2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985
.pdf§ 3] |
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ |
101 |
Так как множество М ограничено, то существует С > 0 такое, что 1<рН ^ С для любого ф^ М. Докажем по индукции, что
Пф»+|- ФJ ^ 2Ск" Ы = 0, 1, 2, . . . ) . |
(4) |
При п = 0 это верно, и если верно для п, то
Ифд+i - |
q>J = ИЛ(фп)- Л(фп-1)Н ^ ЛИф„ ~ cpn-i'l < 2САп+\ |
что и |
доказывает (4). Итак, lim фп = ф существует |
|
П-*0О |
Иф ^ ! , так как М замкнуто. Докажем, что
|
|
lim А (фп) = А (ф),. |
(5) |
|
|
|
П-»оо |
|
|
тогда, переходя |
к пределу |
при п -•оо в равенстве |
фп^.! = |
|
= Л(фп), получим, что ф является решением уравнения |
||||
(1). Имеем |
|
|
|
|
при п -*- о©, и (5) доказано. |
|
|
||
Докажем, что |
решение |
уравнения (1) единственно. |
||
Допустим, что |
ф, |
г|эе Л/ |
являются решениями. |
Тогда |
ф —-ф—Л(ф) —Л("ф), откуда
IIФ - ф11 ^ АНф - г|)И
и так как 0 < к < 1, то Иф —ф11 = 0, т. е. ф = г|). Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация принципа сжатых отображений такова. Пусть В — плоскость, а II — замкнутое ограниченное множество на плоскости (рис. 12). Пусть А сжи-
мает М. Если d — диаметр М, то диаметр множества АШ) будет < Ы , и A(M)^M. Аналогично, диаметр множества АпШ) будет *^knd. Мы получаем последовательность замкнутых, ограниченных и вложенных друг в друга множеств
Р и с '
диаметры которых стремятся к нулю. По известной теореме анализа эта последовательность имеет ровно одну точку ф, принадлежащую всем множествам — и эта точка является решением уравнения (1).
102 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2
Рассмотрим один важный вариант принципа сжатых отображений. Пусть оператор А определен на всем банаховом пространстве В. Оператор А называется линейным, если
Л(сХ1ф1 + СХ2Ф2) = CLiAityi) + ССгЖфг) |
|
|
для любых элементов ф2, ф2 е |
В и для любых чисел |
аи |
а2. Норма оператора А определяется формулой |
|
|
sup |
* Ж |
(6) |
Оператор А называется ограниченным, если IL4ll<°°. Ниже мы рассматриваем только линейные ограниченные операторы. Из определения нормы (6) следует неравенство
|
|
IU(q>)ll<ILAllOq>Of |
|
(7) |
||
где ф — любой элемент пространства В. |
|
|||||
Суммой А + А операторов |
А и А |
называется |
опера- |
|||
тор, действующий по формуле |
|
|
|
|
||
Если |
а — число, то |
оператор |
аА7 |
по определению, дей- |
||
ствует |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
(аЛ)(ф) |
|
|
|
|
Произведением А А |
операторов А, |
А |
называется |
опера- |
||
тор, действующий по формуле |
|
|
|
|
||
Непосредственно проверяется, что если А и А — линейные операторы, то А + А, аА (а —число), АА — линейные операторы. Покажем, что норма оператора (6) удовлетворяет всем аксиомам нормы (§ 2, определение 1).
Лемма. Пусть А, А — ограниченные линейные операторы, действующие в банаховом пространстве В.
Тогда
ИссЛН- |
IccllUII, |
\\А + А\\< |
IUH + 1Ш, |
|
|
|
Ш Ш . |
|
( 8 ) |
Здесь а — число. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Первое из |
этих |
соотношений |
|
непосредственно |
вытекает |
из определения |
нормы; дока- |
|
§ 3] |
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ |
ЮЗ |
жем второе. Пусть ср е В, ц>Ф Ов, тогда, в силу (7), HU + Я)(ф)И ^ М(ф)11 + ИЯ(ф)11 ^ (ИЛИ + \\А\\Щ\\,
так что
14 +11= sup
Аналогично, дважды применяя неравенство (7), получаем ЖЛЯКф)!! = НЛШф))" < НЛ11Шф)И < НЛИШИфИ,
что доказывает последнее из соотношений (8).
Пусть А — ограниченный линейный оператор. Введем степени этого оператора:
Следствие . Справедлива оценка |
|
Ш\ < \Ш\ |
(9) |
Действительно, для любого элемента ф е |
J5 имеем |
ИЛ2(ф)И ^ ВЛИ11Л(ф)И < 11ЛИ211ф11, |
|
и по индукции |
получаем |
ИЛп(ф)И < ИЛМфИ, откуда сле- |
||
дует (9). |
|
|
|
|
П р и м е р 2. |
Пусть А — линейный |
оператор |
в про- |
|
странстве Я", с |
матрицей |
(ajk). Норму |
вектора |
опреде- |
лим так же, как и в § 2, пример 3: \\x\\ = max \хн\- Тогда
И | = шах 2|вл| . |
(1°) |
j fe |
|
Действительно, так как | ^ | ^ [ | ^ | | при всех |
к, то |
m a x
так что |Лд?||^||Л||||д?||, где ИЛИ определена формулой (10). Построим вектор х° такойл что ||Лж°|| =
104 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2
тем самым формула (10) будет доказана. Пусть макси-
мум правой части |
(10) |
достигается при j = /0. |
Положим |
||||||
xk «• 0jofc \ a>joh |~\ |
если |
ajok Ф 0, |
и |
xh |
= 1 в |
противном |
|||
случае; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
(штрих |
означает, |
что |
слагаемые |
са> & = 0 опущены), так |
|||||
что ||4#°||>|| Л |||х°||, |
и |
(10) доказано0. |
|
|
|
||||
Обозначим символом / единичный оператор, действу- |
|||||||||
ющий в банаховом пространстве |
В по формуле |
7(ф) = ср. |
|||||||
Этот оператор линеен и 11/11= 1. |
|
|
|
|
|||||
Т е о р е м а |
2. |
Пусть |
А — линейный |
оператор, дейст- |
|||||
вующий |
в банаховом пространстве В, |
и |
|
|
|||||
Тогда уравнение |
|
|
\\А\\<1. |
|
|
|
(И) |
||
|
|
Л ( ) |
г|> |
|
|
(12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
для любого элемента яре В имеет, и |
притом единствен- |
||||||||
ное, решение |
Ф Е В . |
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Применим метод последователь- |
||||||||
ных приближений, полагая |
|
|
|
|
|||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г|)). |
(13) |
|
Покажем, что решение уравнения |
(12) |
равно |
|
||||||
|
|
Ф- * + Л(*) + . . . + АЧЦ) + ... |
(14) |
||||||
Из оценки (7) и условия ИЛИ< 1, следует, что |
|
||||||||
11Ф11< \Щ1 + IL4II+ ПЛИ2 + . . . + ИЛИ"+ ...) |
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
так что ряд (14) сходится, а потому последовательность частичных сумм фп этого ряда сходится к ф. Далее,
WA(ф - ф„)И^ НЛИПффп" -* 0 (п ->oo)f
так что Л(фп )-^Л(ф) при /г->оо. Переходя к пределу при п->°° в тождестве фп ==г[}+ Л(фп_1), получаем, что Ф есть решение уравнения (12).
Докажем единственность решения. Если ф, ф — решения уравнения (12), то, в силу линейности оператора
§ 3] |
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ |
105 |
Л, имеем
ф ~ ф==Л(ф — ф).
Следовательно,
и так как ИЛИ< 1, то Пф —фИ= 0, т. е. ф = ф.
Если ф, я|э— векторы гс-мерного пространства и Л — (пХп)-матрица, то решение уравнения (12) записывается в виде
ф в ( / - Л ) - Ч | > . |
(16) |
Это обозначение сохраняется и для банаховых |
про- |
странств; символом (I — A)'1 обозначается оператор, отображающий элемент if в элемент ф. В условиях теоремы имеет место
Следствие . Оператор (7 —А)'1 линеен, |
и справед- |
|
лива оценка |
|
|
11(7-iD-MI^U-ИЛИ)-1. |
(17) |
|
Действительно, если |
|
|
ф1 -Л(ф1 ) = \pi, |
ф2 -Л(ф2 ) =1|)2, |
|
то элемент с^ф! + а2ф2 (здесь |
аи сс2 — числа) |
есть реше- |
ние уравнения |
|
|
ф — Л(ф)
так что
илинейность оператора (7— Л)"1 доказана. Из оценки
(15)следует, что
НфН - 11(7- Л)"1(ф)И < (1 - НЛН)-1!!^
для любого элемента ty e В, откуда следует (17). Ряд (18)
дающий решение уравнения (12), называется рядом Неймана. Оператор (7 —Л)"1 называется резольвентой уравнения (12). Резольвента (в условиях теоремы) представима рядом
сходящимся по норме. Для резольвенты имеет место тождество Гильберта
Л)-1 . (19)
106 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 2
Чтобы доказать его, подставим в уравнение (12) выражение ф= (7 — i4)"4if), тогда получим
(7-Л)-*(ф) = [7 + AU- Л)"1 ]^),
откуда и следует (19).
§ 4. Лемма Адамара
Для дифференцируемой функции g(x) одной переменной справедлива формула конечных приращений Лагранжа:
|
|
i ) b ) ' ( l |
H z ) , |
(1) |
где точка £ лежит в интервале U, у). Докажем много- |
||||
мерный аналог этой формулы. |
|
|
||
Область |
D |
в пространстве |
Rx называется |
выпуклой, |
если вместе |
с |
любыми двумя |
точками х, у эта область |
|
содержит отрезок, их соединяющий. Примеры выпуклых областей в трехмерном пространстве: параллелепипед,
шар, эллипсоид. Пусть х |
= (хх, |
... , хп) е Rn. |
|
|||
|
Лемма |
1. Пусть функция |
g(х) непрерывно диффе- |
|||
ренцируема в выпуклой |
области D а /?£• |
Если точки |
||||
х, |
у е Д |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), y-x)% |
(2) |
где |
точка % лежит на |
отрезке, соединяющем |
точки х, у. |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как область |
D выпукла, |
||
то она содержит отрезок /, соединяющий точки х, у. Вся-
кая точка этого отрезка имеет вид |
z (t) = |
х + |
t (у ~-х)г |
0 ^ £ ^ 1, и на этом отрезке функция g(x) |
есть функ- |
||
ция от одной переменной t:g(z(t)) |
= /(£), |
O ^ f ^ l . По |
|
формуле конечных приращений Лагранжа |
|
|
|
/'ttu), |
О<«о<1 . |
(3) |
|
Так как / (0) = g (x), f (1) = g (у) |
и |
|
|
то из (3) следует (2), где 1 = z (^0).
Ввиду важности этой леммы для последующего приведем другую формулировку и другое доказательство.
4] |
|
|
ЛЕММА |
АДАМАРА |
|
|
107 |
||
Л е м м а |
2. Если условия леммы 1 выполнены, то |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ф*(Я» У) {Ук — zh), |
(5) |
|||
где функции |
ер** («я, у) непрерывны по совокупности пере- |
||||||||
менных при х е |
D, у е |
£). |
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем, используя |
(4), |
|
||||||
|
|
|
l |
|
|
n |
|
|
|
g {У) — g (#) = J -fa g (* (0) ^ == 2 |
Ф* (^ |
|
|
||||||
где функции фЛ равны |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
'-x)). |
(6) |
Из этой |
формулы следует |
непрерывность |
функций |
<pft. |
|||||
Л е м м а |
3. |
Пусть вектор-функция g (х) = (gt (х)у ... |
|||||||
..., gn(&)) |
непрерывно дифференцируема в замкнутой ог- |
||||||||
раниченной выпуклой областиD. Тогда для |
любых точек |
||||||||
|
|
\(){m<K\y-xl |
|
|
|
(7) |
|||
где обозначено |
|
|
|
g{ |
(X) |
|
|
||
|
|
|
max |
шах |
|
(8) |
|||
|
|
|
дх, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Применяя формулу (2) к ком- |
||||||||
поненте |
gi(x), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
re
1 J£l 12/j — •
так как \yj—Zj\^\\y—x\\. Из полученной оценки и определения нормы вектора (§ 2, пример 3) следует лемма.
Аналогом формулы конечных приращений Лагранжа для вектор-функций (в условиях леммы 3) служит формула
g(y)-g И = Ф(*; у) (у - *)t |
(9) |
которая следует из (1). Здесь Ф(х; у) есть {п X гс)~матрица
108 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. 2
с элементами
точки %{ лежат |
на отрезке, соединяющем точки х, у. |
Матрица-функция Ф (х\ у) непрерывна при ж е Д J G O . |
|
Рассмотрим |
функцию F(х; z), где х — (хх, ... , хп), *=» |
Л е м м а Адам ара. Пусть D— область в пространстве R^T,выпуклая по переменным х, функция F (х; z) имеет в области D непрерывные производные допорядка р > 1 включительно. Тогда существуют функции Фь(#; у,*), У — (Ух, . . . , Ут), имеющие непрерывные производные по хи ..., хп\ yh ..., уп\ zh ..., zm до порядка р — 1 включительно, такие, что
п
F (у; z)-F (x; z) = 2 Фь(*; »;*) (»* - «*)• (И)
fe
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из (5), (6); в данном случае
Фь(»; У; *) = J ^fe (x + t {у — х); z) dt,
о
где Fk — производная F по переменной xh + t(yh — xk).
§ 5.Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравненийга-гопорядка
1. Доказательство основной теоремы. В § 1 мы свели задачу Коши для системы из п уравнений к системе интегральных уравнений
x{t)-A(x(t)), (1)
где А — интегральный оператор:
(2)
В дальнейшем будет систематически применяться
5] |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ |
ТЕОРЕМЫ |
109 |
Лемма. |
Если х (t) — непрерывная |
при t e [а, Ь] веп- |
|
тор-фунщия, то справедливонеравенство
(3)
Доказательство. Имеем
ьъ
так как \zj(t)\^.\\x(t)\\ = max |
[t)\. |
Правая часть |
j |
|
|
этого неравенства не зависит от номера /; беря максимум
по /, 1 < / ^ п, |
от левой части, получаем |
оценку (3). |
|
|||||||||||||||
Применим к уравнению (1) принцип сжатых отобра- |
||||||||||||||||||
жений. |
|
Пусть |
П — параллелепипед |
|
\\х — х° || ^ 6, |
|||||||||||||
\t — t01 ^ |
а, |
целиком содержащийся в области G (рис. 11). |
||||||||||||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К |
= max || / (t, х) ||, |
Кх |
= |
max |
(max |
|
г |
|
|
|||||||||
|
|
|
П |
|
|
|
KiJ<n\ |
П |
|
|
|
дх, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
меньший |
параллелепипед |
П6 |
: \t — t0 |
\ ^ |
|||||||||||||
^ б < |
а, |
|| х — х° || <1 Ъ, |
|
где |
б > 0 |
будет |
указано |
ни- |
||||||||||
же. |
В |
|
качестве |
банахова |
пространства |
В |
выберем |
|||||||||||
C[t0 — б, t0 + б], т. е. |
пространство |
непрерывных |
на |
|||||||||||||||
отрезке U—f |
0 l^6 |
вещественнозначных вектор-функций |
||||||||||||||||
х (t), |
с нормой |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1* (1"\ II J-I |
|
- |
1TIQY |
II 1* I |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
V / ||С |
""— |
ixidA |
\\ *Л/ ' |
|
|
|
|
|
|||||
В качестве М возьмем множество вектор-функций х ( |
|
|||||||||||||||||
таких, |
что || х (t) — #°||c<;fc. |
Это множество |
ограничено, |
|||||||||||||||
так как||#(£ )]| с<|#0 ||+ Ъ для всех x(t)^M. |
|
Множество |
||||||||||||||||
М замкнуто, так как еслиИта?к(*) = x(t), |
где |
xk{t)^M, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h-*oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то предельная вектор-функция |
х (t) e |
В, |
и, кроме того, |
|||||||||||||||
||#(*) -- # 0 ||с<&, |
так |
что |
x(t)<=M. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Итак, остается проверить, что оператор Л, определяе- |
||||||||||||||||||
мый |
формулой (2), сжимает |
Л/, если |
б > 0 |
достаточно |
||||||||||||||
мало. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°. |
Покажем, |
что |
если |
б > 0 |
достаточно мало, то |
|||||||||||||
А : М -** М. |
|
Пусть |
х (t) e |
M. |
Тогда |
вектор-функция |
||||||||||||
А (х (t)) G C [ ^ O — б, t0 |
+ б],так как интеграл |
(2) от непре- |
||||||||||||||||
рывной на этом отрезке вектор-функции / (£, х (t)) явля-
НО СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. 2
ется непрерывной вектор-функцией. Далее,
J /(t, х(t)) dt\ < J||/(1, *(?)|<ft |
< J |
|
так что |
|
|
Если Яб < b, то |
е Л/. Итак, при |
|
имеем Л : М -*• М. |
б < &/-КГ |
(4) |
|
|
|
2°. Покажем, что если б > 0 достаточно мало, то
|
|
(5) |
где 0 < q < |
1, для любых х (f), у (t) e |
M. Пусть ж(*), |
у (^) е Af. |
Имеем в силу леммы 2, § 4 |
(параллелепипед |
Пв — выпуклое множество) |
|
|
7,x(i))-f(t,y(i))\\di
Беря максимум по t от обеих частей неравенства, получаем
IIА {х(*)) - А (у (*))||с < q1| ж (*) - у {t)Цс,.
где q = Kln8. Если б «S #/(£,«), где ? —фиксированное число, 0 < g < 1, то неравенство (5), выполняется.
Итак, мы доказали, что если б > 0 таково, что
(6)
то оператор А сжимает М. Применяя принцип сжатых
отображений, получаем, что уравнение x(t) |
==А (х (t)) |
имеет решение х (t), непрерывное на отрезке |
U — £0 1^б |
и притом единственное. В § 1 было показано (см. лемму), |
|
что отсюда следует теорема существования и единствен-