Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

.pdf

Скачиваний:

844

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

21.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4545

g 5]

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

441

Подставим разложение (59) в уравнение (57) иприравняем коэффициенты при степенях в. Тогда получим рекуррентную систему уравнений, первые два из которых имеютвид

			^	=о,		(60)
5 (		0	^ +	У 1	^^25Ч^)^-^(0-0 . (61)
	w		dt\ дх *l		w dt^t	x

Разложение вида (59) называют двухмасштабным, а сам метод —методом двухмасштабных разложений, так как здесь имеются два«времени»: t и U.

Уравнение (60) содержит двенеизвестные функции у0 и 5, и найти их можно, только псследуя уравнение для второго приближения. Эта ситуация типична длянелинейных задач и ужевстречалась нам ранее.

Будем предполагать, чтоуравнение (60)имеет перио-

дическое по переменной t{ решение уМи t) с периодом
Т. Заметим, что переменная t в этом и всех последую-
щих уравнениях играет роль параметра. Решение у0					и его
период Г,очевидно, зависят отнеизвестной функции					S'(t).
Уравнение (61) линейное, и одно из егорешений есть
	w
Для	доказательства	достаточно	продифференцировать
уравнение (60) по U. Решение			wt периодично	по tt
с периодом Г. Пусть		w2{tu t) — второе линейно незави-
симое решение; тогда
	+ Tt	О==wMu t) +Awi(tlf t),		(62)
где	A = A(t) — постоянная. Действительно, коэффициент
df/дх — периодическая		с периодом Т функция. Пусть

Pi, р2 — мультипликаторы этого уравнения			(гл.3, § 11),
и так как уравнение (61) имеет		периодическое реше-
ние wu то р4 = 1. Поскольку р4р2		= 1, то р2 = 1 итож-
дество (62)следует из теоремы Флоке —Ляпунова (гл. 3,
§ 11).Нормируем решения w2	так, чтобы их вронскиан
был равен единице.
Докажем вспомогательное	утверждение.		Рассмотрим
уравнение
у" +q(x)y = f(x),			(63)

442

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

[ГЛ. 7

где функции q(x), fix) периодичны с периодом Т и однородное уравнение имеет Г-периодическое решение у^х). Если у2(х) — второе линейно независимое решение, то

у2(х + Т) = уг(х)+Ау1(х).

(64)

Лемм а. Пусть А Ф 0. Для того чтобыуравнение (63) имело Т-периодическое решение^ необходимои достаточно, чтобы выполнялось условие

	<k-0.		(65)
О
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Нормируем решения уи	у2	так,
чтобы их вронскиан был равен единице. Тогда		всякое
решение уравнения (63) имеет вид (гл. 3, § 7, (16))
	f(t)dt.		(66)
В силу периодичности	функций /, i/i и тождества		(64)

имеем
Г	е
у(х + Т) — у (х) = L\Aei+\f	о {t) y% (t) dt —
г	n	т
J	I	Г
	I	Г
	I
О	J	О

Пусть у(х + Т) « у(х);	тогда коэффициенты при решениях
Уи Уг должны равняться нулю, так что
т		г
Ас2 + J / () У2 () Л =»Oj		j / (t) yx {t) dt = 0.
о		о
Допустим, что условие	(65) выполнено. Положим
	г
тогда решение. у(х),	заданное	формулой (66), будет
Г-периодическим.

Для уравнения (61) условие (65) принимает вид

§ 5]	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ	443
	Т

так что
[	]	*	!	(67)
где Z? — постоянная. Итак,	мы	получили	систему двух
уравнений (60), (61) для	двух	неизвестных		функций
i/oUi, t), Stt).

Следующие приближения уи у2, ... определяются из линейных уравнений.

П р и м е р 10. Рассмотрим уравнение

Уравнения (60), (61) в данном случае имеют вид

oti

Oli

Первое уравнение есть уравнение Дуффинга (7), которое имеет решение

(68)

Эта функция удовлетворяет уравнению

Следовательно,	должны выполняться соотношения
( 1	+ #())#()-((),
	2k4t)S2(t) - -№)A2(t)	( 6 9 )

Мы получили два уравнения для трех неизвестных функций SU), A(t), Ш). Третье уравнение следует из условия (67) и имеет вид

444

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

[ГЛГ 7

Здесь Т=4К, где К — полный эллиптический интеграл второго рода:

JГ

Используя выражение для г/0, находим

) A2 it)L ik2 Ц)) = E%

h	-	h	(70)
L
о		о
где v « s n ^ i , к). Используя		уравнение
d2v	. dv

можно представить L в виде

L = J /(1-м2)(1—

или в виде

Ьжа

_ г

(71)

где £(Л) — полный эллиптический интеграл первого рода:

Условия (69),(70) дают три уравнения для трех неизвестных функций SW, A(t), kit). Из этих уравнений находим

- ( • »

4/с4 (0 L2 (fe(0) = £2р2 (0

Из последнего уравнения можно найти модуль kit) эллиптической функции (по крайней мере, численно). После этого из первых двух соотношений (72) определяются функции Ait) и £it). Соответствующие численные результаты и графики решений приведены в [29], [37]»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния.—Харьков: ОНТИ, 1939.

2.	А л е к с е е в	В. М., Т и х о м и р о в	В. М.,	Ф о м и н С. В.
Оптимальное управление,— М.: Наука, 1979.
3.	А н д р о н о в	А. А., В и т т А. А., Х а й к и н С. Э. Теория
колебаний,— М.: Наука, 1981.
4.	А р н о л ь д	В. И. Обыкновенные дифференциальные урав-
нения.— М.: Наука, 1975.
5.	А р н о л ь д	Д И. Дополнительные	главы	теории обыкно-

венных дифференциальных уравнений,— М.: Наука, 1978.

6.А х и е з е р Н. И. Лекции по вариационному исчислению,— М.: Гостехиздат, 1955.

7.Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости,— М.: Наука, 1967.

8. Б е к л е м и ш е в Д.			В. Курс аналитической	геометрии и
линейной алгебры.— М.: Наука, 1980.
9. Б о г о л ю б о в		Н. Н.,	М и т р о п о л ь с к и й	Ю. А. Асимп-
тотические методы	в	теории	нелинейных колебаний.— М.: Наука,
1974.
10. Б р е х о в с к и xN Л. М. Волны в слоистых средах.— М.: На-
ука, 1973.
И; Б у с л а е в	В.	С. Вариационное исчисление,—Л.: Изд-во
ЛГУ, 1980.

12. В а з о в В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Мир, 1968.

13. -де ла В а л л е - Пу с с е н Ш. Курс анализа бесконечно малых.- Л.; М.: ГТТИ, 1933, т. 2.

14. В а с п л ь е в а А. Б., Б у т у з о в В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений,—М.: Наука, 1973.

15. В л а д и м и р о в	В. С. Уравнения математической физи-
ки.—М.: Наука, 1976.
16. В о л о с о в В.	М., М о р г у н о в Б. И. Метод осреднения

в теории нелинейных колебательных систем.—М.: Изд-во МГУ, 1971.

17.	Г е л ь ф а н д	И. М., Ф о м и н	С. В. Вариационное исчис-
ление.— М.: Физматгиз, 1961.
18.	Г е л ь ф а н д	И. М., Ш и л о в	Г. Е. Обобщенные функции
и действия над ними.— М.: Физматгиз, 1958.
19.	Г о д у н о в	С. К., Р я б е н ь к и й В.		С. Разностные схе-
мы.— М.: Наука, 1977.
20.	Г о л о в и н а	Л. И. Линейная алгебра		и некоторые ее при-
ложения,—М.: Наука, 1979.

446		СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21.	Горели к	Г. С. Колебания и волны,—М.г Физматгиз,
1959.
22.	Гурс а Э.	Курс математического анализа.— М.; Л.;

ОНТИ,1936.

23.Д е м и д о в и ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука,1967.

24.Е р у г и н Н. П. Книга для чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— Минск: Наука и техника,1972.

25.Камк е Э. Справочнпк по обыкновенным дифференциальным уравнениям,— М.: Наука,1976.

26. Камк е	Э. Справочник	по дифференциальным уравнени-
ям в частных	производных	первого порядка,— М.: Наука,
1966.

27. К а р т а ш е в А. П., Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления,— М.: Наука,1980.

28. К о д д и н г т о н	Э. А.,	Л е в и н с о н		Н. Теория обыкно-
венных дифференциальных уравнений,— М.: ИЛ, 1958.
29. Коу л Дж. Методы возмущений в				прикладной матема-
тике.— М.: Мир, 1972.
30. К у д р я в ц е в	Л. Д. Курс математического анализа,—
М.: Высшая школа, 1981,т. 1, т. 2.
31. К у р а н т Р. Уравнения с частными				производными,— М.:
Мир, 1964.
32. Л а в р е н т ь е в	М. А.,	Л ю с т е р н и к Л. А. Курс ва-
риационного исчисления.— М.; Л.; Гостехиздат, 1950.
33. Л а в р е н т ь е в	М. А.,	Ш а б а т Б. В. Методы теории
функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.
34. Л а - С а л л ь ЭД., Л е ф ш е ц			С. Исследование устойчиво-
сти прямым методом Ляпунова.— М.: Мир, 1964.
35. Мищенк о Б. Ф., Р о з о в			Н. X.	Дифференциальные

уравнения с малым параметром и релаксационные колебания,— М.: Наука,1975.

36. Мо и с е е в Н. Н. Асимптотические методы нелинейной

механики,— М.: Наука, 1981.
37. На й ф э А. Методы возмущений,— М.: Мир, 1976.
38.	Н е м ы ц к и й В. В., С т е п а н о в	В. В. Качественная
теория	дифференциальных уравнений.— М.:	Гостехиздат,	1949.

39.Н и к о л ь с к и й С. М. Курс математического анализа.— М.: Наука, 1975,т. 1, т. 2.

40.П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука,1970.


41.	П о н т р я г п н		Л. С. Обыкновенные			дифференциальные
уравнения.— М.: Наука, 1974.
42.	П о н т р я г и н		Л. С,	Б о л т я н с к и й		В. Г., Гамкре-
л и д з е	Р. В., Мищенк о			Е. Ф. Математическая теория оп-
тимальных процессов.—М.: Наука,1976.
43.	Самарски й		А. А.	Введение	в теорию разностных
схем.— М.: Наука, 1971.•
44.	Сан сон е	Дж. Обыкновенные			дифференциальные урав-
нения.-М.: ИЛ, 1953, т. 1; 1954, т. 2.
45.	Смирнов	В. И. Курс высшей математики,—М.: Наука*
1974, т. 2; 1969, т. 3, ч. 2; 1974, т. 4, ч. 1.
46. Степано в		В. В. Курс дифференциальных уравнений.—
М.: Физматгиз,1969,

		СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ				447
	47. С*г о к е р Д ж. Нелинейные колебания в механических а
электрических системах.-— М.: ИЛ, 1958.
	48. Т и т ч м а р ш		Э. Ч. Разложения по собственным функ-
циям, связанные с дифференциальными уравнениями						второго по-
рядка.-М.: ИЛ, 1959, т. 1; 1960, т. 2.
	49. Т и х о н о в	А.	Н.,	В а с и л ь е в а	А. Б.,	Свешни-
ков	А. Г. Дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1979.
	50. Т ри к о м и	Ф. Дифференциальные			уравнения.— М.: ИЛ,
1962.
	51. Фе д о р ю к	М. В. Асимптотические методы				для линей-
ных	обыкновенных	дифференциальных уравнений.— М.: Наука,
1983.
	52. Фл ю г г е 3. Задачи			по квантовой	механике.— М.: Мир,
1974, т. 1.

53.X а р т м а н Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения,— М.: Мир, 1970.

54.Шилов Г. Б. Математический анализ. Специальный курс— М-.: ФизматгиЗ|1960.

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Серия «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов»

Редактор И. Е. Морозова Технический редактор И. Ш. Акселърод

Корректоры Г, С, Вайсберг, Л. С.Сомова

ИБ Н 12633

Сдано в набор 29.06.84. Подписано к печати 01.03.85. Формат 84X108V32. Бумага кн.-журн. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ*. л. 23,52. Уел* кр.-отт. 23,73. Уч.-изд. л. 22,27. Тираж 16 000 экз. Заказ № 293. Цена 90 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция

физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука»

630077 г, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4545

Соседние файлы в папке Дифференциальные уравнения

#
21.05.201518.32 Mб613_250.pdf
#
21.05.201521.78 Mб844Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985.pdf
#
21.05.20156.09 Mб521Эльсгольц Л.Э. - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.pdf