2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

Эйлера для функционала L(y) = J(y) + ХК(у), т. е.

выполнено, а функция

Ф(е1э е2) = J(y + Bihi + E2h2)

точке 84 = 0, е2 = 0, К= Хо

для любой функции hiix), равной нулю на концах отрезка [а, Ь], и из основной леммы вытекает уравнение (3).

Пример . Среди всех кривых у = у(х) заданной длины Z,

найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Эта задача называется изопериметрической. В данном случае

Так как F, G не зависят от х, то уравнение Эйлера (3) имеет первый интеграл (§ 3)

Следовательно,

откуда находим, что

Искомая экстремаль—дуга окружности, проходящая через заданные точки (а, 0)г (Ь, 0).

§ 7. Задача Лагранжа

ды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных, когда а < х < 6, а остальные переменные меняются в пределах от —«> до оо.

2°. Функция gix, у, z) непрерывно дифференцируема по совокупности переменных и

если g « 0.

При условии (4) уравнение g — O определяет поверхность S в пространстве. Поэтому геометрический смысл задачи Лагранжа следующий: среди всех кривых, лежа-

23 М R Aonnnmu

Тогда Д — функционал только от одной функции у(х):

. — Ьту, = bv

— F , — —

''-*"«-"•-*'*. (8)

Обе части этого равенства — некоторая функция от х\ обозначив ее — Х(х), получпм уравнепия (5).

2°. Общий случай сводится к рассмотреппому с помощью следующего замечания: часть экстремали есть

g 8) ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 855

экстремаль. Действительно, пусть у. у = у(х), z = z(x)—

экстремаль задачи Лагранжа (точка минимума, для определенности), и пусть Tfo— дуга экстремали с концами М, N. Покажем, что То— точка минимума функционала

Jx {у, z) = J F (х, у, 2,y\ z') dx%

ai

где fli, 6i — проекции точек М, N на ось х. Проварьируем дугу То» т. е. заменим ее близкой кривой То (с теми же концами), лежащей на поверхности 5. Обозначим т, кривую, полученную из т заменой дуги

Yu на То (рис. 45). Тогда Л^) > ^ ДТо) (у есть точка минимума). Но в силу выбора т имеем

О(

т.е. То— точка минимума.

ных gy, g2 отлична от нуля в точке М; пусть gt(M) Ф 0. По теореме о неявной функции можно выразить z через

на S. Проведенные в п. 1° рассуждения приводят к уравнению (7); учитывая (9), снова получаем (8).

§8. Функционалы от функций многих переменных

1.Уравнение Эйлера. Рассмотрим функционал

23*

§ 9. Достаточные условия слабого экстремума

Пусть В — банахово пространство, ф(#, h) — функционал от пары g&B, h&B. Функционал называется билинейным, если он линеен по каждому аргументу при фиксированном другом, т. е.^

a2g2, h) = (XiCpCgi, h) + a2q)(g2, h)f

+ a2h2) = OMp(g, h{)•+ a2q>lg, h2).

Функционал i|)(ft) = ф(й, h) называется квадратичным. П р и м е р 1. Функционал

ь

ветствующий билинейный функционал равен

ъ

j fP (*)^ (*)Л'(*) + Q(x)g (x)h (x)] dx.

щение понятия второго дифференциала функций. Как и в случае функций, исследование второго дифференциала позволяет получить достаточные условия экстремума. В дальнейшем рассматриваются только функционалы, имеющие вторую вариацию. Справедлива

Т е о р е м а 1. Пусть 6/Уо(/&) = О. Для того чтобы у0

была точкой минимума {максимума) функционала Л

трижды непрерывно дифференцируема в указанной области; необходимость этого условия ясна из вида функции Qix).

Всюду в дальнейшем предполагается, что 6 / ^ 0 в точке у «=уо(х\ функция h(z) — допустимое приращение,

т. е. h{x)&Cl(a, Ъ)и

Лемма 1. Для тогочтобыуо(х) была точкой минимума задачи (5) для функционала /(*/), необходимо, чтобы выполнялось условие Лежандра

для простоты. Положим Ы(х) = ф(ж/6), где фЫ > 0 при Ы < 1 , ф Ы ^ О при U I > 1 и ф(лг) непрерывно дифференцируема при всех х. Пример такой функции см. в § 3.

При б -»"0 первое слагаемое в квадратных скобках стремится к бесконечности, второе — постоянно, и потому

для всех допустимыхприращений h(x). Тогда функция уо(х) естьточкастрогого минимума задачи с закрепленными концами (5) для функционала J(y).