполняться на полуоси вида к > к0 (за исключением очевидного случая q(x) в 555 const, который мы далее не рассматриваем). По определению, точка к2 принадлежит зоне устойчивости, если все решения уравнения (12) (или (13)) ограничены при —оо < х < о©, и принадлежит зоне неустойчивости в противном случае. Из вида решений (2а) следует, что точка к2 принадлежит зоне устойчивости, если

точка к2 принадлежит зоне неустойчивости. Пусть IpJ >

функция, есть уравнение с кусочно постоянной функцией q(x). Но даже в этом случае анализ зон устойчивости и неустойчивости оказывается весьма сложным. Проще всего этот анализ проводится в примере, принадлежащем

П.Дираку [52]. Рассмотрим уравнение

где U Ф 0 — постоянная и б есть дельта-функция Дирака (§ 12). Функция q(x), входящая в уравнение (15), называется диракоеской потенциальной гребенкой [52J. На интервале 0 < х < ш всякое решение уравнения (15) имеет вид

где А, В— постоянные. Будем искать решение у(х) такое, что у(х + ы) = ру(х) (см. (3)), так что

у{х) - р[АеЩх'а) + Ве~тх-а)]

при со< х < 2со. В точке х = со должны выполняться условия (§ 12)

г/(со + 0) = уЫ - 0), г/'(со + 0) - z/'(co - 0) + Uy(<* - 0),

и мы получаем систему уравнений относительно неизвестных А, В:

р(А+В) *= Aeih« + Ве~**,

ikp(A - В) = ik(Aeik« - Ве~гЫ) + tfUe** + Дв"**).

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, и это дает уравнение для мультипликаторов

р2 — 2/ {к)р + 1 = 0, / (к) « cos ok + j£ sin шА:.

При выводе этого уравнения следует помнить, что свободный член обязательно равен коэффициенту при р2# так как р^ 2 = 1. Решая уравнение, находим

l. (16)

Матье:

у" + {а + Ьcos 2х)у — 0.

В последние годы были исследованы конечнозонные потенциалы q(x). Это такие периодические функции q(x), что уравнение (12) имеет конечное число протяженных зон неустойчивости (т. е. интервалов), а все остальные зоны неустойчивости вырождаются в точки. Для конечнозонных потенциалов получены явные выражения.

§ 12. Дельта-функция и ее применения

1. Дельта-функция Дирака. Эта функция — она обозначается 60r) — была введена английским физиком П. Дираком. Ее определение таково:

Дельта-функцию можно рассматривать, например, как плотность единичной массы, сосредоточенной в точке £ = 0 (это только одна из известных физических интерпретаций дельта-функции). Действительно, обозначим эту плотность р(х); тогда р(х) = 0 при х Ф 0 (вся масса со-

средоточеиа в точке ж= 0), и J р(о:)йя~1, ибо масса

равна единице, так что р(х)

Разумеется, дельта-функция не есть функция в обыч-

Основы теории обобщенных функций читатель может тйти в [15, 18]. Мы ограничимся тем, что пpивeдeм^ >сновные формулы, относящиеся к дельта-функции, и не >удем излагать строгую теорию обобщенных функций. 1итатель, незнакомый с обобщенными функциями, будет сходиться примерно в том же положении, в каком нахоились в начале нашего века инженеры, которые испольовали метод Хевисайда (см. гл. 1, § 11). Впрочем, это не овеем так: математического обоснования метода Хевисай- а тогда не было, а математическое обоснование привеенных ниже результатов — теория обобщенных функ- ,ий — существует.

226 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ [ГЛ. 3

Введем понятие обобщенной функции. Пусть К — множество всех функций ф(х), которые бесконечно дифференцируемы на всей оси —°о < х < ©о и финитны. Последнее

Множество К есть линейное пространство; его элементы О) называются основными (или пробными) функциями.

Обобщенной функцией f (над пространством К) называется линейный функционал, определенный на простран-

для любых основных функций <pi(&)-, ф2 Ы и для любых чисел а4, <х2. От функционала / требуется также непрерывность; мы не будем вводить соответствующее определение, поскольку во всех рассматриваемых примерах это свойство выполняется.

Будем употреблять обозначения, принятые в физической литературе. Именно, значение /(ф) будем записывать в виде интеграла

Класс обобщенных функций содержит все «обычные» функции. Действительно, если fix) — непрерывная на оси

—оо<#<оо функция, то интеграл из (3) существует и обладает свойством линейности. Если fi(x), fz(x) — непрерывные на всей оси функции и

§ 3, основная лемма вариационного исчисления). По аналогии с этим фактом будем считать, что две обобщенные

о

(так как фЫ — финитная функция)

Поскольку первый и последний интегралы равны для любой основной функции фСг), то Q'(x) ~б(а:), согласно определению равенства обобщенных функций (см. (4)).

3°. Пусть функция fix) непрерывно дифференцируема на полуосях х < а и х > а^-ъ в точке а может иметь разрыв. Тогда

/Чх) «{/'(*)>+ Л6(х - а) .

Здесь А =/( а + 0) —/(я — 0) (т. е. величина скачка функции /Ы), а {/Чх)> — обычная производная.